Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы
13. Дано уравнение 
a) Решите уравнение.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку ![Rendered by QuickLaTeX.com [\frac{\pi}{2};2\pi].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-35f634954593297f537f24692438982b_l3.svg)
Решение: + показать
a)




или 
б) Произведем отбор корней исходного уравнения при помощи тригонометрического круга.

Ответ:
а)

б) 
14. Дана правильная треугольная призма
.
а) Докажите, что объем пирамиды с вершинами в точках
составляет третью часть объема призмы.
б) Найдите угол между прямыми
и
, если известно, что 
Решение: + показать
a)
(Кратко ;) на этот раз…)



Что и требовалось доказать.
б) Продлим луч
за точку
, отметим на нем точку
так, что
.
– параллелограмм, то есть
. Тогда 

Несложно заметить, что

Из треугольника
по теореме косинусов:



Из треугольника
по теореме косинусов:




Откуда 
Ответ: б) 
15. Решите неравенство 
Решение: + показать
16. В равнобедренную трапецию
с основаниями
и
вписана окружность. Вторая окружность, построенная на боковой стороне
как на диаметре, второй раз пересекает большее основание
в точке
.
а) Докажите, что треугольник
равнобедренный.
б) Найдите основания трапеции, если радиусы первой и второй окружностей равны соответственно
и
.
Решение: + показать
a) Пусть
– центры первой и второй окружностей соответственно.

Покажем прежде, что точки
и
лежат на одной прямой.
Заметим,
– высота трапеции, коль вписанный угол
опирается на диаметр
окружности. Опустим перпендикуляр
из вершины
на сторону
трапеции.
Тогда
– прямоугольник. Обозначим точку пересечения его диагоналей за
. Покажем, что точки
и
совпадут.
– точка пересечения линии симметрии трапеции
и прямой, равноудаленной от оснований.
Но и
– точка пересечения тех же прямых, о которых говорилось выше – одной из осей симметрии прямоугольника (той, что равноудалена от
, она же совпадает с линией симметрии трапеции и прямой, равноудаленной от
и
).
Итак, точки
и
совпали. То есть
и
лежат на одной прямой.
Но тогда треугольник
таков, что в нем биссектриса
(центр вписанной окружности в трапеции – точка пересечения биссектрис при вершинах) является и медианой (
в прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам). Значит, треугольник
– равнобедренный (
).
Что и требовалось доказать.
б) Замечаем также, что вторая окружность (с центром в точке
) проходит через центр первой. Действительно,
, является, в частности, точкой пересечения биссектрис углов
и
, а биссектрисы углов при боковой стороне трапеции, очевидно, высекают прямоугольный треугольник. Так у этого треугольника гипотенуза – диаметр
второй окружности. Точке
остается принадлежать второй окружности.

Пусть
– точка касания первой окружности со стороной
.
Треугольники
подобны по двум углам. Коэффициент подобия их –
. Действительно, так как
– точка пересечения биссектрис углов трапеции, а биссектрисы углов трапеции при боковой стороне высекают прямоугольный треугольник, то медиана
равна половине гипотенузы. То есть
для указанных треугольников.
Тогда
, при этом из треугольника 

То есть 
Так как
– средняя линия трапеции
, то

откуда

Наконец,

Ответ: б)
.
17. На первом складе находятся коробки с простыми карандашами, а на втором – с цветными. Количество коробок простых карандашей составляет
от числа коробок цветных карандашей. Когда со складов продали
коробок простых карандашей и
цветных, то на первом складе осталось менее
коробок, а на втором – не менее
коробок. Сколько коробок было первоначально на каждом складе?
Решение: + показать
Пусть первоначально на втором складе было
коробок (с цветными карандашами). Тогда, согласно условию, количество коробок (с простыми карандашами) на первом складе –
.
Если продали
коробок цветных карандашей, то на складе осталось
(то есть
) коробок цветных карандашей.
Если продали
коробок простых карандашей, то на складе осталось
(то есть
) коробок простых карандашей.
Так как в итоге на первом складе осталось менее
коробок, а на втором – не менее
коробок, то


Учитывая, что
, первое неравенство системы можно переписать так: 
Подитог: 
Учитывая, что
кратно
и
, получаем, что
кратно
. Таким образом,
или
.
Итак, на первом складе было первоначально
карандашей, на втором –
. Или на первом складе было первоначально
карандашей, на втором – 
Ответ:
и
;
и
.
18. Найдите все положительные значения
, при каждом из которых любой корень уравнения
![Rendered by QuickLaTeX.com 0,5^x-3x-\sqrt[3]x+4=a(5-log_3(1-2x))](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cd18aace65feaf37c8660ee54a34f98b_l3.svg)
находится в промежутке ![Rendered by QuickLaTeX.com [-1;0].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e32b0e98983884946d265a61b171a68_l3.svg)
Решение: + показать
здравствуйте! большое Вам спасибо за решения и за Ваш труд. Я нашла опечатку в ответе к задаче №18, там нужно написать 2,5 вместо 2,25.
Нина, спасибо большое!
Подправила.