Трапеция. Свойства трапеции

2016-06-15

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

 

Свойства трапеции

 

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники AOD и COB, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – k=\frac{AD}{BC}.

Отношение площадей этих треугольников есть k^2.

4. Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

 

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная  окружность

 

Если в трапецию вписана окружность с радиусом r  и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — a и b,  то r=\sqrt{ab}.

 

Площадь

 

S=\frac{a+b}{2}\cdot h или S=lh, где  l – средняя линия

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

Печать страницы
комментариев 415
  1. Мяу

    Помогите решить задачу в равнобедренной трапеции диагонали которой перпендикулярны меньшее основание 12 см, а большее 16. Найдите высоту и площадь трапеции

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Высота равна средней линии для такой трапеции, то есть 14.
      Вам стоит поработать с прямоугольными равнобедренными треугольниками в этой трапеции, которые получатся, если соединить середины оснований.

      [ Ответить ]
  2. Ольга

    Помогите, пожалуйста, в решении! В трапеции ABCD основания ВС=8 и АD=28. Диагонали пересекаются в точке О, причём АС=18. Е – середина ОС. АК – биссектриса треугольника АОD. Точка Т лежит на стороне АВ и АТ : АВ = 9 : 11. Выразите вектор DC через вектора KE = и TB = m. Заранее спасибо!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Сделайте прежде необходимые расчеты. Из подобия треугольников AOD,CBO найдите CO. Используйте свойство биссектрисы треугольника, тогда найдете OK,KD. Дошли до этого?

      [ Ответить ]
  3. Елизавета

    Помогите с задачей !! В прямоугольной трапеции диагональ равна одному из оснований и в два раза больше другого основания . Найдите углы при большей боковой стороне

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Если диагональ вдвое больше одного из оснований, то напротив этого основания ищите в прямоугольном треугольнике угол в 30 градусов, ведь, как мы знаем катет, вдвое меньший гипотенузы, лежит против угла в 30 градусов

      [ Ответить ]
  4. Азиз

    Докажите что средняя линия равнобокой трапеции описанной около окружности равна ее боковой стороне

    [ Ответить ]
    • egeMax

      //egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif

      [ Ответить ]
  5. Ирина

    Здравствуйте, помогите пожалуйста!Разница оснований прямоугольной трапеции 26см.Найти площадь трапеции,когда меньшая диагональ трапеции 23см.,а боковые стороны относятся как 2:3 спасибо!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Проведите высоту из вершины тупого угла и примените теорему Пифагора для треугольника с катетами 26, 2х и гипотенузой 3х. Далее, используя диагональ и найденную высоту найдите меньшее основание, затем и большее…

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

тринадцать − два =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif