Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы
13. Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку ![Rendered by QuickLaTeX.com (-\frac{19\pi}{2};-4\pi].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-429aad9778ead5625860bdba186d36a0_l3.svg)
Решение: + показать
a)









б) Произведем отбор корней исходного уравнения из промежутка ![Rendered by QuickLaTeX.com (-\frac{19\pi}{2};-4\pi].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-429aad9778ead5625860bdba186d36a0_l3.svg)


Ответ:
а) 
б) 
14. а) Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противоположных граней) и отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер, пересекаются в одной точке.
б) Дан тетраэдр
с прямыми плоскими углами при вершине
. Площади граней
,
и
равны соответственно
,
,
. Найдите объём тетраэдра.
Решение: + показать
a) Докажем прежде, что все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке.
Пусть
и
– точки пересечения медиан граней
Пусть
– середина 
Очевидно, прямые
пересекаются, так как лежат в плоскости треугольника
Пусть они пересекаются в точке
.

Замечаем, что
и
по свойству медиан треугольника, тогда
подобен
по второму признаку.
Но тогда коэффициент подобия
–
.
Итак, 
Аналогичные рассуждения будут, к примеру, для пары
(
– точка пересечения медиан грани
). Мы также получим, что
и
делятся точкой пересечения в отношении
. А значит, их точка пересечения –
. Рассуждения с оставшимися парами – аналогичные.
Таким образом мы показали, что все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке.
Докажем теперь, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, также проходят через точку 
Пусть
– середина
. Очевидно, прямые
пересекаются, так как лежат в плоскости треугольника
.
Пусть
пересекается с
в точке 

Продлим
до пересечения c прямой, проходящей через точку
параллельно
. Пусть указанные прямые пересекаются в точке 
Очевидно, треугольники
равны по второму признаку.
Тогда 
Треугольники
подобны и их коэффициент подобия – 
Итак,
, но и
. Тогда точки
и
совпали.
Аналогично, отрезки, соединяющие середины оставшихся противоположных рёбер, проходят через точку 
Что и требовалось доказать.
б) Пусть 
Тогда 
Откуда
, то есть 

При этом 
Ответ: б) 
15. Решите неравенство

Решение: + показать
Заметим, при
и при
многочлен
обращается в ноль.
Тогда разложим сумму
на множители.

Итак, 
Исходное неравенство перепишем так:

Далее применяем метод замены множителей трижды.
, при этом 
или
, при этом
и 

Ответ: ![Rendered by QuickLaTeX.com (1;2)\cup [3;4)\cup(4;11].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-577adc1a4bb773231df04e695e38222f_l3.svg)
16. Дан треугольник
. В нём проведены биссектрисы
и
, каждая из которых равна
.
а) Докажите, что треугольник
– равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника
, если его основание равно
.
Решение: + показать
a)
Пусть
– биссектрисы, проведенные к сторонам
и
соответственно (третья сторона –
).
Воспользуемся формулой для нахождения длины биссектрисы через длины сторон треугольника.
Тогда, исходя из равенства биссектрис, имеем:

Откуда







![Rendered by QuickLaTeX.com (a-b)[a(b+c)^2+b(a+c)^2-c(ab-c^2)]=0;](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-009876de7226c856d09ba036b628ef0d_l3.svg)

Замечаем, что равенство левой части нулю возможо только в случае
(во второй скобке все слагаемые положительны, их сумма не может равняться нулю).
Итак,
, то есть треугольник
равнобедренный.
Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим треугольник 









Так как
– острый угол, то

Откуда 

Далее, если принять высоту, проведенную к основанию за
, то

откуда

Наконец,

Ответ: б) 
17. Василий хочет взять кредит на сумму
рублей на
лет под
% годовых.
Банк предложил ему два варианта:
Вариант 1. Василий отдаёт одну и ту же сумму каждый год (аннуитетные платежи).
Вариант 2. Василий производит платежи так, чтобы долг уменьшался после каждого платежа на одну и ту же сумму (дифференцированные платежи).
На сколько рублей меньше Василий отдаст банку, если выберет второй вариант.
Решение: + показать
Вариант 1.
Пусть Василий отдает банку одну и ту же сумму
каждый год.
Тогда через год (после начисления процентов) долг Василия перед банком составит
рублей.
После возврата суммы
– на счету долг в
рублей.
Еще через год (после начисления процентов) долг Василия перед банком составит
рублей
или
рублей.
После возврата суммы
– на счету долг в
рублей.
Итак, несложно заметить, что после начисления процентов в пятый раз долг Василия перед банком составит
рублей.
Так как последней выплатой в
рублей Василий закрывает свой долг полностью, то
;




Итак, за пять лет Василий выплатит
рублей.
Вариант 2.
Через год (после начисления процентов) долг Василия перед банком вырастит на
рублей.
Тогда Василий выплачивает в первый раз сумму
рублей.
Еще через год Василий выплачивает сумму

или
.
На третий год Василий выплачивает сумму
.
И так далее.
В пятый год Василий выплатит сумму
.
Тогда все выплаты Василия составят

или
,
то есть
рублей.
Итак, Василий отдаст банку на
рублей меньше, если выберет второй вариант.
Ответ:
.
18. Найдите все значения
, при каждом из которых уравнение

имеет ровно
решения.
Решение: + показать


Замечаем, что
не отрицательно.
{
};
{
};
Какова структура данного уравнения?
Возьмем, к примеру,
.
Тогда решениями будут значения
(при
),
(при
),
(при
). Видно, что при
разность
отрицательна и решений, помимо указанных, уравнение
{
} иметь не будет.
Так вот нам надо подобрать такое
, чтобы разность
оставалась бы положительной (при различных
) ровно
раз.
То есть,
.
Откуда

Ответ: 
почему в решении вы выбираете промежуток (65\pi)^2<a^2<(66\pi)^2
Что будет, если
?
), 133.
корни:
.
?
).
корни:
.
Сколько решений тогда будет иметь наше уравнение?
Как минимум (при
А именно, при
Что будет, если
Сколько решений тогда будет иметь наше уравнение?
Максимум 131 (при
А именно, при
в решении нет второй степени у пи?
Есть, есть!!! Все – пора в отставку… Много опечаток в этот раз…
Спасибо!
Наверное, вы подбирали а=3пи и не возвели в квадрат?
Сложно уже сказать, что там было… все как во сне)))
Тяжелая неделя выдалась(((
Елена, в №17 в 6-ой строке сверху (выражения) опечатка: вместо 13255350 должен быть x.
Елена, спасибо большое!