01. Трапеция

Опустим высоты на сторону $AD$ из точек $B$ и $C$.

Тогда, так как $BCFE$ – прямоугольник, то  $BC=EF=6.$

Треугольники $ABE$ и $DCF$ равны по гипотенузе  и катету.

Значит,

$AE=DF=\frac{12-6}{2}=3.$

Из треугольника $ABE$ по т. Пифагора:

$BE=\sqrt{5^2-3^2}=4.$

Тогда из того же треугольника $ABE:$

 $sinA=\frac{BE}{AB}=\frac{4}{5}=0,8.$

Ответ: $0,8.$ 

Пусть $BH\perp AD, CE\perp AD.$

Имеем: $BC=HE,AH=ED.$

В треугольнике $ABH:$

$sin A=\frac{BH}{AB};$

$\frac{\sqrt5}{3}=\frac{BH}{3};$

$BH=\sqrt5.$

Далее,

$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt5)^2}=2.$

Наконец,

$BC=AD-2AH=18-2\cdot 2=14.$

Ответ: $14.$ 

Проводим высоты $BH_1$ и $CH_2$.

Тогда $AH_1=DH_2=\frac{28-15}{2}=6,5.$

Так как в треугольнике $ABH_1$    $tgA=\frac{BH_1}{AH_1}$, то

 $\frac{11}{13}=\frac{BH_1}{6,5};$

$BH_1=\frac{11}{13}\cdot 6,5=5,5.$

Ответ: $5,5.$ 

В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны ($\angle A=\angle D$). Поэтому условие

$\angle C-\angle A=70^{\circ}$

можно расписать так:

$\angle B-\angle A=70^{\circ}$ (1)

A поскольку прямые $BC$ и $AD$ параллельны, то по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых имеем:

$\angle A+ \angle B=180^{\circ}$ (2)

 Итак, складывая (1) и (2), получаем:

$2\angle B=250^{\circ};$

$\angle B=125^{\circ}.$

Ответ: $125.$ 

Пусть $E,F$ – середины $AB,CD$ соответственно.

По свойству средней линии трапеции

$EF=\frac{BC+AD}{2};$

$EF=\frac{24+9}{2}=16,5.$

Ответ: $16,5.$ 

По свойству средней линии $l$ трапеции

$l=\frac{BC+AD}{2};$

$45=\frac{37+AD}{2};$

$90=37+AD;$

$AD=53.$

Ответ: $53.$ 

Пусть $EF$ – средняя линия трапеции,  $S$ – точка пересечения диагонали $BD$ и  средней линии $EF$.

По свойству средней линии трапеции $EF||AD.$

И поскольку $E$ – середина $AB$, то по т. Фалеса $S$ – середина $BD.$

Значит, $ES$ – средняя линия треугольника $ABD$ по определению.

Тогда по свойству средней линии треугольника

$ES=\frac{AD}{2}=5.$

Откуда $SF=2.$

$ES$ – больший из отрезков средней линии.

Ответ: $5.$ 

Из предыдущей задачи мы уже знаем, что средняя линия трапеции содержит точки – середины диагоналей.

То есть $EF$ – часть средней линии. Более того,

$ME=FN=\frac{BC}{2}=6,$

$MF=NE=\frac{AD}{2}=30.$

Итак,

$EF=MF-ME=30-6=24.$

Ответ: $24.$ 

Опускаем перпендикуляры $BH_1$ и $CH_2$ на сторону $AD$.

Тогда

$H_1H_2=29,\; AH_1=AH_2=\frac{50-29}{2}=10,5.$

В треугольнике $ABH_1$ (так как $AH_1$ лежит напротив угла $30^{\circ}$ в прямоугольном треугольнике) замечаем:

$AB=2AH_1=21.$

Итак,

$P=21+29+21+50=121.$

Ответ: $121$. 

Пусть $AB$ – боковая сторона, указанная в условии.

Пусть $BH\perp AD.$

Согласно условию

$114=\frac{14+24}{2}\]cdot h,$   где $h=BH$ – высота трапеции.

Откуда $BH=6.$

В треугольнике $ABH$  катет $BH=6$ вдвое меньше гипотенузы $AB=12.$  Значит,

$\angle A=30^{\circ}.$

Ответ: $30$. 

Заметим, так как  $CE||AB$  и $BC||AD$ по условию, то четырехугольник $ABCE$ – параллелограмм. Поэтому $AB=CE,\;BC=AE$

Пусть $AB=x,CD=y.$

Имеем:

$P_{CDE}=39=x+y+ED,$

откуда

$ED=39-(x+y),$

$P_{ABCD}=AB+BC+CD+(AE+ED)=x+19+y+(19+39-(x+y))=$

$=19+19+39=77.$

Ответ: $77.$ 

Пусть $CE$ – перпендикуляр из условия (к большему основанию). Пусть $BH\perp AD.$  Тогда $BCEF$ – прямоугольник и $BC=HE.$

Пусть $l$ – длина средней линии.

$l=\frac{AD+BC}{2}=\frac{AD+HE}{2}=\frac{(AE+ED)+(AE-ED)}{2}=AE=74.$

Ответ: $74.$ 

По условию $BC:AD=4:5$, тогда пусть $BC=4x,\;AD=5x.$

 Пусть $l$ – средняя линия трапеции.

$l=\frac{BC+AD}{2};$

$54=\frac{4x+5x}{2};$

$54=\frac{9x}{2};$

$x=12.$

Тогда

$BC=4x=48.$

Ответ: $48.$ 

Треугольники $ABO$ и $CDO$ – равнобедренные, прямоугольные.

Высоты $OE,\;OF$ в этих треугольниках – медианы.

А так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то $OE=\frac{AB}{2},$ $OF=\frac{DC}{2}.$

Так как $EF$ – и есть высота трапеции, то

$l=\frac{AB+DC}{2}=\frac{AB}{2}+\frac{DC}{2}=OE+OF=EF=46,$

где  $l$ – средняя линия трапеции.

Ответ: $46.$ 

Пусть $CH$ – перпендикуляр к $AD.$

$ABCH$ – прямоугольник, $BC=AHю$

Треугольник $CDH$ – прямоугольный и равнобедренный,

$CH=HD=AD-AH=AD-BC=24-16=8.$

Итак,

$S=\frac{BC+AD}{2}\cdot H=\frac{16+24}{2}\cdot 8=160.$

 Ответ: $160.$ 

Пусть $BH\perp AD$ и $CE\perp AD.$

$BCEF$ – прямоугольник, $BC=HE.$

Далее

$AH=DE=\frac{AD-BC}{2}=\frac{23-17}{2}=3.$

$P=2AB+BC+AD;$

$50=2AB+17+23;$

$AB=5.$

Из треугольника $ABH:$

$H=BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4.$

Итак,

$S=\frac{AB+AD}{2}\cdot H=\frac{17+23}{2}\cdot 4=80.$

 Ответ: $80.$ 

Пусть $l$ – средняя линия трапеции. Тогда $l=\frac{BC+AD}{2}.$

Из прямоугольного треугольника, помеченного голубым цветом, по т. Пифагора

$BC=\sqrt{(2\sqrt2)^2+(2\sqrt2)^2}=4.$

Аналогично

$AD=\sqrt{(5\sqrt2)^2+(5\sqrt2)^2}=10.$

Получаем

$l=\frac{4+10}{2}=7.$

 Ответ: $7.$