Тренировочная работа №140 А. Ларина

a)

 $sinx(4sinx-1)=2+\sqrt3 cosx;$

$4sin^2x-sinx=2+\sqrt3 cosx;$

$2sin^2x-1=\frac{1}{2}\cdot sinx+\frac{\sqrt3}{2}\cdot cosx;$

$-cos2x=sin\frac{\pi}{6}\cdot sinx+cos\frac{\pi}{6}\cdot cosx;$

$-cos2x=cos(x-\frac{\pi}{6});$

$cos2x+cos(x-\frac{\pi}{6})=0;$

$2cos\frac{2x+x-\frac{\pi}{6}}{2}cos\frac{2x-x+\frac{\pi}{6}}{2}=0;$

$\frac{3x-\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n, n\in Z$ или $\frac{x+\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in Z;$

$x=\frac{7\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}, n\in Z$ или $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in Z.$

б) Произведем отбор корней уравнения из отрезка $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$ при помощи тригонометрического круга.

$x=-\frac{19\pi}{6}$ или $x=-\frac{53\pi}{18}$ или $x=-\frac{41\pi}{18}.$

Ответ:

а) $\frac{7\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}, n\in Z;$ $\frac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in Z.$

б) $-\frac{19\pi}{6};-\frac{53\pi}{18};-\frac{41\pi}{18}.$

a) Примем сторону основания за $x$. Тогда высота пирамиды $PO=1,5x.$

Поскольку площадь основания есть $x^2$, а площадь сечения $PKM$ есть $\frac{KM\cdot 1,5x}{2}$, то отрезок $KM$, о котором говориться в условии, если и существует, то он должен равняться $\frac{4x}{3}.$

Вообще, длины всевозможных отрезков, проходящих через центр квадрата (со стороной $x$), с концами на противоположных его сторонах принимают значения из отрезка $[x;\sqrt2x].$

При этом $\frac{4x}{3}\in [x;\sqrt2x].$

Поэтому через точку $O$ можно провести такой отрезок $KM$ с концами на сторонах $AD$ и $BC$ соответственно, что сечение $PKM$ пирамиды будет равновелико основанию пирамиды.

б) Несложно заметить, что апофема пирамиды $PABCD$ есть $\sqrt{(\frac{x}{2})^2+(1,5x)^2}$, то есть $\frac{\sqrt{10}x}{2}.$

Тогда $S_{PABCD}=x^2+4\cdot \frac{\frac{\sqrt{10}x}{2}\cdot x}{2}=x^2(1+\sqrt{10}).$

Очевидно, площадь основания пирамиды $PABMK$ есть половина площади квадрата $ABCD.$

Далее, видно, что сумма площадей граней $AKP$ и $BMP$ пирамиды $PABMK$ есть площадь боковой грани пирамиды $PABCD$, то есть $\frac{\sqrt{10}x^2}{4}.$

Используем также результат пункта (a) задачи. А именно, $S_{PKM}=x^2.$

Итак, $S_{PABMK}=x^2 +\frac{\sqrt{10}x^2}{2}+\frac{x^2}{2}=\frac{x^2(3+\sqrt{10})}{2}.$

Стало быть, $\frac{S_{PABMK}}{S_{PABCD}}=\frac{\frac{x^2(3+\sqrt{10})}{2}}{x^2(1+\sqrt{10})}=\frac{3+\sqrt{10}}{2(1+\sqrt{10})}=\frac{7+2\sqrt{10}}{18}.$

Ответ: б) $\frac{7+2\sqrt{10}}{18}.$

$\large\frac{4^{x^2-2x}-16\cdot 2^{(x-1)^2}+35}{1-2^{(x-1)^2}}\leq 4^x\cdot 2^{(x-2)^2};$

$\large\frac{4^{x^2-2x}-16\cdot 2^{(x-1)^2}+35-4^x\cdot 2^{(x-2)^2}\cdot (1-2^{(x-1)^2})}{1-2^{(x-1)^2}}\leq 0;$

$\large\frac{4^{x^2-2x}-16\cdot 2^{(x-1)^2}+35-4^x\cdot 2^{(x-2)^2}+4^x\cdot 2^{(x-2)^2}\cdot 2^{(x-1)^2}}{1-2^{(x-1)^2}}\leq 0;$

$\large\frac{4^{x^2-2x}-32\cdot 2^{x^2-2x}+35-16\cdot 2^{x^2-2x}+32\cdot 4^{x^2-2x}}{1-2^{(x-1)^2}}\leq 0;$

$\large\frac{33\cdot 4^{x^2-2x}-48\cdot 2^{x^2-2x}+35}{1-2^{(x-1)^2}}\leq 0;$

В числителе замечаем квадратный трехчлен относительно $2^{x^2-2x}.$ При этом, поскольку $D/4=24^2-33\cdot 35<0$, числитель всегда положителен.

Поэтому переходим к следующему равносильному неравенству:

$1-2^{(x-1)^2}<0;$

$2^{(x-1)^2}>2^0;$

$(x-1)^2>0;$

$x\neq 1.$

Ответ: $(-\infty;1)\cup (1;+\infty).$

a) Треугольнки $MOK,MOP$ имеют общую гипотенузу, а значит, точки $M,P,K$ и $O$ попадают на одну окружность (назовем ее $\omega $).

$\omega $ – описанная как для треугольника $MOK$, так и для треугольника $MOP$.

Итак, середина $MO$ – точка, равноудаленная от точек $M,O,P,K$.

б) Так как по условию (вписанный в окружность $\omega $) угол $MKP$ равен $30^{\circ}$, то и вписанный угол $ MOP$, опирающийся на туже дугу ($MP$) равен $30^{\circ}$.

По условию $\angle AOC=15^{\circ}$.

Тогда прямоугольный треугольник $MKO$ – равнобедренный $(\angle MOK=30^{\circ}+15^{\circ})$. И $MK=2\sqrt2.$

В прямоугольном треугольнике $MPO$ с углом $MOP$, равным $30^{\circ}$, $MP=\frac{MO}{2}=2.$

$\angle PMK=\angle AOC=15^{\circ}.$

Итак,

$S_{MPK}=\frac{PM\cdot MK\cdot sin PMK}{2}=\frac{PM\cdot MK\cdot sin 15^{\circ}}{2}=$

$=\frac{2\cdot 2\sqrt2\cdot \sqrt{\frac{1-cos30^{\circ}}{2}}}{2}=2\sqrt2\cdot \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{2}}=2\sqrt2\cdot \sqrt{\frac{2-\sqrt3}{4}}=$

$=2\sqrt2\cdot \sqrt{\frac{4-2\sqrt3}{8}}=2\sqrt2\cdot \sqrt{\frac{(\sqrt3-1)^2}{8}}=\sqrt3-1.$

Ответ: б) $\sqrt3-1.$

Пусть рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $4x^3$ часов в неделю. За эту неделю они производят $x$ приборов. Пусть рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $y^3$ часов в неделю, они производят $y$ приборов.

Так как необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось $20$ приборов, то $x+y=20.$

Леониду придется тратить  еженедельно на оплату труда рабочих $1000(4x^3+y^3)$ рублей.

Рассмотрим функцию $f(x)=1000(4x^3+(20-x)^3).$

Найдем наименьшее ее значение. Оно и будет отвечать наименьшей сумме, которую придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих.

$f'(x)=1000(12x^2-3(20-x)^2);$

$f'(x)=1000(9x^2+120x-1200);$

$f'(x)=0$ <=> $3x^2+40x-400=0;$

$f'(x)=0$ <=> $(x+20)(x-\frac{20}{3}})=0;$

Поскольку $x$ – натуральное, то точка минимума $f(x)$ – это $7$.

Тогда $f(x_{min})=1000(4\cdot 7^3+(20-7)^3)=3569000$.

Ответ: $3569000.$

$\begin{cases}x^4-y^2=8x^3-16x^2,\\x=\frac{y-4}{a}+10;&\end{cases}$

$\begin{cases}x^2(x-4)^2=y^2,\\y=ax-10a+4,a\neq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}y=\pm x(x-4),\\y=a(x-10)+4,a\neq 0;&\end{cases}$

Первая строка системы задает две параболы с вершинами $(2;-4),(2;4).$

Вторая строка системы задает семейство прямых, проходящих через точку $(10;4).$ При этом $a\neq 0.$

1) Самые очевидные случаи пересечения прямой $y=a(x-10)+4,a\neq 0$ со множеством точек, состоящих из объединения двух парабол $y=\pm x(x-4)$ ровно три раза – при $a=0,4$ и $a=2/3.$ Указанные значения $a$ отвечают за прохождение прямых $y=(x-10)+4,a\neq 0$ через точки $(0;0),(4;0)$ соответственно (см. рис.).

2) Теперь рассмотрим случай касания прямой $y=(x-10)+4,a\neq 0$ с параболой $y=x(x-4).$

Потребуем: $D=0$ для $x(x-4)=a(x-10)+4,a\neq 0,$

то есть

$D=0$ для $x^2-(4+a)x+10a-4=0,a\neq 0.$

Откуда

$(4+a)^2-4(10a-4)=0;$

$a^2-32a+32=0;$

$a=16\pm 4\sqrt{14}.$

Посмотрим, будем ли мы иметь при найденных значениях $a$ два пересечения прямой $y=a(x-10)+4,a\neq 0$  со второй параболой $y=x(4-x).$

Так как $D=(4-a)^2-4(4-10a)$ для $x(4-x)=a(x-10)+4,a\neq 0,$ то

значение $(4-a)^2-4(4-10a)$ должно быть положительно при каждом из $a=16\pm 4\sqrt{14},$ если мы ожидаем ровно три решения исходной системы.

Проверим, так ли это.

$D=(4-a)^2-4(4-10a)=a^2+32a=a(a+32).$

Очевидно, $D(16+4\sqrt{14})>0$.

Но и $D(16-4\sqrt{14})=(16-4\sqrt{14})(16-4\sqrt{14}+32)=(16-4\sqrt{14})(48-4\sqrt{14})>0.$

При этом точки пересечения (касания) прямой  $y=a(x-10)+4,a\neq 0$ (при $a=16\pm 4\sqrt{14}$) с параболами различны (не дублируются), что видно по графику.

Да, значения $a=16\pm 4\sqrt{14}$ нас устраивают.

3) Теперь рассмотрим случай касания прямой $y=(x-10)+4,a\neq 0$ с параболой $y=x(4-x).$

Потребуем: $D=0$ для $x(4-x)=a(x-10)+4,a\neq 0,$

то есть

$a^2+32a=0.$

Откуда $a=-32.$

Посмотрим, будем ли мы иметь при найденном значении $a$ два пересечения прямой $y=a(x-10)+4,a\neq 0$ с первой параболой $y=x(x-4).$

Так как $D=a^2-32a+32$ для $x(x-4)=a(x-10)+4,a\neq 0,$ то

значение $a^2-32a+32$ должно быть положительно при $a=-32$, если мы ожидаем ровно три решения исходной системы.

А это так.

При этом точки пересечения (касания) прямой  $y=a(x-10)+4,a\neq 0$ (при $a=-32$) с параболами различны (не дублируются), что видно по графику.

Итак, исходная система имеет ровно три решения при

$a\in ${$-32;0,4;2/3;16-4\sqrt{14};16+4\sqrt{14}$}.

Ответ: $-32;0,4;2/3;16-4\sqrt{14};16+4\sqrt{14}$.