Тест. Физические задачи, приводимые к тригонометрическим уравнениям/неравенствам

Де­та­лью не­ко­то­ро­го при­бо­ра яв­ля­ет­ся квад­рат­ная рамка с на­мо­тан­ным на неe про­во­дом, через ко­то­рый про­пу­щен по­сто­ян­ный ток. Рамка по­ме­ще­на в од­но­род­ное маг­нит­ное поле так, что она может вра­щать­ся. Мо­мент силы Ам­пе­ра, стре­мя­щей­ся по­вер­нуть рамку, (в Нм) опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой $M=NIBl^2sin\alpha$, где $I=8A$ — сила тока в рамке, $B=7\cdot 10^{-3}$ Тл — зна­че­ние ин­дук­ции маг­нит­но­го поля, $l=0,3$ м — раз­мер рамки, $N=250$ — число вит­ков про­во­да в рамке, $\alpha$ — ост­рый угол между пер­пен­ди­ку­ля­ром к рамке и век­то­ром ин­дук­ции. При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла $\alpha$ (в гра­ду­сах) рамка может на­чать вра­щать­ся, если для этого нужно, чтобы рас­кру­чи­ва­ю­щий мо­мент $M$ был не мень­ше $0,63$ Н$\cdot$м?

Мяч бро­си­ли под углом $\alpha$ к плос­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Время полeта мяча (в се­кун­дах) опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле $t=\frac{2v_0sin\alpha}{g}$. При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла $\alpha$ (в гра­ду­сах) время полeта будет не мень­ше $3$ се­кунд, если мяч бро­са­ют с на­чаль­ной ско­ро­стью $v_0=30$ м/с? Счи­тай­те, что уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния $g=10$ м/с$^2$.

Дат­чик скон­стру­и­ро­ван таким об­ра­зом, что его ан­тен­на ловит ра­дио­сиг­нал, ко­то­рый затем пре­об­ра­зу­ет­ся в элек­три­че­ский сиг­нал, из­ме­ня­ю­щий­ся со вре­ме­нем по за­ко­ну $U=U_0cos(\omega t+\varphi )$, где $t$ — время в се­кун­дах, ам­пли­ту­да $U_0=2$ В, ча­сто­та $\omega =240^{\circ}$ /с, фаза  $\varphi=-120^{\circ}$. Дат­чик на­стро­ен так, что если на­пря­же­ние в нeм не ниже чем $1$ В, за­го­ра­ет­ся лам­поч­ка. Какую часть вре­ме­ни (в про­цен­тах) на про­тя­же­нии пер­вой се­кун­ды после на­ча­ла ра­бо­ты лам­поч­ка будет го­реть?

Не­боль­шой мячик бро­са­ют под ост­рым углом $\alpha$  к плос­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Мак­си­маль­ная вы­со­та полeта мя­чи­ка, вы­ра­жен­ная в мет­рах, опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой  $H=\frac{v_0^2}{4g}(1-cos2\alpha)$, где $v_0=8$ м/с — на­чаль­ная ско­рость мя­чи­ка, а $g$ — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те $g=10$ м/с$^2$). При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла $\alpha$ (в гра­ду­сах) мячик про­ле­тит над сте­ной вы­со­той $0,6$ м на рас­сто­я­нии $1$ м?

Очень лeгкий за­ря­жен­ный ме­тал­ли­че­ский шарик за­ря­дом $q=2\cdot 10^{-6}$ Кл ска­ты­ва­ет­ся по глад­кой на­клон­ной плос­ко­сти. В мо­мент, когда его ско­рость со­став­ля­ет $v=5$ м/с, на него на­чи­на­ет дей­ство­вать по­сто­ян­ное маг­нит­ное поле, век­тор ин­дук­ции $B$ ко­то­ро­го лежит в той же плос­ко­сти и со­став­ля­ет угол $\alpha$ с на­прав­ле­ни­ем дви­же­ния ша­ри­ка. Зна­че­ние ин­дук­ции поля  $D=4\cdot 10^{-3}$ Тл. При этом на шарик дей­ству­ет сила Ло­рен­ца, рав­ная $F_{l}=qvBsin\alpha$ (Н) и на­прав­лен­ная вверх пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти. При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла  $\alpha \in [0^{\circ};180^{\circ}]$ шарик оторвeтся от по­верх­но­сти, если для этого нужно, чтобы сила $F_l$ была не менее чем $2\cdot 10^{-8}$ Н? Ответ дайте в гра­ду­сах.

Плос­кий за­мкну­тый кон­тур пло­ща­дью $S=0,625$  м$^2$ на­хо­дит­ся в маг­нит­ном поле, ин­дук­ция ко­то­ро­го рав­но­мер­но воз­рас­та­ет. При этом со­глас­но за­ко­ну элек­тро­маг­нит­ной ин­дук­ции Фа­ра­дея в кон­ту­ре по­яв­ля­ет­ся ЭДС ин­дук­ции, зна­че­ние ко­то­рой, вы­ра­жен­ное в воль­тах, опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой $\varepsilon _i=a Scos\alpha$, где $\alpha$ — ост­рый угол между на­прав­ле­ни­ем маг­нит­но­го поля и пер­пен­ди­ку­ля­ром к кон­ту­ру, $a=16\cdot 10^{-4}$ Тл/с — по­сто­ян­ная, $S$— пло­щадь за­мкну­то­го кон­ту­ра, на­хо­дя­ще­го­ся в маг­нит­ном поле (в м$^2$). При каком ми­ни­маль­ном угле $\alpha$ (в гра­ду­сах) ЭДС ин­дук­ции не будет пре­вы­шать $5\cdot 10^{-4}$ В?

Трак­тор тащит сани с силой $F=90$ кН, на­прав­лен­ной под ост­рым углом $\alpha$ к го­ри­зон­ту. Мощ­ность (в ки­ло­ват­тах) трак­то­ра при ско­ро­сти $v=5$ м/с равна $N=Fvcos\alpha$. При каком мак­си­маль­ном угле $\alpha$ (в гра­ду­сах) эта мощ­ность будет не менее $225$ кВт?

Два тела мас­сой $m=2$ кг каж­дое, дви­жут­ся с оди­на­ко­вой ско­ро­стью $v=10$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. Энер­гия (в джо­у­лях), вы­де­ля­ю­ща­я­ся при их аб­со­лют­но не­упру­гом со­уда­ре­нии опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем $Q=mv^2sin^2\alpha$. Под каким наи­мень­шим углом $2\alpha$ (в гра­ду­сах) долж­ны дви­гать­ся тела, чтобы в ре­зуль­та­те со­уда­ре­ния вы­де­ли­лось не менее $100$ джо­у­лей?

Катер дол­жен пе­ре­сечь реку ши­ри­ной $L=100$ м и со ско­ро­стью те­че­ния $u=0,5$ м/с так, чтобы при­ча­лить точно на­про­тив места от­прав­ле­ния. Он может дви­гать­ся с раз­ны­ми ско­ро­стя­ми, при этом время в пути, из­ме­ря­е­мое в се­кун­дах, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем $t=\frac{L}{u}ctg\alpha$, где $\alpha$ – ост­рый угол, за­да­ю­щий на­прав­ле­ние его дви­же­ния (от­счи­ты­ва­ет­ся от бе­ре­га). Под каким ми­ни­маль­ным углом  $\alpha$ (в гра­ду­сах) нужно плыть, чтобы время в пути было не боль­ше $200$ с?

Груз мас­сой $0,8$ кг ко­леб­лет­ся на пру­жи­не со ско­ро­стью, ме­ня­ю­щей­ся по за­ко­ну $v(t)=0,9sin\pi t$, где $t$ — время в се­кун­дах. Ки­не­ти­че­ская энер­гия груза, из­ме­ря­е­мая в джо­у­лях, вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле $E=\frac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса груза (в кг), $v$ — ско­рость груза (в м/с). Опре­де­ли­те, какую долю вре­ме­ни из пер­вой се­кун­ды после на­ча­ла дви­же­ния ки­не­ти­че­ская энер­гия груза будет не менее $1,62\cdot 10^{-1}$ Дж. Ответ вы­ра­зи­те де­ся­тич­ной дро­бью, если нужно, округ­ли­те до сотых.

Ско­рость ко­леб­лю­ще­го­ся на пру­жи­не груза ме­ня­ет­ся по за­ко­ну $v(t)=5sin\pi t$ (см/с), где $t$ – время в се­кун­дах. Какую долю вре­ме­ни из пер­вой се­кун­ды ско­рость дви­же­ния пре­вы­ша­ла $2,5$ см/с? Ответ вы­ра­зи­те де­ся­тич­ной дро­бью, если нужно, округ­ли­те до сотых.