Тренировочная работа №133 А. Ларина

a)

$sin(133\pi-21x)\cdot sin(14x+\frac{133\pi}{2})=1;$

$sin21x\cdot cos14x=1;$

$\frac{sin7x+sin35x}{2}=1;$

$sin7x+sin35x=2;$

Равенство возможно лишь в случае $sin7x=sin35x=1.$

$\begin{cases}7x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z,\\35x=\frac{\pi}{2}+2\pi m, m\in Z;&\end{cases}$

$\begin{cases}x=\frac{\pi}{14}+\frac{2\pi n}{7}, n\in Z,\\x=\frac{\pi}{70}+\frac{2\pi m}{35}, m\in Z;&\end{cases}$

$\begin{cases}x=\frac{\pi}{14}+\frac{2\pi n}{7}, n\in Z,n\in Z,\\x=\frac{\pi}{14}-\frac{2\pi}{35}+\frac{2\pi m}{35}, m\in Z;&\end{cases}$

$\begin{cases}x=\frac{\pi}{14}+\frac{14\pi n}{35}, n\in Z,n\in Z,n\in Z,\\x=\frac{\pi}{14}+\frac{2\pi (m-1)}{35}, m\in Z;&\end{cases}$

Хорошо видно, что множество значений $x$ первой строки входит во множество значений $x$ второй строки.

Поэтому решение системы – $x=\frac{\pi}{14}+\frac{2\pi n}{7}, n\in Z$.

б) Укажем корни уравнения, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{8}).$

$-\frac{\pi}{2}\leq \frac{\pi}{14}+\frac{2\pi n}{7}<\frac{3\pi}{8}, n\in Z;$

$-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{14}\leq \frac{2\pi n}{7}<\frac{3\pi}{8}-\frac{\pi}{14}, n\in Z;$

$-\frac{4\pi}{7}\leq \frac{2\pi n}{7}<\frac{17\pi}{56}, n\in Z;$

$-2\leq n<\frac{17}{16}, n\in Z;$

$n=-2$ или $n=-1$ или $n=0$ или $n=1.$

При $n=-2$ $x=\frac{\pi}{14}-\frac{4\pi}{7}=-\frac{\pi}{2}.$

При $n=-1$ $x=\frac{\pi}{14}-\frac{2\pi}{7}=-\frac{3\pi}{14}.$

При $n=0$ $x=\frac{\pi}{14}.$

При $n=1$ $x=\frac{\pi}{14}+\frac{2\pi}{7}=\frac{5\pi}{14}.$

Ответ:

а) $\frac{\pi}{14}+\frac{2\pi n}{7}, n\in Z$.

б) $-\frac{\pi}{2};-\frac{3\pi}{14};\frac{\pi}{14};\frac{5\pi}{14}.$

a) Так как $AF\parallel (A_1B_1C_1)$ и плоскость сечения (содержащая $AFC_1$) имеет общую точку с $(A_1B_1C_1)$, то по свойству прямой, параллельной плоскости, плоскость сечения пересечет плоскость $(A_1B_1C_1)$ по прямой, параллельной $AF$, то есть по прямой $C_1D_1.$

Пусть прямая $AF$ пересекается с прямой $BC$ в точке $T$. Плоскости $BCC_1,AFC_1$ пересекаются по прямой $TC_1.$ Пусть $TC_1$ пересекается с $BB_1$ в точке $L$.

Аналогично, прямая $AF$ пересекается с прямой $ED$ в точке $N$. Плоскости $EDD_1,AFC_1$ пересекаются по прямой $ND_1.$ Пусть $ND_1$ пересекается с $EE_1$ в точке $M$.

Многоугольник $ALC_1D_1MF$ – искомое сечение.

б) $S_{ALC_1D_1MF}=\frac{S_{ABCDEF}}{cos\alpha}$, где $\alpha$ – угол между плоскостями сечения и основания.

$S_{ABCDEF}=6\cdot \frac{(\sqrt{133})^2\sqrt3}{4}=\frac{399\sqrt3}{2}.$

Несложно заметить, что $DF\perp AF.$ По теореме о трех перпендикулярах и $FD_1\perp AF$. То есть $\angle D_1FD$  – угол между плоскостями сечения и основания.

Из треугольника $ADF:$

$DF=\sqrt{(2\sqrt{133})^2-(\sqrt{133})^2}=\sqrt{133}\cdot \sqrt3.$

Из треугольника $FD_1D:$

$FD_1=\sqrt{(133\sqrt3)^2+(\sqrt{133})^2}=2\sqrt{133}.$

$cos\alpha =\frac{DF}{FD_1}=\frac{\sqrt{133}\cdot \sqrt3}{2\sqrt{133}}=\frac{\sqrt3}{2}.$

Итак, $S_{ALC_1D_1MF}=\frac{S_{ABCDEF}}{cos\alpha}=\frac{399\sqrt3}{2}:\frac{\sqrt3}{2}=399.$

Ответ: 

б) $399.$

$log_2(log_3(log_4(log_5^2(133-2x)+7)+25)-1)\leq log_22;$

$0<log_3(log_4(log_5^2(133-2x)+7)+25)-1\leq 2;$

$log_33<log_3(log_4(log_5^2(133-2x)+7)+25)\leq log_327;$

$3<log_4(log_5^2(133-2x)+7)+25\leq 27;$

$log_44^{-22}<log_4(log_5^2(133-2x)+7)\leq log_416;$

$4^{-22}<log_5^2(133-2x)+7\leq 16;$

$4^{-22}-7< log_5^2(133-2x)\leq 9;$

$0\leq log_5^2(133-2x)\leq 9;$

$log_5^2(133-2x)\leq 9;$

$(log_5(133-2x)-3)(log_5(133-2x)+3)\leq 0;$

$(log_5(133-2x)-log_5125)(log_5(133-2x)-log_5\frac{1}{125})\leq 0;$

$\begin{cases}(133-2x-125)(133-2x-\frac{1}{125})\leq 0,\\133-2x>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}(8-2x)(\frac{16624}{125}-2x)\leq 0,\\x<\frac{133}{2};&\end{cases}$

$\begin{cases}(x-4)(x-\frac{8312}{125})\leq 0,\\x<\frac{133}{2};&\end{cases}$

$x\in [4;66,496].$

Ответ: $[4;66,496].$

a) Пусть $M$ – произвольная точка внутри треугольника $ABC$.

Пусть $h_1,h_2,h_3$ – расстояния от точки $M$ до сторон $AB,BC,AC$ соответственно.

Пусть $a$ – сторона треугольника $ABC.$

С одной стороны

$S_{ABC}=S_{ABM}+S_{BCM}+S_{ACM}=\frac{AB\cdot h_1+BC\cdot BC+AC\cdot h_3}{2}=\frac{a}{2}\cdot (h_1+h_2+h_3).$

С другой стороны

$S_{ABC}=\frac{a}{2}\cdot h$, где $h$ – высота треугольника.

Тогда $\frac{a}{2}\cdot (h_1+h_2+h_3)=\frac{a}{2}\cdot h$, то есть $h_1+h_2+h_3=h.$

Что и требовалось доказать.

б)

$S_{ABC}=14364\sqrt3=\frac{a}{2}\cdot (h_1+3\sqrt{133}+10\sqrt{133}).$

Учитывая, что $h=\frac{a\sqrt3}{2}$ или $a=\frac{2h}{\sqrt3}=\frac{2(h_1+13\sqrt{133})}{\sqrt3}$, получаем

$14364\sqrt3=\frac{h_1+13\sqrt{133}}{\sqrt3}\cdot (h_1+13\sqrt{133})$

$14364\cdot 3=(h_1+13\sqrt{133})^2;$

$h_1+13\sqrt{133}=18 \sqrt{133};$

$h_1=5\sqrt{133};$

Ответ:

б) $5\sqrt{133}.$

Положив в банк $1000000$ рублей под $10$% годовых Василий по истечения года будет иметь на счету

$1,1\cdot 1000000$ рублей.

Через год Василий докладывает $133000$ рублей, на счету оказывается сумма

$1,1\cdot 1000000+133000$ рублей.

После чего на указанную сумму действует процент и на счету оказывается

$1,1\cdot(1,1\cdot 1000000+133000)$ рублей

или

$1,1^2\cdot 1000000+1,1\cdot 133000$ рублей.

Еще через год Василий докладывает $133000$ рублей, на счету оказывается сумма

$1,1^2\cdot 1000000+1,1\cdot 133000+133000$ рублей.

После чего на указанную сумму действует процент и на счету оказывается

$1,1^3\cdot 1000000+1,1^2\cdot 133000+1,1\cdot 133000$ рублей.

Василий последний раз докладывает $133000$ рублей, на счету оказывается сумма

$1,1^3\cdot 1000000+1,1^2\cdot 133000+1,1\cdot 133000+133000$ рублей.

Наконец, на указанную сумму действует процент и на счету оказывается

$1,1^4\cdot 1000000+1,1^3\cdot 133000+1,1^2\cdot 133000+1,1\cdot 133000$ рублей.

Итак, на счету Василия через $4$ года окажется следующая сумма $S$ (в рублях):

$S=1,1^4\cdot 1000000+133000(1,1^3+1,1^2+1,1)=$

$=\frac{11^4}{10^4}\cdot 1000000+133000\cdot \frac{\frac{11}{10}((\frac{11}{10})^3-1)}{\frac{1}{10}}=$

$=11^4\cdot 100+133\cdot 11\cdot (11^3-10^3)=11^4\cdot 100+133\cdot11\cdot 1\cdot (121+110+100)=$

$=11^4\cdot 100+133\cdot 11\cdot 331=1464100+484253=1948353.$

Ответ: $1948353.$

 Функция $f(x)=133ax-|(x-6)(x-4)|$ – кусочно-заданная.

Наибольшее значение функции следует искать либо на концах отрезка $[4;6]$, либо в $f(\frac{-10-133a}{-2})$ (т.е. в $f(\frac{10+133a}{2})$).

Причем наибольшее значение данной функции будет заключено в $f(\frac{10+133a}{2})$, если $\frac{10+133a}{2}$ принадлежит $(-\infty;4)\cup (6;+\infty)$ (картинки $2$ и $3$) и наибольшее значение данной функции будет заключено в $f(4)$ или в $f(6)$, если $\frac{10+133a}{2}$ принадлежит $[4;6]$ (картинка $1$ (слева)).

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}\frac{133a+10}{2}>6,\\\frac{133a+10}{2}<4;\end{array}\right.\\\frac{133a+10}{2})>-2;\end{cases}\\\begin{cases}4\leq \frac{133a+10}{2}\leq 6,\\f(4)>f(6),\\f(4)>-2,\end{cases}\\\begin{cases}4\leq \frac{133a+10}{2}\leq 6,\\f(4)<f(6),\\f(6)>-2;\end{cases}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}a>\frac{2}{133},\\a<-\frac{2}{133};\end{array}\right.\\-(\frac{10+133a}{2})^2+\frac{10+133a}{2}(133a+10)-24>-2;\end{cases}\\\begin{cases}-\frac{2}{133}\leq a\leq \frac{2}{133},\\4a>6a,\\a>-\frac{1}{266};\end{cases}\\\begin{cases}-\frac{2}{133}\leq a\leq \frac{2}{133},\\4a<6a,\\a>-\frac{1}{399};\end{cases}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}a>\frac{2}{133},\\a<-\frac{2}{133};\end{array}\right.\\(a-\frac{2\sqrt{22}-10}{133})(a+\frac{2\sqrt{22}+10}{133})>0;\end{cases}\\\begin{cases}-\frac{2}{133}\leq a\leq \frac{2}{133},\\a\leq 0,\\a>-\frac{1}{266};\end{cases}\\\begin{cases}-\frac{2}{133}\leq a\leq \frac{2}{133},\\a\geq 0,\\a>-\frac{1}{266},\end{cases}\end{array}\right.$

Сравнение чисел $-\frac{2}{133}$, $\frac{2\sqrt{22}-10}{133}$ и т.п. оставим за кадром…

Решение первой системы совокупности помечено на рис. оранжевым цветом, второй – зеленым, третье – сиреневым.

Объединяя решения всех трех систем совокупности, получаем ответ:

$x\in (-\infty;-\frac{10+2\sqrt2}{2})\cup(-\frac{1}{266};+\infty)$

Ответ: $(-\infty;-\frac{10+2\sqrt2}{2})\cup(-\frac{1}{266};+\infty).$