Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы
13. Дано уравнение 
a) Решите уравнение.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку ![Rendered by QuickLaTeX.com [-3\pi;-2\pi].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fbd6195ddaddc16bba730320d8253850_l3.svg)
Решение: + показать
a)






или 

или 
или 
б) Произведем отбор корней из указанного отрезка при помощи тригонометрического круга.

Ответ:
а) 
б) 
14. В правильной четырехугольной пирамиде
все ребра равны между собой. На ребре
отмечена точка
.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью
является трапецией.
б) Найдите угол, который образует плоскость
с плоскостью основания пирамиды, если известно, что 
Решение: + показать
a) Так как
, то прямая
параллельна плоскости
. Согласно свойству прямой, параллельной плоскости (если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей), плоскость сечения пересечет плоскость
по прямой, параллельной
. Поэтому строим прямую
в плоскости
, параллельную
, для чего отмечаем на ребре
точку
так, что
(коль по условию
).
Итак,
, что означает, что
(сечение пирамиды плоскостью
) – трапеция.

б) Так как
, тогда пусть 
Вершина
пирамиды проецируется в центр (назовем
) квадрата
.
Точка
проецируется на прямую
, причем
(по свойству о пропорциональных отрезках).
Построим перпендикуляр
к прямой
в плоскости основания пирамиды. По теореме о трех перпендикулярах получаем, что и
.
Итак, угол
– угол между плоскостями сечения и основания пирамиды.
Будем находить тангенс угла
из треугольника
, для чего нам потребуются длины
.



(
);

Итак,

Ответ: б) 
15. Решите неравенство 
Решение: + показать
16. Четырехугольник
вписан в окружность. Прямые
и
пересекаются в точке
.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника
, если известно, что
, а площадь четырехугольника
равна
.
Решение: + показать
а) У треугольников
угол
общий, углы
и
равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Значит, треугольники подобны по двум углам.

Тогда
, откуда
,
что и требовалось доказать.
б) Докажем подобие треугольников
.
Замечаем, указанные треугольники имеют общий угол (
).
Далее, пусть
. Тогда
(сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна
).
Но и
.
То есть 

Треугольники
подобны по двум углам.
Поскольку коэффициент подобия равен
(
), то 
Итак,
,
откуда

Ответ: б)
.
17. В одном сосуде находится 21 л 75%-ного (по объему) раствора кислоты, а в другом 9 л 30%-ного раствора той же кислоты. Из каждого сосуда отлили равное количество жидкости, и взятое из первого сосуда вылили во второй, а взятое из второго вылили в первый. Сколько литров было взято из каждого сосуда, если в результате в них оказался раствор одной и той же концентрации?
Решение: + показать
Содержание кислоты (в литрах) в первом сосуде –
во втором – 
Пусть отливали из каждого сосуда по
литров раствора.
Тогда в отлитом из первого сосуда растворе содержалось
литров кислоты, а в отлитом из второго сосуда –
литров кислоты.
После того, как взятое из первого сосуда вылили во второй, а взятое из второго вылили в первый, содержание (в литрах) кислоты будет следующим:
в первом – 
во втором – 
Итак, в первом сосуде теперь содержится
литров кислоты, во втором –
.
Тогда концентрация кислоты в первом сосуде составляет теперь

во втором

Так как по условию в результате оказался раствор одной и той же концентрации, то





Ответ: 
18. Найдите все значения параметра
, при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.
Решение: + показать

Первая строка исходной системы задает отрезок с концами 
Действительно, левая часть уравнения – есть сумма расстояний от некоторой точки
до точек
При этом расстояние между точками
равно
, а в правой части уравнения как раз и стоит
.
Вторая строка системы – серия окружностей с радиусом
, центром 

Далее – кратко.
Исходная система будет иметь единственное решение в следующих случаях:
а) окружность касается отрезка (см. рис.);
б) окружность располагается в зоне, помеченной зеленым цветом (см. рис.), при этом левая граница зоны открыта.
Окружность
проходит через точку
при
, так как





Очевидно, окружность
касается отрезка
при 
Ответ: {
}![Rendered by QuickLaTeX.com \cup (4-\sqrt2;4+\sqrt2].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b8430d85ae72055220cea41db5a97a62_l3.svg)
Елена, справа скобку надо закрыть. Опечатка.
Благодарю :)
графический способ интересный в 18. Спасибо
+
Как определены знаки на промежутках в 15?
Как обычно… при работе с методом интервалов… Проверяем знак на одном из промежутков (например, на крайнем правом), далее идет чередование знаков за исключением случая перехода через точку ноль (при переходе через нее – сбой чередования знаков).
Скажите, пожалуйста, почему левая граница зоны в 18 номере открыта?
Валерия, посмотрите на окружность, что на рисунке выделена жирным пунктиром (она соответствует параметру левой границы зоны). Она дважды пересекает отрезок синий.
А нас интересует единственное решение.
Здравствуйте! Подскажите, в номере 14 как мы понимаем, что проекция точки N обязательно попадает на OD?
Потому что OD – проекция PD, а точка N принадлежит именно PD.
Первая строка исходной системы задает отрезок с концами (4;0),(4;4).как вы это определили ?
Читайте после слов “Действительно,…”