Трапеция. Свойства трапеции

2016-06-15

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

 

Свойства трапеции

 

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники AOD и COB, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – k=\frac{AD}{BC}.

Отношение площадей этих треугольников есть k^2.

4. Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

 

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная  окружность

 

Если в трапецию вписана окружность с радиусом r  и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — a и b,  то r=\sqrt{ab}.

 

Площадь

 

S=\frac{a+b}{2}\cdot h или S=lh, где  l – средняя линия

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

Печать страницы
комментариев 419
  1. Мяу

    Помогите решить задачу в равнобедренной трапеции диагонали которой перпендикулярны меньшее основание 12 см, а большее 16. Найдите высоту и площадь трапеции

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Высота равна средней линии для такой трапеции, то есть 14.
      Вам стоит поработать с прямоугольными равнобедренными треугольниками в этой трапеции, которые получатся, если соединить середины оснований.

      [ Ответить ]
  2. Ольга

    Помогите, пожалуйста, в решении! В трапеции ABCD основания ВС=8 и АD=28. Диагонали пересекаются в точке О, причём АС=18. Е – середина ОС. АК – биссектриса треугольника АОD. Точка Т лежит на стороне АВ и АТ : АВ = 9 : 11. Выразите вектор DC через вектора KE = и TB = m. Заранее спасибо!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Сделайте прежде необходимые расчеты. Из подобия треугольников AOD,CBO найдите CO. Используйте свойство биссектрисы треугольника, тогда найдете OK,KD. Дошли до этого?

      [ Ответить ]
  3. Елизавета

    Помогите с задачей !! В прямоугольной трапеции диагональ равна одному из оснований и в два раза больше другого основания . Найдите углы при большей боковой стороне

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Если диагональ вдвое больше одного из оснований, то напротив этого основания ищите в прямоугольном треугольнике угол в 30 градусов, ведь, как мы знаем катет, вдвое меньший гипотенузы, лежит против угла в 30 градусов

      [ Ответить ]
  4. Азиз

    Докажите что средняя линия равнобокой трапеции описанной около окружности равна ее боковой стороне

    [ Ответить ]
    • egeMax

      //egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif

      [ Ответить ]
  5. Ирина

    Здравствуйте, помогите пожалуйста!Разница оснований прямоугольной трапеции 26см.Найти площадь трапеции,когда меньшая диагональ трапеции 23см.,а боковые стороны относятся как 2:3 спасибо!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Проведите высоту из вершины тупого угла и примените теорему Пифагора для треугольника с катетами 26, 2х и гипотенузой 3х. Далее, используя диагональ и найденную высоту найдите меньшее основание, затем и большее…

      [ Ответить ]
  6. Валерий

    Здравствуйте! Помогите пожалуйста с решением данной задачи.
    Вершины трапеции KMNP (MN параллельно KP) лежат на окружности. Диагональ KN – биссектриса угла МКР. Один из углов трапеции 76˚. Найдите дуги, на которые вершины трапеции разделили окружность.
    По свойствам понятно, что KM=MN=NP, а вот с углами не очень понятно. Буду рад если поясните. Спасибо.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Здравствуйте! Наверное, уже неактуален мой ответ… не увидела сразу ваш коммент.
      Вы же знаете свойство вписанного угла? Ещё следует использовать тот факт, что равные хорды отсекают равные дуги! Потому получаем три дуги по 76 градусов и одну 132.

      [ Ответить ]
  7. Даша

    Помогите пожалуйста. Одно основание трапеции на 5 см больше второго, диагональ ВД делится точкой пересечения диагоналей на отрезки равные 3 см и 8 см. Найти основания трапеции.CAPHTSA

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Треугольники BCO, DAO (O – точка пересечения диагоналей) подобны. Тогда, обозначив BC за x, AD – за x+5, имеем:
      x:(x+5)=3:8.
      Решаем эту пропорцию.

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

5 × 2 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif