Главная
Справочник
Видеоуроки
Тесты
Статьи
Архив
Карта сайта
Контакты
Продолжаем решать простейшие геометрические задачки, связанные с углами.
Разбираем Задачи №6 ЕГЭ по математике.
Сегодня работаем с трапецией.
В категорию «Задания №6» входят также задачи следующих типов + показать
Вы можете пройти автотренинг «Планиметрия»
Задача 1.
Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции.
Решение: + показать
из точек 
и 
.
– прямоугольник, то 
и 
равны по гипотенузе и катету. Значит, 
Задача 2.
Основания равнобедренной трапеции равны 28 и 15. Тангенс острого угла равен 
. Найдите высоту трапеции.
Решение: + показать
Проводим высоты 
и 
.
, то 
Задача 3.
Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 
? Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
можно расписать так: 
и 
(по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых).
Подставляем в выражение из п.2:
Задача 4.
Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 24 и 9.
Решение: + показать
трапеции 
Задача 5.
Средняя линия трапеции равна 45, а меньшее основание равно 37. Найдите большее основание трапеции.
Решение: + показать
Задача 6.
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Решение: + показать
Пусть 
– средняя линия трапеции, 
– точка пересечения диагонали 
и средней линии 
– середина 
, то по т. Фалеса 
– средняя линия треугольника 
по определению.
Задача 7.
Основания трапеции равны 12 и 60. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Решение: + показать
– часть средней линии. Более того, 
,
Задача 8.
В равнобедренной трапеции основания равны 29 и 50, острый угол равен 
. Найдите ее периметр.
Решение: + показать
так как 
лежит напротив угла 
в прямоугольном треугольнике;
Задача 9.
Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 19, отсекает треугольник, периметр которого равен 39. Найдите периметр трапеции.
Решение: + показать
и 
по условию, то четырехугольник 
– 
Задача 10.
Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 74 и 41. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Решение: + показать
Задача 11.
Основания трапеции относятся как 4:5, а средняя линия равна 54. Найдите меньшее основание.
Решение: + показать
, тогда пусть 
Задача 12.
В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 46. Найдите ее среднюю линию.
Решение: + показать
Треугольники 
и 
– равнобедренные, прямоугольные.
в этих треугольниках – и медианы.
и есть высота трапеции, то 
где Задача 13.
Найдите среднюю линию трапеции 
, если стороны квадратных клеток равны 
.
Решение: + показать
Пусть 
Вы можете пройти тест по теме «Трапеция»
Ещё один вопрос, по задаче 7: подскажите пожалуйста в какой теореме говорится о том что RN=MT=BC/2 и RM=NT=AD/2 ???
В задаче 6 об этом сказано чуть подробнее…
RN и MT – средние линии треугольников АВС, ВСD соответственно. Именно поэтому RN=MT=BC/2. Аналогично и с RM и NT.
Здравствуйте, Елена!
Спасибо за сайт!
Скажите, пожалуйста, как вы относитесь к пособиям авторов Лысенко и Калабуховой?
Наталья, здравствуйте!
Отношусь нормально. Иногда использую в работе.
Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить задачу:
В трапеции ABCD с основаниями АВ и СD диагонали АС и ВD равны 18 и 16 соответственно. На диагонали АС как на диаметре построена окружность, пересекающая прямую АВ в точке К. Найдите длину АК, если известно, что угол САВ в два раза меньше угла ABD.
У меня была аналогичная про площадь трапеции, без окружности, диагонали были 10 и 12, легко вычислялся синус, 0,8 и дальше через синус тройного угла (не самое простое решение, но другого не нашла).
а с этой просто не знаю, что и делать. помогите, пожалуйста.
Такая схема решения получается:
Так как треугольник AKC прямоугольный, то AK=18cosx.
Одну из диагоналей переносим параллельно самой себе так, чтобы образовался треугольник со сторонами 16, 18, третья сторона – сумма оснований. В этом треугольнике присутствует угол 3х и угол x. Применить дважды теорему косинусов, решить систему двух уравнений, из которой и найти cosx…
спасибо огромное, запутанное условие помешало увидеть прямой угол!
другое решение: в достроенном треугольнике пойти по теореме синусов:
sinx/16=sin2x/18, обходимся без системы, сразу есть cosx и искомая сторона!
Благодарю за отзывчивость!
ответ 10,125 (вдруг задача кому нибудь еще понравится?)
Да, задачка – супер!
Одна голова – хорошо, а две – лучше! Ваше решение через синусы –
!
Помогите решить
В трапеции ABCD основания 2 и 6,а углы при большем основании равны 30 и 135 градусов.Найти периметр трапеции
Доп. построение:
Из вершины С меньшего основания BC опускаем на продолжение AD перпендикуляр CH. Также из C проводим прямую, параллельную AB до пересечения с AD в точке K. Треугольник DCH прямоугольный, равнобедренный. Пусть CH=x. Тогда и DH=x.
Треугольник KCH – прямоугольный с острым углом 30 градусов, значит KC=2CH=2x. Для треугольника KCH применяем теорему Пифагора:
(х+4)^2+x^2=4x^2, откуда находим x.
Теперь несложно вычислить периметр трапеции.
P.S. Есть, кстати, такие слова, как “пожалуйста”…
Здравствуйте! К геометрии это не относится: в примерах выше есть две задачи под одним номером 10.
Рустем, спасибо!