Тренировочная работа №134 А. Ларина

а)

$sin(134\pi-15x)+sin(90x+\frac{135\pi}{2})=2;$

$-sin15x-cos90x=2;$

Так как $|sin15x|\leq 1$ и $|cos90x|\leq 1$, то равенство возможно только в случае $sin15x=cos90x=-1$.

$\begin{cases}sin15x=-1,\\cos90x=-1;&\end{cases}$

$\begin{cases}15x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z,\\90x=\pi+ 2\pi k,k\in Z;&\end{cases}$

$\begin{cases}x=-\frac{\pi}{30}+\frac{2\pi n}{15},n\in Z,\\x=\frac{\pi}{90}+\frac{\pi k}{45},k\in Z;&\end{cases}$

Откуда

$-\frac{\pi}{30}+\frac{2\pi n}{15}=\frac{\pi}{90}+\frac{\pi k}{45},n,k\in Z;$

$-3+12n=1+2k,k\in Z;$

$12n-4=2k,k\in Z;$

$6n-2=k,k\in Z;$

Итак,

$x=\frac{\pi}{90}+\frac{\pi (6n-2)}{45},n\in Z;$

$x=\frac{\pi}{90}-\frac{2\pi}{45}+\frac{2\pi n}{15},n\in Z;$

$x=-\frac{\pi}{30}+\frac{2\pi n}{15},n\in Z.$

б) Произведем отбор корней.

$-\frac{3\pi}{7}\leq -\frac{\pi}{30}+\frac{2\pi n}{15}\leq \frac{3\pi}{8},n\in Z;$

$-\frac{3}{7}\leq -\frac{1}{30}+\frac{2n}{15}\leq \frac{3}{8},n\in Z;$

$-360\leq -28+112n\leq 315,n\in Z;$

$-332\leq 112n\leq 343,n\in Z;$

$-\frac{332}{112}\leq n\leq \frac{343}{112},n\in Z;$

$-2\frac{108}{112}\leq n\leq 3\frac{7}{112},n\in Z;$

$n\in ${$-2;-1;0;1;2;3$}.

 Тогда на указанном отрезке располагаются следующие корни:

при $n=-2$ $x=-\frac{\pi}{30}-\frac{4\pi}{15}=-\frac{\pi}{30}-\frac{8\pi}{30}=-\frac{3\pi}{10};$

при $n=-1$ $x=-\frac{\pi}{30}-\frac{2\pi}{15}=-\frac{\pi}{30}-\frac{4\pi}{30}=-\frac{\pi}{6};$

при $n=0$ $x=-\frac{\pi}{30};$

при $n=1$ $x=-\frac{\pi}{30}+\frac{2\pi}{15}=-\frac{\pi}{30}+\frac{4\pi}{30}=\frac{\pi}{10};$

при $n=2$ $x=-\frac{\pi}{30}+\frac{4\pi}{15}=-\frac{\pi}{30}+\frac{8\pi}{30}=\frac{7\pi}{30};$

при $n=3$ $x=-\frac{\pi}{30}+\frac{6\pi}{15}=-\frac{\pi}{30}+\frac{12\pi}{30}=\frac{11\pi}{30};$

Ответ: 

а) $-\frac{\pi}{30}+\frac{2\pi n}{15},n\in Z.$

б) $-\frac{3\pi}{10};-\frac{\pi}{6};-\frac{\pi}{30};\frac{\pi}{10};\frac{7\pi}{30};\frac{11\pi}{30}.$

a) Пусть $M,N,P$ – середины $AB,BC$ и $CC_1$ соответственно.

Пусть прямая $MN$ пересекается с прямыми $AD,DC$ в точках $E$ и $F$.

Пусть $PF$ пересекается с $D_1C_1$ в точке $Q$.

Пусть $NP$ пересекается с $B_1C_1$ в точке $L$.

Пусть $QL$ пересекается с $A_1D_1$ в точке $T$.

Наконец, пусть $TE$ пересекается с $AA_1$ в точке $S$.

Шестиугольник $MNPQTS$ – искомое сечение.

б)

$S_{MNPQTS}=\frac{S_{MNCWVA}}{cos\alpha}$, где $S_{MNCWVA}$ – площадь проекции шестиугольника $MNPQTS$ на плоскость основания,  $\alpha –$ угол между плоскостями сечения и основания.

Несложно заметить (по построению), что точки $T,Q$ и $S$ – середины ребер $A_1D_1,D_1C_1,AA_1$ соответственно.

Точка $V,$ проекция $T$ на плоскость $ABC$ также середина ребра $AD$. Тогда, очевидно, $VM\perp MN$. По теореме о трех перпендикулярах и $MT\perp MN$. Итак, $\alpha=\angle TMV$ – угол между плоскостями сечения и основания.

Далее,

$S_{MNCWVA}=S_{ABCD}-2S_{VWD}=(\sqrt{134})^2-2\cdot (\frac{(\frac{\sqrt{134}}{2})^2}{2})^2=\frac{201}{2}.$

$cos\alpha =\frac{MV}{MT}=\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67\cdot 3}}=\frac{1}{\sqrt3}.$

Наконец, $S_{MNPQTS}=\frac{\frac{201}{2}}{\frac{1}{\sqrt3}}=\frac{201\sqrt3}{2}.$

Ответ: б) $\frac{201\sqrt3}{2}.$

$\frac{1}{2}log_{134+tg^2(\frac{x}{2})}(21x+16)<log_{134+tg^2(\frac{x}{2})}(20+\sqrt{x-4});$

$log_{134+tg^2(\frac{x}{2})}\sqrt{21x+16}<log_{134+tg^2(\frac{x}{2})}(20+\sqrt{x-4});$

$(134+tg^2(\frac{x}{2})-1)(\sqrt{21x+16}-(20+\sqrt{x-4}))<0;$

$(133+tg^2(\frac{x}{2}))(\sqrt{21x+16}-\sqrt{x-4}-20)<0;$

$\sqrt{21x+16}-\sqrt{x-4}-20<0,\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+\pi n, n\in Z;$

$\sqrt{21x+16}<20+\sqrt{x-4},x\neq \pi+2\pi n, n\in Z;$

$0\leq 21x+16<400+40\sqrt{x-4}+x-4,x\neq \pi+2\pi n, n\in Z;$

$\begin{cases}x\geq -\frac{16}{21},\\20x-380<40\sqrt{x-4},\\x\neq \pi+2\pi n, n\in Z;&\end{cases}$

$\begin{cases}x\geq -\frac{16}{21},\\x-19<2\sqrt{x-4},\\x\neq \pi+2\pi n, n\in Z;&\end{cases}$

$\begin{cases}x\geq -\frac{16}{21},\\\left[\begin{array}{cl}\begin{cases}x-19<0,\\x-4\geq 0;\end{cases}\\\begin{cases}x-19\geq 0,\\x^2-38x+361<4(x-4);\end{cases}\end{array}\right.\\x\neq \pi+2\pi n, n\in Z;&\end{cases}$

$\begin{cases}x\geq -\frac{16}{21},\\\left[\begin{array}{cl}4\leq x<19;\\\begin{cases}x\geq 19,\\x^2-42x+377<0;\end{cases}\end{array}\right.\\x\neq \pi+2\pi n, n\in Z;&\end{cases}$

$\begin{cases}x\geq -\frac{16}{21},\\\left[\begin{array}{cl}4\leq x<19;\\\begin{cases}x\geq 19,\\(x-29)(x-13)<0;\end{cases}\end{array}\right.\\x\neq \pi+2\pi n, n\in Z;&\end{cases}$

$x\in [4;3\pi)\cup (3\pi;5\pi)\cup (5\pi;7\pi)\cup (7\pi;9\pi)\cup (9\pi;29).$

Ответ: $[4;3\pi)\cup (3\pi;5\pi)\cup (5\pi;7\pi)\cup (7\pi;9\pi)\cup (9\pi;29).$

а)  По теореме Менелая  для треугольника $C_1OA_1$ и прямой $CA$

$\frac{C_1C}{CO}\cdot \frac{OA}{AA_1}\cdot \frac{A_1B_2}{B_2C_1}=1$  (1)

По теореме Менелая  для треугольника $C_1OB_1$ и прямой $CB$

$\frac{C_1C}{CO}\cdot \frac{OB}{BB_1}\cdot \frac{B_1A_2}{A_2C_1}=1$  (2)

По теореме Менелая  для треугольника $B_1OA_1$ и прямой $BA$

$\frac{B_1B}{BO}\cdot \frac{OA}{AA_1}\cdot \frac{A_1C_2}{C_2B_1}=1$  (3)

Разделим (1) на (2) и  на (3):

$\frac{C_1C}{CO}\cdot \frac{OA}{AA_1}\cdot \frac{A_1B_2}{B_2C_1}\cdot \frac{CO}{C_1C}\cdot \frac{BB_1}{OB}\cdot \frac{A_2C_1}{B_1A_2}\cdot \frac{BO}{B_1B}\cdot \frac{AA_1}{OA}\cdot \frac{C_2B_1}{A_1C_2}=1;$

$\frac{A_1B_2}{B_2C_1}\cdot \frac{C_1A_2}{A_2B_1}\cdot \frac{B_1C_2}{C_2A_1}=1.$

По теореме Менелая из последнего равенства следует, что точки $A_2, B_2,C_2$ лежат на одной прямой.

б) Пусть $AB=c,BC=a,AC=b,A_1B_1=c_1,B_1C_1=a_1,A_1C_1=b_1.$

Пусть $h_a=2,h_b=\frac{10}{11},h_c=\frac{5}{7},h_{a_1}=2,h_{b_1}=\frac{5}{3},h_{c_1}=\frac{10}{9}$.

Тогда

$a=\frac{2S_{ABC}}{2}=S_{ABC};$

$b=\frac{2S_{ABC}}{\frac{10}{11}}=\frac{11}{5}S_{ABC};$

$c=\frac{2S_{ABC}}{\frac{5}{7}}=\frac{14}{5}S_{ABC};$

$a_1=\frac{2S_{A_1B_1C_1}}{2}=S_{A_1B_1C_1};$

$b_1=\frac{2S_{A_1B_1C_1}}{\frac{5}{3}}=\frac{6}{5}S_{A_1B_1C_1};$

$c_1=\frac{2S_{A_1B_1C_1}}{\frac{10}{9}}=\frac{9}{5}S_{A_1B_1C_1}.$

Получаем тогда

$p_{ABC}=\frac{S_{ABC}+\frac{11}{5}S_{ABC}+\frac{14}{5}S_{ABC}}{2}=3S_{ABC};$

$p_{A_1B_1C_1}=\frac{S_{A_1B_1C_1}+\frac{6}{5}S_{A_1B_1C_1}+\frac{9}{5}S_{A_1B_1C_1}}{2}=2S_{A_1B_1C_1}.$

Далее, по формуле Герона

$S_{ABC}=\sqrt{p_{ABC}(p_{ABC}-a)(p_{ABC}-b)(p_{ABC}-c)};$

$S^2_{ABC}=3S_{ABC}(3S_{ABC}-S_{ABC})(3S_{ABC}-\frac{11}{5}S_{ABC})(3S_{ABC}-\frac{14}{5}S_{ABC});$

$S^2_{ABC}=\frac{24}{25}S^4_{ABC};$

$S_{ABC}=\frac{5}{2\sqrt6}.$

И

$S_{A_1B_1C_1}=\sqrt{p_{A_1B_1C_1}(p_{A_1B_1C_1}-a_1)(p_{A_1B_1C_1}-b_1)(p_{A_1B_1C_1}-c_1)};$

$S^2_{A_1B_1C_1}=2S_{A_1B_1C_1}(S_{A_1B_1C_1})(2S_{A_1B_1C_1}-\frac{6}{5}S_{A_1B_1C_1})(2S_{A_1B_1C_1}-\frac{9}{5}S_{A_1B_1C_1});$

$S^2_{A_1B_1C_1}=\frac{8}{25}S^4_{A_1B_1C_1};$

$S_{A_1B_1C_1}=\frac{5}{2\sqrt{2}}.$

Итак,

$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{5}{2\sqrt{2}}}{\frac{5}{2\sqrt6}}=\sqrt3.$

Ответ: б) $\sqrt3.$

Пусть количество загруженных на баржу типа А контейнеров – $x$ штук.

Пусть количество загруженных на баржу типа B контейнеров – $y$ штук.

Суммарная  стоимость (в млн. руб.) $S$ всех контейнеров, перевозимых баржей тогда составит $5x+7y$.

Откуда

$x=\frac{S-7y}{5}$  (1)

Так как грузоподъемность баржи $134$ тонны, то

$2x+5y \leq 134$;

С учетом (1) имеем:

$2\cdot \frac{S-7y}{5}+5y\leq 134;$

$2S-14y+25y\leq 670;$

$2S+11y\leq 670;$

$11y\leq 670-2S$  (2)

Заметим, согласно условию,  $y\geq 1,25x.$

Тогда

$y\geq \frac{5}{4}\cdot \frac{S-7y}{5};$

$11y\geq S$  (3)

Учитывая (2) и (3), получаем

$S\leq 11y\leq 670-2S;$

$S\leq 670-2S;$

$3S\leq 670;$

$S\leq 223\frac{1}{3};$

Если $S=223$, то $223\leq 11y\leq 224$ или $20\frac{3}{11}\leq y\leq 20\frac{4}{11}.$ Так как $y$ – натуральное, то решений в этом случае нет.

Если $S=222$, то $222\leq 11y\leq 226$ или $20\frac{2}{11}\leq y\leq 20\frac{6}{11}.$ Так как $y$ – натуральное, то решений в этом случае нет.

Если $S=221$, то $221\leq 11y\leq 228$ или $20\frac{1}{11}\leq y\leq 20\frac{8}{11}.$ Так как $y$ – натуральное, то решений в этом случае нет.

Если $S=220$, то $220\leq 11y\leq 230$ или $20\leq y\leq 20\frac{10}{11}.$ Так как $y$ – натуральное, то $y=20.$

Итак, если имеется $20$ контейнеров типа В и $16$ типа А, то суммарная стоимость всех контейнеров, перевозимых баржей, составит $220$ млн. рублей.

Ответ: $220.$

Аналогичная задача здесь

Примем $log_2x$ за $m$.

Тогда будем искать все значения $a$, при каждом из которых неравенство

$m^3-3m^2<(134+a)m$

 выполняется для любых $m\in [1;2,5].$

Иммеем

$m(m^2-3m-(134+a))<0;$

$m(m-\frac{3-\sqrt{545+4a}}{2})(m-\frac{3+\sqrt{545+4a}}{2})<0;$

В зависимости от параметра $a$ корни  $0;\frac{3\pm \sqrt{545+4a}}{2}$ могут по-разному располагаться на оси.

Для варианта а) потребуем, чтобы $[1;2,5]$ входил бы в $(\frac{3-\sqrt{545+4a}}{2};\frac{3+\sqrt{545+4a}}{2})$.

Для варианта б) потребуем, чтобы $[1;2,5]$ входил бы в $(0;\frac{3+\sqrt{545+4a}}{2})$.

Итак,

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}\frac{3-\sqrt{545+4a}}{2}<1,\\\frac{3+\sqrt{545+4a}}{2}>2,5;\end{cases}\\\frac{3+\sqrt{545+4a}}{2}>2,5;\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}\sqrt{545+4a}>1,\\\sqrt{545+4a}>2;\end{array}\right.$

$\sqrt{545+4a}>2;$

$545+4a>4;$

$4a>-541;$

$a>-135,25.$

Ответ: $(-135,25;+\infty).$