Трапеция. Свойства трапеции

2023-08-06
Определение


Трапеция
– четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

виды трапеций

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

равнобедренная трапеция

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

прямоугольная трапеция

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

средняя линия

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

свойство средней линии трапеции

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

биссектриса в трапеции

3. Треугольники $AOD$ и $COB$, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – $k=\frac{AD}{BC}.$

Отношение площадей этих треугольников есть $k^2$.

57

4. Треугольники $ABO$ и $DCO$, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

свойства трапеции, равновеликие треугольники

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

окружность, вписанная в трапецию

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

qk

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

е

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

трапеция с углами при основании в сумме 90

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

свойства равнобедренной трапеции

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

трапеция вписана в окружность

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

диагонали трапеции перпендикулярны

Вписанная  окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом $r$  и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — $a$ и $b$,  то $r=\sqrt{ab}.$

4

Площадь

$\color{red}S=\frac{a+b}{2}\cdot h$ или $\color{red}S=lh,$ где  $l$ – средняя линия

площадь трапеции

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

Печать страницы
комментарий 431
  1. Ксю00014

    трапеция АВСД, ВС – 6, АД – 9, диагонали перетинаються в точке О. Найти ОД и ОВ, якщо ОД-ВО=2.

    [ Ответить ]
  2. Виталий

    Помогите пожалуйста в решении такой задачи.Найдите радиус окружности вписанной в равнобедренную трапецию если основание 8,2 см. Заранее спасибо!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Виталий, чего-то не хватает в условии. Дайте точную формулировку.

      [ Ответить ]
  3. Изольда

    Помогите пожалуйста решить задачу. Найти площадь равнобедренной трапеции если диагональ делит острый угол пополам и среднюю линию на отрезки 23 и 13.Большое спасибо.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть [latexpage] $BC,AD$ – меньшее и большее основания соответственно.
      $BC=26$, так как отрезок средней линии трапеции, равный 13, является средней линией треугольника с основанием $BC$. Аналогично $AD=46.$
      Далее замечаем, что треугольник $ABC$ – равнобедренный, тогда $AB=CD=26.$
      Опускаем из $B$ и $C$ высоты к $AD$. Из одного из образовавшихся прямоугольных треугольников находим высоту $h$ по теореме Пифагора: $h=\sqrt{26^2-10^2}=24.$
      Наконец, $S=\frac{26+46}{2}\cdot 24=…$

      [ Ответить ]
      • Денис

        Помогите пожалуйста решить задачку. Дана равнобедренная трапеция АВСD (AD параллельна BC). Известно,что AD>BC. На её описанной окружности отмечена точка Е, такая, что BE перпендикулярна AD. Докажите, что АЕ+ВС>DE.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Можно попробовать так.
          [latexpage]Пусть $BE$ пересекается с $AD$ в точке $K.$
          Введите переменные: $AK=x,KD=y$. Замечаем, $y>x.$
          Выражаем $AE,BC,DE$ через $x,y.$
          $AE=x\sqrt2,$ $BC=y-x,$ $DE=AB=\sqrt{x^2+y^2}.$
          Пробуйте теперь в новых обозначениях доказать неравенство)))

          [ Ответить ]
  4. Людмилка

    прошу подсказать решение:
    Дана трапеция АВСД (не равнобедренная!). Диагонали АС и ВД перпендикулярны, причем АС=48см. Средняя линия MN=25см.
    Высота ВН опущена на основание АД(перпендикулярна ему)
    Найти Высоту ВН

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Перенесите диагональ [latexpage]$BD$ параллельно самой себе в точку $C$. У полученного прямоугольного треугольника $ACK$ ($K$ – точка на $AD$) известна гипотенуза (50) и катет (48). Находим второй катет (14) – это $BD$ ( или $CK$).
      Теперь вам просто надо найти высоту прямоугольного треугольника $ACK$, проведенную к гипотенузе. Все для этого есть!

      [ Ответить ]
      • Людмилка

        спасибо большое, оказывается все очень просто!

        [ Ответить ]
  5. Виктория

    Елена Юрьевна,добрый вечер.Поздравляю Вас с профессиональным
    праздником! Помогите пожалуйста разобраться в задаче для 8 класса. В учебнике мало информации. Заранее благодарю Вас.
    Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Виктория,спасибо!
      Можно положить плитки друг к другу так, чтобы боковые стороны совпали, при этом меньшее основание одной плитки лежало бы на одной прямой с большим основанием другой плитки (а такое совпадение обязательно произойдет, так как сумма соседних углов при разных основаниях равна 180 градусам по свойству трапеции). Так можно покрыть полосу, а такими полосами покрыть и плоскость.

      [ Ответить ]
      • Виктория

        Большое спасибо.

        [ Ответить ]
  6. Дарья

    Помогите решить задачу по геометрии. Дана равнобедренная трапеция ABCD, меньшее основание которой равно боковой стороне. Меньшее основание трапеции равно половине большего основания. Найдите все углы трапеции. Очень прошу, помогите(

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть у трапеции [latexpage]$ABCD$ меньшее и большее основания – $BC$ и $AD$ соответственно.
      Пусть $K$ – середина $AD$. Тогда треугольник $CKD$ – равносторонний. То есть угол $D$ (а значит и угол $A$) равен 60˚. Ну тогда углы $B$ и $C$ по 120˚.

      [ Ответить ]
      • Дарья

        Спасибо большое, теперь все понятно :)

        [ Ответить ]
  7. Лея

    Помогите пожалуйста,периметр равнобедренной трапеции равен 36.средняя линия больше на 2 сантиметра чем бедро трапеции. Чему равно бедро трапеции.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть боковое ребро – [latexpage]$x$, основания – $a$ и $b$.
      Согласно условию $\frac{a+b}{2}=x+2$ (откуда $a+b=2x+4$).
      А так как периметр трапеции по условию равен $36$ (то есть $2x+a+b=36$), то $2x+2x+4=36$, откуда $x=8.$

      [ Ответить ]
      • Лея

        Огромное спасибо

        [ Ответить ]
  8. Светлана

    в равнобедренной трапеции диагональ составляет с основанием угол 30 градусов, а её высота = 4см. Найти среднюю линию трапеции. Помогите, пожалуйста! ))

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть [latexpage]$BC, AD$ – меньшее и большее основания трапеции $ABCD$ соответственно.
      Пусть $CH\perp AD$. В треугольнике $ACH$ напротив угла в 30˚ лежит катет, равный 4. Тогда $AC=2\cdot 4.$
      Следовательно $AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=4\sqrt3.$
      При этом $AH=\frac{BC+AD}{2}$, то есть длина $AH$ и есть длина средней линии.
      Ответ: $4\sqrt3.$
      Надеюсь, ясно окуда взялось $AH=\frac{BC+AD}{2}$ )))

      [ Ответить ]
  9. Александра

    Здравствуйте, помогтте пожалуйста решить задачу. В прямоугольной трапецииАВСД ,угол ВАД прямой,угол ВАС =45,угол ВСД =135, АД=30 см.Найдите меньшую боковую сторону трапеции. Назовите три равных треугольника из которых составлена эта трапеция.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Угол BCA равен 45°, так как углы BCA и CAD – накрест лежащие при BC||AD и секущей AC.
      Треугольник ABC таким образом – прямоугольный, равнобедренный.
      А так как угол С равен 135˚, то угол AСD – прямой.
      Треугольник ACD – прямоугольный, равнобедренный. Если в нем провести высоту (медиану) к гипотенузе, то он разобьется на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника (треугольник ABC также равен им).
      Меньшая боковая сторона – 15.

      [ Ответить ]
  10. Надежда

    Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить задачу: Основания трапеции равны 12 и 28, а одна из взаимно-перпендикулярных диагоналей – 24. Чему равна площадь трапеции?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Параллельно самой себе одну из диагоналей перенесите до пересечения с концом другой. Получите прямоугольный треугольник с известной гипотенузой (40) и катетом (24). Тогда второй катет (неизвестная диагональ) – 32.
      Площадь этого треугольника и есть площадь трапеции. Ответ: (32*24):2.

      [ Ответить ]
      • Надежда

        спасибо большое! Оказывается совсем просто решается, а я решила другим способом, он более громоздкий. Может подскажете решение другой задачи: найти наибольшую площадь трапеции, каждая из боковых сторон которой и меньшее основание равны 4/3 в степени 3/4.Спасибо.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Введите переменную. Пусть [latexpage] $x$ – высота трапеции.
          Тогда $S=x((\frac{4}{3})^{\frac{3}{4}}+\sqrt{(\frac{4}{3})^{\frac{3}{2}}-x^2}).$
          Исследуйте функцию $S(x)$ на наибольшее значение.

          [ Ответить ]
          • Надежда

            Спасибо большое, я так же решила.
            Меня беспокоят еще две задачи, только они не геометрические. Если Вас не затруднит, может подскажете.Вот 1 задание: найдите сумму всех целых а, при которых уравнение 2а(sinx-1) + 15 = а^2-10sinх имеет хотя бы одно решение. Я выразила sinх через а, затем, т.к. -1<sinx<1, значит и правая часть принадлежит этому промежутку, нашла сумму всех целых а, получилось 15, но этот ответ неверный. Где ошибка, не могу найти.И со второй задачей ответ не сходится, значит решаю что-то не так.2 задание: корень квадратный из выражения 2(sin^2(Пху/2) + 1 + ctg^2(Пху/2)) = – у^2 + 2у + 1. Определить х – у.Спасибо.

            [ Ответить ]
          • egeMax

            1) Начали правильно. Да, нужно выразить [latexpage]$sinx$. Должно получиться что-то вроде $sinx=\frac{a^2+2a-15}{2a+10}$ при $a\neq -5$.
            Значение $a=-5$ – дает также верное равенство.
            Решайте $|\frac{a^2+2a-15}{2a+10}|\leq 1$, незабыв потом к решению добавить $a=-5.$
            2) Так как $a+\frac{1}{a}\geq 2$, то
            под корнем: $2(sin^2\frac{xy\pi}{2}+\frac{1}{sin^2\frac{xy\pi}{2}})\geq 4$, то есть левая часть всегда больше или равна 2. А правая – меньше или равна 2. Делайте вывод.

            [ Ответить ]
          • Надежда

            Спасибо, Вы мне очень помогли.

            [ Ответить ]
  11. Танько

    Сможете помочь ._.?
    Найдите площадь равнобедренной трапеции ,диагональ которой равна 12см,а угол между диагоналям составляет 45 градусов .

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Раз трапеция равнобедренная, то диагонали равны. Воспользуйтесь формулой [latexpage]$S=\frac{d_1\cdot d_2\cdot sin\alpha}{2}$, где $\alpha $ – угол между диагоналями, $d_1=d_2=12$.  
      Или
      Перенесите одну диагональ параллельно самой себе в конец (что в меньшем основании) второй диагонали. Получите равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 12 и углом между ними 45. Подумайте, как связана его площадь с площадью исх. трапеции.

      [ Ответить ]
      • Раушан

        Помогите пожалуйста решить задачу. В прямоугольной трапеции АВСД меньшая боковая сторона АВ=10см, угол СДА=45°. Найти расстояние от С до АД

        [ Ответить ]
        • egeMax

          10.
          Только зачем дан угол в 45°, не понятно…

          [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




два × 2 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif