Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы
13. Дано уравнение 
a) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу ![Rendered by QuickLaTeX.com [\frac{3\pi}{4}; 3\pi].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6d6a51853fe19feb12b1ad01a95cc48e_l3.svg)
Решение: + показать
a)








б) Корни уравнения, принадлежащих интервалу ![Rendered by QuickLaTeX.com [\frac{3\pi}{4}; 3\pi]:](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47dc338a82ab3aa65fd4bf18608778c7_l3.svg)
, 

Ответ:
а) 
б)
, 
14. В правильной треугольной призме
все ребра равны между собой. Через центр верхнего основания призмы и середины двух ребер нижнего основания проведена плоскость
.
А) Найдите угол, который образует плоскость
с плоскостью
.
Б) Найдите площадь сечения призмы
плоскостью
, если известно, что ребро призмы равно
.
Решение: + показать
a) Пусть
– центры верхнего и нижнего оснований соответственно,
– середины ребер 


.
Пусть
– середина
.
.
По теореме о трех перпендикулярах и
.
Итак, 
Пусть ребро призмы –
.
Очевидно,
.
Далее, из подобия треугольников
с коэффициентом подобия
, получаем, что
(где
– середина
), при этом
по свойству медиан.
Итак,



б) Построим сечение призмы плоскостью
. Прежде следует построить через
прямую, параллельную
(или
), ведь параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым. Для этого отметим точки
на прямых
так, что
и
. Прямая
и будет той прямой, по которой
пересечет плоскость верхнего основания призмы (треугольники
подобны, коэффициент подобия –
).
Трапеция
– искомое сечение. Найдем площадь трапеции
через площадь ее проекции на 
Пусть
– проекции
на плоскость
.
Тогда
, где
– угол между плоскостями
и
, найденный в пункте (а).
Найдем
, зная
.

Откуда 

Далее,
(треугольники
подобны и коэффициент подобия равен
).
(треугольники
подобны и коэффициент подобия равен
).

При этом
(при
).
Итак, 
Ответ:
а) 
б) 
15. Решите неравенство 
Решение: + показать

Применяем метод замены множителей.

Опять применяем метод замены множителей (к первой, второй строкам системы).



К первой строке вновь применяется метод замены множителей.


Заметим, 

![Rendered by QuickLaTeX.com x\in (log_47;log_23].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc36dce384ce684c12d7309746a17c04_l3.svg)
Ответ:
16. В ромб вписана окружность
. Окружности
и
(разного радиуса) расположены так, что каждая касается окружности
и двух соседних сторон ромба.
А) Докажите, что площадь круга, ограниченного окружностью
, составляет менее
% площади ромба.
Б) Найдите отношение радиусов окружностей
и
, если известно, что диагонали ромба относятся, как
.
Решение: + показать
a) Пусть сторона ромба
–
, радиус вписанной окружности –
.
Замечаем, что высота ромба – диаметр вписанной окружности.


Покажем, что 

Рассмотрим разность 
При решении используем тот факт, что
(катет меньше гипотенузы, из
, см. рис.).
Тогда

Итак,
. Это и означает, что площадь круга, ограниченного окружностью
, составляет менее
% площади ромба.
б) Пусть
– центры окружностей
соответственно.
Пусть
– точки касания окружностей
со стороной
соответственно.
Пусть
– радиусы окружностей
соответственно.
Пусть 
Поскольку
(то есть
), то и
Аналогично 
Тогда
(из треугольников
по теореме Пифагора).

Из подобия треугольников
следует: 
Откуда
(1)
Еще раз используем, что
, получаем

или
(2)
Подставляя (1) в (2), получаем





Ответ: 
17. Эльвира взяла в кредит 1 млн. рублей на срок 36 месяцев. По договору она должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на
%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Эльвирой банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Эльвирой, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. На сколько тысяч рублей больше Эльвира выплатит банку в течение первого года кредитования, нежели в течение третьего года?
Решение: + показать
К концу первого месяца сумма на счету Эльвиры увеличится на
млн. рублей. Эльвира должна выплатить
кредита, а также покрыть сумму, на которую увеличился кредит за месяц.
То есть Эльвира должна внести к концу первого месяца сумму в

млн. рублей.
Теперь уже оставшаяся сумма (а именно
млн. рублей) будет подвергаться воздействию
%. Прирост составит
млн. рублей.
Тогда Эльвира должна внести к концу второго месяца сумму в

млн. рублей.
И так далее.
За первые
месяцев, таким образом, Эльвира выплатит

млн. рублей.
Или

млн. рублей.
Аналогично за последние
месяцев Эльвира выплатит

млн. рублей.
Или

млн. рублей.
Рассмотрим следующую разность:





Итак, Эльвира выплатит банку в течение первого года кредитования на
тыс. рублей больше, нежели в течение третьего года.
Ответ:
.
18. Найдите все значения параметра
, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один действительный корень.
Решение: + показать





Необходимо, чтобы уравнение
имело хотя бы один положительный корень при 
Рассмотрим функцию
Пусть
– вершина параболы.
На рисунке изображены случаи, когда хотя бы один корень уравнения
больше нуля:

Имеем


Первая строка совокупности «отпадает» – мы рассматриваем случай 


![Rendered by QuickLaTeX.com x\in (0;1].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c03598c53fdef6f744e801f397db2398_l3.svg)
Ответ: ![Rendered by QuickLaTeX.com (0;1].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e0554476acf29a36b099085aaadb9547_l3.svg)
Добавить комментарий