Главная › Т/P A. Ларина › Тренировочная работа №132 А. Ларина

26 Ноя 2015

Категория: Т/P A. Ларина

Тренировочная работа №132 А. Ларина

Елена Репина 2015-11-26 2016-09-06

Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы

13. Дано уравнение $\frac{sin(2x-132\pi)-cosx-2\sqrt2sinx+\sqrt2}{\sqrt3-tg(132\pi+2x)}=0$

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку $(-\frac{19\pi}{2};-4\pi].$

Решение: + показать

14. а) Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противоположных граней) и отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер, пересекаются в одной точке.
б) Дан тетраэдр $ABCD$ с прямыми плоскими углами при вершине $D$ . Площади граней $BCD$ , $ACD$ и $ABD$ равны соответственно $132$ , $150$ , $539$ . Найдите объём тетраэдра.

Решение: + показать

a) Докажем прежде, что все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке.

Пусть $M$ и $N$ – точки пересечения медиан граней $ABC,BDC.$ Пусть $P$ – середина $BC.$

Очевидно, прямые $AN,DM$ пересекаются, так как лежат в плоскости треугольника $ADP.$ Пусть они пересекаются в точке $O$ .

gjn,

Замечаем, что $AP:MP=3:1$ и $DP:NP=3:1$ по свойству медиан треугольника, тогда $\Delta MNP$ подобен $\Delta ADP$ по второму признаку.

Но тогда коэффициент подобия $\Delta ADO,\Delta NMO$ – $3:1$ .

Итак, $DO:OM=AO:ON=3:1.$

Аналогичные рассуждения будут, к примеру, для пары $DM,CL$ ( $L$ – точка пересечения медиан грани $ABD$ ). Мы также получим, что $DM$ и $CL$ делятся точкой пересечения в отношении $3:1$ . А значит, их точка пересечения – $O$ . Рассуждения с оставшимися парами – аналогичные.

Таким образом мы показали, что все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке.

Докажем теперь, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, также проходят через точку $O.$

Пусть $T$ – середина $AD$ . Очевидно, прямые $DM,PT$ пересекаются, так как лежат в плоскости треугольника $ADP$ .

Пусть $DM$ пересекается с $PT$ в точке $O'.$

97uo

Продлим $TP$ до пересечения c прямой, проходящей через точку $D$ параллельно $AP$ . Пусть указанные прямые пересекаются в точке $W.$

Очевидно, треугольники $WDT,PAT$ равны по второму признаку.

Тогда $MP=\frac{AP}{3}=\frac{WD}{3}.$

Треугольники $WDO',PMO'$ подобны и их коэффициент подобия – $WD:MP=3:1.$

Итак, $DO':O'M=3:1$ , но и $DO:OM=3:1$ . Тогда точки $O$ и $O'$ совпали.

Аналогично, отрезки, соединяющие середины оставшихся противоположных рёбер, проходят через точку $O.$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $DC=x,DB=y,AD=z.$

Тогда $xy=264,zy=1078, zx=300.$

Откуда $(xyz)^2=264\cdot 1078\cdot 300=3^2\cdot 2^6\cdot 5^2\cdot 7^2\cdot 11^2=(9240)^2$ , то есть $xyz=9240.$

hk,

При этом $V_{ABCD}=\frac{S_{BCD}\cdot AD}{3}=\frac{\frac{xy}{2}\cdot z}{3}=\frac{xyz}{6}=\frac{9240}{6}=1540.$

Ответ: б) $1540.$

15. Решите неравенство

$\frac{x^3-18x^2+89x-132}{(\sqrt x-2)(5^x-25)(|x|-1)}\leq 0.$

Решение: + показать

16. Дан треугольник $ABC$ . В нём проведены биссектрисы $AM$ и $BN$ , каждая из которых равна $\frac{2772\sqrt6}{71}$ .

а) Докажите, что треугольник $ABC$ – равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$ , если его основание равно $132$ .

Решение: + показать

17. Василий хочет взять кредит на сумму $1325535$ рублей на $5$ лет под $20$ % годовых.
Банк предложил ему два варианта:
Вариант 1. Василий отдаёт одну и ту же сумму каждый год (аннуитетные платежи).

Вариант 2. Василий производит платежи так, чтобы долг уменьшался после каждого платежа на одну и ту же сумму (дифференцированные платежи).
На сколько рублей меньше Василий отдаст банку, если выберет второй вариант.

Решение: + показать

18. Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$tg(\sqrt{a^2-x^2})=0$

имеет ровно $132$ решения.

Решение: + показать

Автор: egeMax | комментариев 8

Печать страницы

комментариев 8

Мария

2015-11-26 в 19:04

почему в решении вы выбираете промежуток (65\pi)^2<a^2<(66\pi)^2

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-11-26 в 19:53
  
  Что будет, если $a^2\geq (66\pi)^2$ ?
  Сколько решений тогда будет иметь наше уравнение?
  Как минимум (при $a^2=(66\pi)^2$ ), 133.
  А именно, при $a^2=(66\pi)^2$ корни: $\pm 66\pi;\pm \sqrt{(66\pi)^2-(\pi)^2};\pm \sqrt{(66\pi)^2-(2\pi)^2};...;0$ .
  Что будет, если $a^2\leq (65\pi)^2$ ?
  Сколько решений тогда будет иметь наше уравнение?
  Максимум 131 (при $a^2=(65\pi)^2$ ).
  А именно, при $a^2=(65\pi)^2$ корни: $\pm 65\pi;\pm \sqrt{(65\pi)^2-(\pi)^2};\pm \sqrt{(65\pi)^2-(2\pi)^2};...;0$ .
  
  [ Ответить ]
  - Мария
    
    2015-11-27 в 15:03
    
    в решении нет второй степени у пи?
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2015-11-27 в 15:10
      
      Есть, есть!!! Все – пора в отставку… Много опечаток в этот раз…
      Спасибо!
      
      [ Ответить ]
    - Мария
      
      2015-11-27 в 15:10
      
      Наверное, вы подбирали а=3пи и не возвели в квадрат?
      
      [ Ответить ]
      - egeMax
        
        2015-11-27 в 15:12
        
        Сложно уже сказать, что там было… все как во сне)))
        Тяжелая неделя выдалась(((
        
        [ Ответить ]
Елена

2015-11-26 в 22:15

Елена, в №17 в 6-ой строке сверху (выражения) опечатка: вместо 13255350 должен быть x.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-11-27 в 13:25
  
  Елена, спасибо большое!
  
  [ Ответить ]

Тренировочная работа №132 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ