Тренировочная работа №129 А. Ларина

a)

$\sqrt{tgx}\cdot (2sin^2x-sinx-1)=0;$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}tgx=0,\\2sin^2x-sinx-1=0;\end{array}\right.\\tgx\geq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}tgx=0,\\sinx=1,\\sinx=-\frac{1}{2};\end{array}\right.\\tgx\geq 0;&\end{cases}$

$x=\pi n,n\in Z$ или $x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k, k\in Z.$

б) Произведем отбор корней исходного уравнения при помощи тригонометрического круга.

Ответ:

а) $\pi n,n\in Z,$ $\frac{7\pi}{6}+2\pi k, k\in Z;$

б) $\pi;\frac{7\pi}{6};2\pi.$

a)

(Кратко ;) на этот раз…)

$V_{AB_1BC_1}=V_{ABCA_1B_1C_1}-V_{ABCC_1}-V_{A_1B_1C_1A};$

$V_{AB_1BC_1}=V_{ABCA_1B_1C_1}-\frac{1}{3}\cdot V_{ABCA_1B_1C_1}-\frac{1}{3}\cdot V_{ABCA_1B_1C_1}=\frac{V_{ABCA_1B_1C_1}}{3}.$

Что и требовалось доказать.

б) Продлим луч $CB$ за точку $B$, отметим на нем точку $T$ так, что $BT=CB$.

$BC_1B_1T$ – параллелограмм, то есть $B_1T\parallel C_1B$. Тогда $\angle (AB_1;C_1B)=\angle (AB_1;B_1T).$

Несложно заметить, что

$AB_1=B_1T=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}.$

Из треугольника $ABT$ по теореме косинусов:

$AT^2=AB^2+BT^2-2\cdot AB\cdot BT\cdot cos120^{\circ};$

$AT^2=2^2+2^2-2\cdot 2\cdot 2\cdot (-\frac{1}{2});$

$AT=\sqrt{12}.$

Из треугольника $AB_1T$ по теореме косинусов:

$AT^2=AB_1^2+B_1T^2-2AB_1\cdot B_1T\cdot cos\angle (AB_1;B_1T);$

$12=20+20-2\cdot 20\cdot cos\angle (AB_1;B_1T);$

$cos\angle (AB_1;B_1T)=\frac{28}{40};$

$cos\angle (AB_1;B_1T)=0,7.$

Откуда $\angle (AB_1;B_1T)=arccos0,7.$

Ответ: б) $arccos0,7.$

$log_{x+1}2\leq log_{3-x}2;$

$\frac{1}{log_2(x+1)}\leq \frac{1}{log_2(3-x)};$

$\frac{log_2(3-x)-log_2(x+1)}{log_2(x+1)\cdot log_2(3-x)}\leq 0;$

Применяем метод замены множителей:

$\begin{cases}\frac{(2-1)(3-x-x-1)}{(2-1)(x+1-1)(2-1)(3-x-1)}\leq 0,\\3-x>0,\\x+1>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{2-2x}{x(2-x)}\leq 0,\\x<3,\\x>-1;&\end{cases}$

$x\in (-1;0)\cup [1;2).$

Ответ: $(-1;0)\cup [1;2).$

a) Пусть $O_1,O_2$ – центры первой и второй окружностей соответственно.

Покажем прежде, что точки $C,H$ и $O_1$ лежат на одной прямой.

Заметим, $BH$ – высота трапеции, коль вписанный угол $H$ опирается на диаметр  $AB$ окружности.  Опустим перпендикуляр $CF$ из вершины $C$ на сторону $AD$ трапеции.

Тогда $BCFH$ – прямоугольник. Обозначим точку пересечения его диагоналей за $P$. Покажем, что точки $P$ и $O_1$ совпадут.

$O_1$ – точка пересечения линии симметрии трапеции $ABCD$ и прямой, равноудаленной от оснований.

Но и $P$ – точка пересечения тех же прямых, о которых говорилось выше – одной из осей симметрии прямоугольника  (той, что равноудалена от $BH,CF$, она же совпадает с линией симметрии трапеции и прямой, равноудаленной от $BC$ и $AD$).

Итак, точки $O_1$ и $P$ совпали. То есть $C,H$ и $O_1$ лежат на одной прямой.

Но тогда треугольник $CHD$ таков, что в нем биссектриса $DO_1$ (центр вписанной окружности в трапеции – точка пересечения биссектрис при вершинах) является и медианой ($CO_1=HO_1$ в прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам). Значит, треугольник $CHD$ – равнобедренный ($CD=HD$).

Что и требовалось доказать.

б) Замечаем также, что вторая окружность (с центром в точке $O_2$) проходит через центр первой. Действительно, $O_1$, является, в частности, точкой пересечения биссектрис углов $A$ и $B$, а биссектрисы углов при боковой стороне трапеции, очевидно, высекают прямоугольный треугольник. Так у этого треугольника гипотенуза – диаметр $AB$ второй окружности. Точке $O_1$ остается принадлежать второй окружности.

Пусть $Q$ – точка касания первой окружности со стороной $AB$.

Треугольники $QO_1O_2, HBA$ подобны по двум углам. Коэффициент подобия их – $2$. Действительно, так как $O_1$ – точка пересечения биссектрис углов трапеции, а биссектрисы углов трапеции при боковой стороне высекают прямоугольный треугольник, то медиана $ O_1O_2$ равна половине гипотенузы. То есть $k=\frac{AB}{O_1O_2}=2$ для указанных треугольников.

Тогда $AH=2O_2Q$, при этом из треугольника $QO_2O_1$

$QO_2=\sqrt{6,5^2-6^2}=2,5.$

То есть $AH=5.$

Так как $O_1O_2$ – средняя линия трапеции $AHCB$, то

$6,5=\frac{BC+5}{2},$

откуда

$BC=8.$

Наконец,

$AD=BC+2AH=18.$

Ответ: б) $8;18$.

Пусть первоначально на втором складе было $n$ коробок (с цветными карандашами). Тогда, согласно условию, количество коробок (с простыми карандашами) на первом складе – $\frac{14}{17}n$.

Если продали $\frac{5}{9}$ коробок цветных карандашей, то на складе осталось $n-\frac{5n}{9}$ (то есть $\frac{4n}{9}$) коробок цветных карандашей.

Если продали $\frac{3}{8}$ коробок простых карандашей, то на складе осталось $\frac{14}{17}n-\frac{3}{8}\cdot \frac{14}{17}n$ (то есть $\frac{35n}{68}$) коробок  простых  карандашей.

Так как в итоге на первом складе осталось менее $3000$ коробок, а на втором – не менее $2000$ коробок, то

$\begin{cases}\frac{35n}{68}<3000,\\\frac{4n}{9}\geq 2000;&\end{cases}$

$\begin{cases}n<\frac{3000\cdot 68}{35},\\n\geq 4500;&\end{cases}$

Учитывая, что $n\in N$, первое неравенство системы можно переписать так: $n\leq 5828.$

Подитог: $4500 \leq n \leq 5828$

Учитывая, что $n$ кратно $17,9$ и $68$, получаем, что $n$ кратно $612$. Таким образом, $n=4896$ или $n=5508$.

Итак, на первом складе было первоначально $4032$ карандашей, на втором – $4896$. Или на первом складе было первоначально $4536$ карандашей, на втором – $5508ю$

Ответ: $4032$ и $4896$;  $4536$ и $5508$.

Пусть $f(x)=0,5^x-3x-\sqrt[3]x+4$ и $g(x)=a(5-log_3(1-2x)).$

$g(x)$ при положительных значениях $a$ – непрерывная возрастающая функция на $(-\infty;\frac{1}{2}).$

$f(x)$ – непрерывная убывающая функция (и на $(-\infty;\frac{1}{2})$ в том числе).

Если решение и будет на $[-1;0]$, то только одно.

При этом замечаем, что на $[-1;0]$   $f(x)$ принимает значения от $10$  до $5$ (включительно). А $g(x)$  на $[-1;0]$ принимает значения от $4a$  до $5a$ (включительно).

Для того, чтобы решение существовало, значение функции  $g(x)$ на правом конце отрезка $[-1;0]$  должно быть не меньше значения $f(x)$ на правом конце отрезка и значение функции  $g(x)$ на левом конце отрезка $[-1;0]$  должно быть не больше значения  $f(x)$ на левом конце отрезка  $[-1;0]$.

Требуем, чтобы $5a\geq 5$ и $4a\leq 10.$

Получаем, что $a\in [1;2,5].$

Ответ: $[1;2,5].$