Тренировочная работа №131 А. Ларина

а)

$\frac{sin2x-2sin^2(\frac{131\pi}{2}+x)}{\sqrt[4]{-sinx}}=0;$

$\frac{sin2x-2cos^2x}{\sqrt[4]{-sinx}}=0;$

$\begin{cases}sin2x-2cos^2x=0,\\-sinx>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}2sinxcosx-2cos^2x=0,\\sinx<0;&\end{cases}$

$\begin{cases}cosx(sinx-cosx)=0,\\sinx<0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}cosx=0,\\sinx=cosx;\end{array}\right.\\sinx<0;&\end{cases}$

$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$ $x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi k, n,k\in Z.$

б) Произведем отбор корней исходного уравнения из $[-\frac{17\pi}{2};-\frac{3\pi}{2})$ при помощи тригонометрического круга.

Ответ: 

а) $-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$ $-\frac{3\pi}{4}+2\pi k, n,k\in Z.$

б) $-\frac{17\pi}{2};-\frac{27\pi}{4};-\frac{13\pi}{2};-\frac{19\pi}{4};-\frac{9\pi}{2};-\frac{11\pi}{4};-\frac{5\pi}{2}.$

$\large 2\sqrt{x+131}-\frac{5}{\sqrt{x+131}-3}\leq 15;$

$\large \frac{2\sqrt{x+131}(\sqrt{x+131}-3)-5-15(\sqrt{x+131}-3)}{\sqrt{x+131}-3}\leq 0;$

$\large \frac{2(\sqrt{x+131})^2-21\sqrt{x+131}+40}{\sqrt{x+131}-3}\leq 0;$

$\large \frac{2(\sqrt{x+131})^2-21\sqrt{x+131}+40}{\sqrt{x+131}-3}\leq 0;$

$\large \frac{(\sqrt{x+131}-8)(\sqrt{x+131}-2,5)}{\sqrt{x+131}-3}\leq 0;$

$\large \frac{(\sqrt{x+131}-\sqrt{64})(\sqrt{x+131}-\sqrt{6,25})}{\sqrt{x+131}-\sqrt 9}\leq 0;$

Применяем метод замены множителей

$\large \frac{(x+131-64)(x+131-6,25)}{x+131-9}\leq 0,x\geq -131;$

$\large \frac{(x+67)(x+124,75)}{x+122}\leq 0,x\geq -131;$

Ответ: $[-131;-124,75]\cup (-122;-67].$

a) Поскольку $AB\parallel (A_1B_1C_1)$, то плоскость $ABN$ (содержащая $AB$) пересечет плоскость $(A_1B_1C_1)$ по прямой, параллельной $AB$ (по свойству прямой, параллельной плоскости). Поэтому строим через $N$ прямую $NP$, параллельную $A_1B_1$, а точнее,  отмечаем на $B_1C_1$ точку $P$ так, что $B_1P:PC_1=1:2$ (коль $N$ делит ребро $A_1C_1$ в отношении $1:2$, считая от точки $A_1$).

Итак, $ANPB$ – искомое сечение.

б) Треугольники $NPC_1,A_1B_1C_1$ подобны, $k=\frac{NC_1}{A_1C_1}=2:3$, поэтому $NP=\frac{2A_1B_1}{3}=12.$

Пусть $H$ – проекция $N$ на плоскость $ABC$. Опускаем из точки $H$ перпендикуляр $FH$  к $AB$.

$FN\perp AB$ по теореме о трех перпендикулярах.

$FN$ – высота трапеции $ANPB$.

$FH$ – треть высоты правильного треугольника со стороной $18$.

$FH=\frac{\sqrt{18^2-(\frac{18}{2})^2}}{3}=\frac{18\sqrt3}{6}=3\sqrt3.$

Из треугольника $FHN:$

$FN=\sqrt{FH^2+NH^2}=\sqrt{(3\sqrt3)^2+131}=\sqrt{158}.$

Итак, $S_{ANPB}=\frac{NP+AB}{2}\cdot FN=\frac{12+18}{2}\cdot \sqrt{158}=15\sqrt{158}.$

Ответ: $15\sqrt{158}.$

а) Пусть $N,T$ – середины оснований (малого и большого соответственно) трапеции.

Прямая $NT$ – ось симметрии трапеции. Точки $E$ и $K$, так же как и точки $A,B$ симметричны друг другу относительно $NT.$ А значит, прямые $EK, AB$ параллельны.

б) Очевидно, треугольник $AET$ равносторонний  ($AE=AT$ по свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки; $\angle A=60^{\circ}$). Аналогично, треугольник $BKT$ – равносторонний. Но тогда равносторонним оказывается и треугольник $EKT.$

К тому же, очевидно, указанные треугольники равны между собой.

Так, $S_{ABKE}=3S_{EKT}.$

Пусть $O$ – центр окружности, вписанной в трапецию.

$S_{EOT}=\frac{1}{2}\cdot (\sqrt{131})^2\cdot sin 120^{\circ}=\frac{131\sqrt3}{4}.$

$S_{ABKE}=3S_{EKT}=3\cdot 3S_{EOT}=\frac{1179\sqrt3}{4}.$

Ответ: б) $\frac{1179\sqrt3}{4}.$

Пусть было взято в банке $a$ рублей.

1) После первого действия процентов (на сумму $a$) долг составит

$1,31a$ рублей.

После первого погашения кредита в размере $69690821$ рублей, на счету останется сумма

$1,31a-69690821$ рублей.

2) После второго действия процентов (на сумму $1,31a-69690821$) долг составит

$1,31(1,31a-69690821)$ рублей

или

$1,31^2a-1,31\cdot 69690821$ рублей.

После второго погашения кредита на счету останется сумма

$1,31^2a-1,31\cdot 69690821-69690821$ рублей.

3) После третьего действия процентов (на сумму $1,31^2a-1,31\cdot 69690821-69690821$) долг составит

$1,31^3a-1,31,2\cdot 69690821-1,31\cdot 69690821$ рублей.

После третьего погашения кредита долг оказывается выплаченным.

То есть

$1,31^3a-1,31^2\cdot 69690821-1,31\cdot 69690821-69690821=0;$

$a=\frac{1,31^2\cdot 69690821+1,31\cdot 69690821+69690821}{1,31^3};$

$a=\frac{69690821(1,31^2+1,31+1)}{1,31^3};$

$a=\frac{69690821000000\cdot (1,31^2+1,31+1)}{131^3};$

$a=31000000\cdot (1,31^2+1,31+1);$

$a=124809100.$

Ответ: $124809100.$

Кратко.

Перепишем уравнение следующим образом:

$|x+21|+|x+34|+|x+55|+|x+89|-131=ax$.

Построим в одной системе координат графики левой и правой частей.

$f(x)=|x+21|+|x+34|+|x+55|+|x+89|-131$ – кусочно заданная функция:

$g(x)=ax$ – семейство прямых, проходящих через начало координат.

Нас устраивают следующие значения параметра $a$:

 $a\in (-\infty;-4]\cup (4;+\infty)$

(прямая $g(x)$ располагается в зоне, помеченной на рис. голубым цветом (с одной включенной границей зоны))

и

$a=\frac{21}{17}$

(прямая $g(x)$ проходит через точку $(-34;-42)$)

Ответ:  $(-\infty;-4]${$\frac{21}{17}$}$\cup (4;+\infty).$