Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы
13. Дано уравнение 
a) Решите уравнение.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку ![Rendered by QuickLaTeX.com [\frac{3\pi}{2};3\pi].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e2659b5ac1eef4f9d9327922962d679_l3.svg)
Решение: + показать
а)
при условии 



или
при условии 

или 
б) Отбор корней уравнения из указанного отрезка производим при помощи тригонометрического круга.

Ответ:
а) 
б) 
14. В прямоугольном параллеллепипеде
Точка
– середина ребра
, точка
лежит на ребре
так, что 
а) Докажите, что плоскость
делит объем параллелепипеда в отношении 
б) Найдите расстояние от точки
до плоскости 
Решение: + показать
a) Построим сечение параллелепипеда плоскостью
.
Находим точку
пересечения прямых
плоскости
.
Прямая
плоскости
пересекает ребро
в точке 
Четырехугольник
– сечение параллелепипеда плоскостью 

Объем малого отсекаемого плоскостью сечения многогранника
будем искать как разность объемов соответствующих пирамид:
.

Заметим, треугольники
равны по катету (
) и острому углу (
, вертикальные).
Значит, 

Далее, треугольники
подобны по первому признаку, тогда



Итак,

При этом 
Стало быть, объем
большего отсекаемого плоскостью сечения многогранника есть

Наконец,
, что и требовалось доказать.
б) Пусть
. По теореме о трех перпендикулярах
. То есть плоскость
перпендикулярна плоскости
по признаку перпендикулярности плоскостей. Но тогда для того, чтобы построить перпендикуляр из точки
к плоскости
, достаточно построить в плоскости
перпендикуляр к
(линии пересечения перпендикулярных плоскостей) согласно свойству перпендикулярных плоскостей.

Для треугольника 
, с другой стороны
.
Поэтому 
Тогда из треугольника 

Откуда

Наконец, из треугольника 



Ответ: б) 
15. Решите неравенство 
Решение: + показать


Применяем метод замены множителей, а именно, заменяем разность
произведением
и разность
произведением
при соблюдении области допустимых значений переменной
.




Ответ: 
16. На сторонах прямоугольного треугольника АВС, как на диаметрах, построены полуокружности
и
( см. рис.).
а) Докажите, что площадь треугольника
равна сумме площадей двух луночек, ограниченных полуокружностями
и
и полуокружностями
и
.
б) Пусть прямая
касается
в точке
, а
в точке
. Найдите длину отрезка
, если известно, что сумма площадей двух луночек равна
.

Решение: + показать
17. Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?
Решение: + показать
Пусть Миша и Маша положили по
тыс. рублей. Через год на их счетах окажется по
тыс. рублей.
Про Мишу.
Миша снимет
тыс. рублей (через год после открытия вклада, после действия процентов). На счету –
.
Через год –
.
Миша вносит
тыс. рублей, на счету –
.
Еще через год на счету –

Про Машу.
Маша доложила
тыс. рублей (через год после открытия вклада, после действия процентов). На счету –
.
Через год –
.
Маша снимает
тыс. рублей, на счету –
.
Еще через год на счету –

Через три года со времени первоначального вложения разница вкладов составит (в тыс. рублей)
.
Итак, Маша получит через три года со времени первоначального вложения на
тыс. рублей больше.
Ответ: Маша, на 1100 рублей.
18. Найдите все значения параметра
, при каждом из которых уравнение
![Rendered by QuickLaTeX.com 7^{ax^2-2x}-7^{x^2-1}=\sqrt[7]{2x-ax^2}-\sqrt[7]{1-x^2}](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-411871af8ca7b4f892b5f0db0f8bb00c_l3.svg)
имеет ровно два различных действительных корня.
Решение: + показать
Перепишем уравнение так:
![Rendered by QuickLaTeX.com 7^{ax^2-2x}+\sqrt[7]{ax^2-2x}=7^{x^2-1}+\sqrt[7]{x^2-1};](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd6fdf66241de65ae0bf2fb38a9ff0c5_l3.svg)
Рассмотрим функцию ![Rendered by QuickLaTeX.com f(t)=7^t+\sqrt[7]{t}.](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ace92aa151b735914ba9ffbf6decd735_l3.svg)
Функция – монотонная, непрерывная как сумма двух монотонных непрерывных функции.
Поэтому, если
, то 
Имеем


Если
, то последнее уравнение, также как и исходное уравнение, имеет единственный корень.
Потребуем, чтобы
для
:


Итак, 
Ответ: 
В доказательстве к № 16а допущена опечатка.Перед S треугольника АВС должен быть +
Людмила, спасибо большое))
Здравствуйте!
1)Вообще-то перенос корня с правой части в левую должен происходить
с противоположным знаком
2) На каком основании вы поменяли под корнем местами слагаемые
3) Правильнее было-бы так:
3.1) ОДЗ
3.2) 7^(-(2x-ax^2))-(2x-ax^2)^(1/7)=7^(-(1-x^2))-(1-x^2)^(1/7)
затем рассмотреть f(t)=7^(-t)-t^(1/7)
3.3) Доказать через f'<0 всюду в области ОДЗ
3.4) и только после этого, используя утверждение о том, что
монотонно убывающая функция принимает каждое свое значение в одной точке из ОДЗ, записать, что f(p)=f(q) p=q
…
4) В общем ответ у вас неверный:
Ваш ответ утверждает, что точка x=0 – решение вашего уравнения
Подставьте в исходник x=0 и убедитесь, что равенства здесь нет!
1-1/7=0-1
N18
Извините пункт 4) неверно прокомментирован
Если решение неверно, почему его выкладываете?
Хотите запудрить серое вещество?
В общем, наверно, я не прав!
Можете удалить мой комментарий
Прошу прощения