Тест. Физические задачи, приводимые к линейным/рациональлным уравнениям или неравенствам

При тем­пе­ра­ту­ре $0^{\circ}$ рельс имеет длину $10$м. При воз­рас­та­нии тем­пе­ра­ту­ры про­ис­хо­дит теп­ло­вое рас­ши­ре­ние рель­са, и его длина, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­ну $l(t^{\circ})=l_0(1+\alpha \cdot t^{\circ})$, где $\alpha=1,2\cdot 10^{-5}(^{\circ}C)^{-1}$— ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­во­го рас­ши­ре­ния, $t^{\circ}$ — тем­пе­ра­ту­ра (в гра­ду­сах Цель­сия). При какой тем­пе­ра­ту­ре рельс удли­нит­ся на $7,5$ мм? Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах Цель­сия.

Не­ко­то­рая ком­па­ния про­да­ет свою про­дук­цию по цене $p=400$ руб. за еди­ни­цу, пе­ре­мен­ные за­тра­ты на про­из­вод­ство одной еди­ни­цы про­дук­ции со­став­ля­ют $v=200$ руб., по­сто­ян­ные рас­хо­ды пред­при­я­тия $f=500000$ руб. в месяц. Ме­сяч­ная опе­ра­ци­он­ная при­быль пред­при­я­тия (в руб­лях) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле $\pi (q)=q(p-v)-f$. Опре­де­ли­те наи­мень­ший ме­сяч­ный объeм про­из­вод­ства $q$ (еди­ниц про­дук­ции), при ко­то­ром ме­сяч­ная опе­ра­ци­он­ная при­быль пред­при­я­тия будет не мень­ше $1 000 000$ руб.

По за­ко­ну Ома для пол­ной цепи сила тока, из­ме­ря­е­мая в ам­пе­рах, равна $I=\frac{\varepsilon}{R+r}$,  где $\varepsilon$— ЭДС ис­точ­ни­ка (в воль­тах), $r=3$ Ом — его внут­рен­нее со­про­тив­ле­ние, $R$ — со­про­тив­ле­ние цепи (в омах). При каком наи­мень­шем со­про­тив­ле­нии цепи сила тока будет со­став­лять не более $25$% от силы тока ко­рот­ко­го за­мы­ка­ния $I_{kz}=\frac{\varepsilon }{r}$? (Ответ вы­ра­зи­те в омах.)

Перед от­прав­кой теп­ло­воз издал гудок с ча­сто­той $f_0=593$ Гц. Чуть позже издал гудок подъ­ез­жа­ю­щий к плат­фор­ме теп­ло­воз. Из-за эф­фек­та До­пле­ра ча­сто­та вто­ро­го гудка $f$ боль­ше пер­во­го: она за­ви­сит от ско­ро­сти теп­ло­во­за по за­ко­ну $f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ — ско­рость звука в звука (в м/с). Че­ло­век, сто­я­щий на плат­фор­ме, раз­ли­ча­ет сиг­на­лы по тону, если они от­ли­ча­ют­ся не менее, чем на 7 Гц. Опре­де­ли­те, с какой ми­ни­маль­ной ско­ро­стью при­бли­жал­ся к плат­фор­ме теп­ло­воз, если че­ло­век смог раз­ли­чить сиг­на­лы, а $c=300$  м/с. Ответ вы­ра­зи­те в м/с.

В ро­зет­ку элек­тро­се­ти под­клю­че­ны при­бо­ры, общее со­про­тив­ле­ние ко­то­рых со­став­ля­ет $R_1=72$ Ом. Па­рал­лель­но с ними в ро­зет­ку пред­по­ла­га­ет­ся под­клю­чить элек­тро­обо­гре­ва­тель. Опре­де­ли­те наи­мень­шее воз­мож­ное со­про­тив­ле­ние $R_2$ этого элек­тро­обо­гре­ва­те­ля, если из­вест­но, что при па­рал­лель­ном со­еди­не­нии двух про­вод­ни­ков с со­про­тив­ле­ни­я­ми $R_1$ Ом и $R_2$ Ом их общее со­про­тив­ле­ние даeтся фор­му­лой  $R_{obshee}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ (Ом), а для нор­маль­но­го функ­ци­о­ни­ро­ва­ния элек­тро­се­ти общее со­про­тив­ле­ние в ней долж­но быть не мень­ше $18$ Ом. Ответ вы­ра­зи­те в омах.

Ко­эф­фи­ци­ент по­лез­но­го дей­ствия (КПД) кор­мо­за­пар­ни­ка равен от­но­ше­нию ко­ли­че­ства теп­ло­ты, за­тра­чен­но­го на на­гре­ва­ние воды мас­сой $m_v$  (в ки­ло­грам­мах) от тем­пе­ра­ту­ры $t_1$  до тем­пе­ра­ту­ры $t_2$ (в гра­ду­сах Цель­сия) к ко­ли­че­ству теп­ло­ты, по­лу­чен­но­му от сжи­га­ния дров массы  $m_{drov}$ кг. Он опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой $\eta=\frac{c_vm_v(t_2-t_1)}{q_{drov}m_{drov}}\cdot 100$%, где $c_v=4,2\cdot 10^3$ Дж/(кгК) – теплоёмкость воды, $q_{drov}=8,3\cdot 10^6$ Дж/кг – удель­ная теп­ло­та сго­ра­ния дров. Опре­де­ли­те наи­мень­шее ко­ли­че­ство дров, ко­то­рое по­на­до­бит­ся сжечь в кор­мо­за­пар­ни­ке, чтобы на­греть $m=83$ кг воды от $10^{\circ}C$  до ки­пе­ния, если из­вест­но, что КПД кор­мо­за­пар­ни­ка не боль­ше  $21$%. Ответ вы­ра­зи­те в ки­ло­грам­мах.

Ло­ка­тор ба­ти­ска­фа, рав­но­мер­но по­гру­жа­ю­ще­го­ся вер­ти­каль­но вниз, ис­пус­ка­ет уль­тра­зву­ко­вые им­пуль­сы ча­сто­той $187$ МГц. Ско­рость спус­ка ба­ти­ска­фа, вы­ра­жа­е­мая в м/с, опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле  $v=c\frac{f-f_0}{f+f_0}$, где $c=1500$ м/с — ско­рость звука в воде, $f_0$ — ча­сто­та ис­пус­ка­е­мых им­пуль­сов (в МГц), $f$ — ча­сто­та отражeнного от дна сиг­на­ла, ре­ги­стри­ру­е­мая приeмни­ком (в МГц). Опре­де­ли­те наи­боль­шую воз­мож­ную ча­сто­ту от­ра­жен­но­го сиг­на­ла $f$, если ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа не долж­на пре­вы­шать $4$ м/с. Ответ вы­ра­зи­те в МГц.

Ав­то­мо­биль, масса ко­то­ро­го равна $m=1500$ кг, на­чи­на­ет дви­гать­ся с уско­ре­ни­ем, ко­то­рое в те­че­ние $t$ се­кунд остаeтся не­из­мен­ным, и про­хо­дит за это время путь $S=1000$ мет­ров. Зна­че­ние силы (в нью­то­нах), при­ло­жен­ной в это время к ав­то­мо­би­лю, равно $F=\frac{2mS}{t^2}$. Опре­де­ли­те наи­боль­шее время после на­ча­ла дви­же­ния ав­то­мо­би­ля, за ко­то­рое он пройдeт ука­зан­ный путь, если из­вест­но, что сила $F$, при­ло­жен­ная к ав­то­мо­би­лю, не мень­ше $1200$ Н. Ответ вы­ра­зи­те в се­кун­дах.

Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление $P$(в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле $P=\frac{4mg}{\pi D^2},$  где $m=2400$ кг — общая масса навеса и колонны, $D$ — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения $g=10$ м/с,  а $\pi=3,$ определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше $800 000$ Па. Ответ выразите в метрах.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}\cdot 100$%,  где $T_1$ — температура нагревателя (в градусах Кельвина), $T_2$ — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет не меньше $50$%,  если температура холодильника $T_2=250$ К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу $m=1400$  тонн представляют собой две пустотелые балки длиной $l=14$ метров и шириной $s$ метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой $p=\frac{mg}{2ls},$  где $m$  — масса экскаватора (в тоннах), $l$ — длина балок в метрах, $s$ — ширина балок в метрах, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление $p$ не должно превышать $250$ кПа. Ответ выразите в метрах.