Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы
13. Дано уравнение 
a) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ![Rendered by QuickLaTeX.com [-\pi; \frac{\pi}{2}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c697d23bfa6277e178aaf51a71199b56_l3.svg)
Решение: + показать
a)





Заметим, 
При этом 
Тогда


б) Произведем отбор корней уравнения из отрезка
при помощи тригнометрического круга.

Ответ:
а) 
б) 
14. В основании пирамиды
лежит равнобедренная трапеция с острым углом
. Боковые грани
и
перпендикулярны основанию пирамиды.
a) Докажите, что плоскости
и
перпендикулярны.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если известно, что
, а объем пирамиды равен
.
Решение: + показать
a) Так как трапеция
– равнобокая с острым углом в
, то продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом. Пусть 

, а
– прямая пересечения перпендикулярных плоскостей
. Тогда по свойству перпендикулярных плоскостей 
Итак, прямая
, лежащая в
, перпендикулярна
, а значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, 
б) Аналогично рассуждениям пункта (a)
а значит, и 
Но и
(из пункта (а)).
Итак,
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости
, а значит
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
– высота пирамиды.

Тогда

откуда 


где
– середины
соответственно.



Ответ: б) 
15. Решите неравенство 
Решение: + показать




Применяем метод рационализации.





Заметим, 


Ответ: 
16. В остроугольном неравнобедренном треугольнике
проведены высоты
и
. Точки
и
симметричны середине стороны
относительно прямых
и
соответственно.
а) Докажите, что отрезки
и
лежат на параллельных прямых.
Б) Найдите расстояние между точками
и
, если известно, что
,
,
.
Решение: + показать
a) Пусть
– середина
. Пусть
– перпендикуляры к
соответственно. При этом согласно условию 

Заметим,
, как прямые, перпендикулярные одной и той же прямой (
) на плоскости.
При этом
– средняя линия треугольника
, то есть
Тогда 
Итак,
– параллелограмм по признаку параллелограмма. Тогда 
Аналогично показывается, что и 
Итак, прямые
, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой по признаку параллельности прямых.
б) 


Заметим,
(так как в четырехугольнике
).
При этом
(по теореме косинусов из
). Откуда 
Из треугольника
по теореме косинусов:




Ответ:
.
17. Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 тонн, но один вагон остался загружен не полностью. Тогда весь груз переложили в вагоны вместимостью по 60 тонн. При этом понадобилось на 8 вагонов больше, и все равно один вагон остался загружен не полностью. Наконец, груз переложили в вагоны вместимостью по 50 тонн. При этом понадобилось еще на 5 вагонов больше, и все вагоны оказались полностью загруженными. Сколько было тонн груза?
Решение: + показать
Пусть было
тонн груза.
Пусть вначале погрузка шла в
вагонов вместимостью
тонн. Тогда вагонов вместимостью
тонн –
,
тонн –
. Так как вагоны вместимостью
тонн оказались полностью загружены грузом
, то
(1).
Согласно условию имеем:
(2)
и
(3)
Подставляя (1) в (2) и (3), имеем:

и

Откуда
и 
или

А поскольку
, то 
Итак, тонн груза было 
Ответ:
.
18. График функции
, пересекает ось ординат в точке
и имеет ровно две общие точки
и
с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке
, проходит через точку
. Найдите
и
, если площадь треугольника
равна
.
Решение: + показать
Так как график функции
, пересекает ось ординат в точке
, то 
Пусть 
Имеем
и
.
Откуда
(1)
Так как график функции
имеет ровно две общие точки
и
с осью абсцисс, то

(
– не может быть корнем четной кратности, иначе касательная к
в точке
была бы параллельна оси абсцисс, а
по условию).
Откуда

то есть
(*)
Составим уравнение касательной к графику функции
в точке
:

Так как прямая, касающаяся исходного графика в точке
, проходит через точку
, то

(2).
С учетом (1) и (2) имеем


(что не подходит) или
(3)
Подставляя (3) в
(из(*)), получаем
(4)
Из (3) и (4):
(5)
Подставляя (5) в
(из(*)), получаем
(6)
Подставляя (5) в
(из(*)), получаем
(7)
Так как площадь треугольника
равна
, то

или
(8)
Подставляя (5) и (7) в (8), получаем

Становится видно, что
Точнее, 
Наконец, из (4), (6), (7):



Ответ:

В №17 опечатка, когда нумеруете неравенства (1), (2), (3)
Ой, Марина, спасибо большое!