05 Ноя 2015

Категория: Т/P A. Ларина

Тренировочная работа №129 А. Ларина

Елена Репина 2015-11-05 2016-09-06

Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы

13. Дано уравнение $\sqrt{tgx}\cdot (2sin^2x-sinx-1)=0.$

a) Решите уравнение.

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2};2\pi].$

Решение: + показать

14. Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ .

а) Докажите, что объем пирамиды с вершинами в точках $A,B_1,B, C_1$ составляет третью часть объема призмы.

б) Найдите угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ , если известно, что $AB=2, AA_1=4.$

Решение: + показать

15. Решите неравенство $log_{x+1}2\leq log_{3-x}2.$

Решение: + показать

16. В равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ вписана окружность. Вторая окружность, построенная на боковой стороне $AB$ как на диаметре, второй раз пересекает большее основание $AD$ в точке $H$ .

а) Докажите, что треугольник $CHD$ равнобедренный.

б) Найдите основания трапеции, если радиусы первой и второй окружностей равны соответственно $6$ и $6,5$ .

Решение: + показать

a) Пусть $O_1,O_2$ – центры первой и второй окружностей соответственно.

8гш

Покажем прежде, что точки $C,H$ и $O_1$ лежат на одной прямой.

Заметим, $BH$ – высота трапеции, коль вписанный угол $H$ опирается на диаметр $AB$ окружности. Опустим перпендикуляр $CF$ из вершины $C$ на сторону $AD$ трапеции.

Тогда $BCFH$ – прямоугольник. Обозначим точку пересечения его диагоналей за $P$ . Покажем, что точки $P$ и $O_1$ совпадут.

$O_1$ – точка пересечения линии симметрии трапеции $ABCD$ и прямой, равноудаленной от оснований.

Но и $P$ – точка пересечения тех же прямых, о которых говорилось выше – одной из осей симметрии прямоугольника (той, что равноудалена от $BH,CF$ , она же совпадает с линией симметрии трапеции и прямой, равноудаленной от $BC$ и $AD$ ).

Итак, точки $O_1$ и $P$ совпали. То есть $C,H$ и $O_1$ лежат на одной прямой.

Но тогда треугольник $CHD$ таков, что в нем биссектриса $DO_1$ (центр вписанной окружности в трапеции – точка пересечения биссектрис при вершинах) является и медианой ( $CO_1=HO_1$ в прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам). Значит, треугольник $CHD$ – равнобедренный ( $CD=HD$ ).

Что и требовалось доказать.

б) Замечаем также, что вторая окружность (с центром в точке $O_2$ ) проходит через центр первой. Действительно, $O_1$ , является, в частности, точкой пересечения биссектрис углов $A$ и $B$ , а биссектрисы углов при боковой стороне трапеции, очевидно, высекают прямоугольный треугольник. Так у этого треугольника гипотенуза – диаметр $AB$ второй окружности. Точке $O_1$ остается принадлежать второй окружности.

57е

Пусть $Q$ – точка касания первой окружности со стороной $AB$ .

Треугольники $QO_1O_2, HBA$ подобны по двум углам. Коэффициент подобия их – $2$ . Действительно, так как $O_1$ – точка пересечения биссектрис углов трапеции, а биссектрисы углов трапеции при боковой стороне высекают прямоугольный треугольник, то медиана $O_1O_2$ равна половине гипотенузы. То есть $k=\frac{AB}{O_1O_2}=2$ для указанных треугольников.

Тогда $AH=2O_2Q$ , при этом из треугольника $QO_2O_1$

$QO_2=\sqrt{6,5^2-6^2}=2,5.$

То есть $AH=5.$

Так как $O_1O_2$ – средняя линия трапеции $AHCB$ , то

$6,5=\frac{BC+5}{2},$

откуда

$BC=8.$

Наконец,

$AD=BC+2AH=18.$

Ответ: б) $8;18$ .

17. На первом складе находятся коробки с простыми карандашами, а на втором – с цветными. Количество коробок простых карандашей составляет $\frac{14}{17}$ от числа коробок цветных карандашей. Когда со складов продали $\frac{3}{8}$ коробок простых карандашей и $\frac{5}{9}$ цветных, то на первом складе осталось менее $3000$ коробок, а на втором – не менее $2000$ коробок. Сколько коробок было первоначально на каждом складе?

Решение: + показать

18. Найдите все положительные значения $a$ , при каждом из которых любой корень уравнения

$0,5^x-3x-\sqrt[3]x+4=a(5-log_3(1-2x))$

находится в промежутке $[-1;0].$

Решение: + показать

Автор: egeMax | комментарий 21

Печать страницы

комментарий 21

← Предыдущие комментарии

Нина

2016-03-11 в 12:05

здравствуйте! большое Вам спасибо за решения и за Ваш труд. Я нашла опечатку в ответе к задаче №18, там нужно написать 2,5 вместо 2,25.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-03-11 в 13:21
  
  Нина, спасибо большое!
  Подправила.
  
  [ Ответить ]

← Предыдущие комментарии

Тренировочная работа №129 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ