Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы
13. Дано уравнение 
a) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ![Rendered by QuickLaTeX.com [-\frac{7\pi}{2}; -2\pi].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eb893995fb96b3b221784796d6f0b1d9_l3.svg)
Решение: + показать
a)







или 
или 
б) Произведем отбор корней уравнения из отрезка
при помощи тригонометрического круга.

или
или 
Ответ:
а)

б) 
14. В правильной четырехугольной пирамиде
высота
в полтора раза больше, чем сторона основания.
а) Докажите, что через точку
можно провести такой отрезок
с концами на сторонах
и
соответственно, что сечение
пирамиды будет равновелико основанию пирамиды.
б) Найдите отношение площади полной поверхности пирамиды
к площади полной поверхности пирамиды
.
Решение: + показать
a) Примем сторону основания за
. Тогда высота пирамиды 
Поскольку площадь основания есть
, а площадь сечения
есть
, то отрезок
, о котором говориться в условии, если и существует, то он должен равняться 
Вообще, длины всевозможных отрезков, проходящих через центр квадрата (со стороной
), с концами на противоположных его сторонах принимают значения из отрезка ![Rendered by QuickLaTeX.com [x;\sqrt2x].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5eee336964434b109a43a39461cd9da6_l3.svg)
При этом ![Rendered by QuickLaTeX.com \frac{4x}{3}\in [x;\sqrt2x].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d455d6cb8aeb26890b8f9aae2870e8a3_l3.svg)
Поэтому через точку
можно провести такой отрезок
с концами на сторонах
и
соответственно, что сечение
пирамиды будет равновелико основанию пирамиды.

б) Несложно заметить, что апофема пирамиды
есть
, то есть 
Тогда 
Очевидно, площадь основания пирамиды
есть половина площади квадрата 
Далее, видно, что сумма площадей граней
и
пирамиды
есть площадь боковой грани пирамиды
, то есть 
Используем также результат пункта (a) задачи. А именно, 
Итак, 
Стало быть, 
Ответ: б) 
15. Решите неравенство 
Решение: + показать





В числителе замечаем квадратный трехчлен относительно
При этом, поскольку
, числитель всегда положителен.
Поэтому переходим к следующему равносильному неравенству:




Ответ: 
16. Из точки
, взятой на окружности с центром в точке
, на диаметры
и
опущены перпендикуляры
и
соответственно.
a) Докажите, что существует точка, одинаково удалённая от точек
.
б) Найдите площадь треугольника
, если известно, что
,
, а радиус окружности равен
.
Решение: + показать
a) Треугольнки
имеют общую гипотенузу, а значит, точки
и
попадают на одну окружность (назовем ее
).
– описанная как для треугольника
, так и для треугольника
.
Итак, середина
– точка, равноудаленная от точек
.

б) Так как по условию (вписанный в окружность
) угол
равен
, то и вписанный угол
, опирающийся на туже дугу (
) равен
.
По условию
.
Тогда прямоугольный треугольник
– равнобедренный
. И 
В прямоугольном треугольнике
с углом
, равным
, 

Итак,



Ответ: б) 
17. Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно
часов в неделю, то за эту неделю они производят
приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно
часов в неделю, они производят
приборов.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему
тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось
приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
Решение: + показать
18. Найдите все значения
, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три решения.
Решение: + показать



Первая строка системы задает две параболы с вершинами 
Вторая строка системы задает семейство прямых, проходящих через точку
При этом 

1) Самые очевидные случаи пересечения прямой
со множеством точек, состоящих из объединения двух парабол
ровно три раза – при
и
Указанные значения
отвечают за прохождение прямых
через точки
соответственно (см. рис.).
2) Теперь рассмотрим случай касания прямой
с параболой 
Потребуем:
для 
то есть
для 
Откуда



Посмотрим, будем ли мы иметь при найденных значениях
два пересечения прямой
со второй параболой 
Так как
для
то
значение
должно быть положительно при каждом из
если мы ожидаем ровно три решения исходной системы.
Проверим, так ли это.

Очевидно,
.
Но и 
При этом точки пересечения (касания) прямой
(при
) с параболами различны (не дублируются), что видно по графику.
Да, значения
нас устраивают.
3) Теперь рассмотрим случай касания прямой
с параболой 
Потребуем:
для 
то есть

Откуда 
Посмотрим, будем ли мы иметь при найденном значении
два пересечения прямой
с первой параболой 
Так как
для
то
значение
должно быть положительно при
, если мы ожидаем ровно три решения исходной системы.
А это так.
При этом точки пересечения (касания) прямой
(при
) с параболами различны (не дублируются), что видно по графику.
Итак, исходная система имеет ровно три решения при
{
}.
Ответ:
.
По уловию AOC=15 градусов же
И? Что не так?))
В пункте б) написано, что АОС по условию 30. На ход решения опечатка не влияет, но некоторые смутились. И заодно вставьте буковку “с”: “По уСловию”.
Александр, спасибо!
В 17 задаче ошибка, так как в неделе 7 дней, а в сутках – 24 часа. Работая всю неделю т.е. 7*24=168 часов, первый завод не смог бы произвести больше 4 деталей (4*t^3=168, t=3.476…). В то время как второй не мог произвести больше 6. 6+4 явно < 20. Так зачем платить больше, если всё равно производительности двух заводов не хватит?
Andrey, один человек, конечно, не может трудится 168 часов в неделю. А несколько, суммарно, – могут… могут и больше…
Ясно, спасибо!