Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы
13. Дано уравнение 
a) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу ![Rendered by QuickLaTeX.com [2,5\pi; 4\pi].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6480626a153fba7d652cd986696e8444_l3.svg)
Решение: + показать
a)








б) Укажем корни уравнения, принадлежащие интервалу ![Rendered by QuickLaTeX.com [2,5\pi; 4\pi].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6480626a153fba7d652cd986696e8444_l3.svg)


Ответ:
a)

б)
14. Через ребро
правильной треугольной призмы
под углом
к плоскости 
проведена плоскость
. Известно, что площадь сечения призмы плоскостью
равна
, а высота призмы равна
.
а) Докажите, что плоскость
делит ребро
в отношении
, считая от точки
.
б) Найдите объем меньшей части, отсекаемой от призмы
плоскостью
.
Решение: + показать
а) Пусть
– точка, по которой плоскость
пересекает ребро 
Так как плоскости оснований призмы параллельны, то плоскость
, пересекающая плоскость
по прямой
, пересечет плоскость
по прямой, параллельной
(или
). Проводим через точку
прямую, параллельную
. Пусть она пересекает ребро
в точке
.
Тогда трапеция (равнобокая)
– сечение призмы плоскостью 

Пусть
– проекции точек
на плоскость
соответственно. Тогда
– проекция
на плоскость
. И так как
, где
– угол между плоскостями
и
то, согласно условию,
Откуда 
Пусть
– высота трапеции
, причем
– середина
Пусть
проецируется в точку
. Очевидно,
попадает на медиану (назовем ее
) к стороне
треугольника
Медиана
перпендикулярна
по теореме о трех перпендикулярах и
перпендикулярна
, то есть
– угол между плоскостями сечения и 
Так как
, то из треугольника


Тогда



Итак,
то есть коэффициент подобия треугольников
– есть
. Откуда
или
. В свою очередь, это означает, что и
, то есть плоскость
делит ребро
в отношении
, считая от точки
.
Что и требовалось доказать.
б)
где
– пирамида с основанием
высотой
равной
и
– пирамида с основанием
. У пирамиды
высота равна
, так как расстояние от точки
до плоскости
– есть расстояние от точки
до
(так как
), а в свою очередь расстояние от
до
– есть расстояние от
до
, так как
. Ну а расстояние от
до
– есть
, ведь
– перпендикуляр к плоскости
.



При этом
Объем многогранника
тогда равен
то есть многогранник
занимает большую часть призмы.
Итак, объем меньшей части, отсекаемой от призмы
плоскостью
– есть 
Ответ: б)
.
15. Решите неравенство 
Решение: + показать
16. В окружности проведены хорды
и
, пересекающиеся в точке
, причем касательная к окружности, проходящая через точку
, параллельна
.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника
, если известно, что
, а площадь треугольника
равна
.
Решение: + показать
а) Пусть
– точка касательной к окружности, проходящей через точку
.
Пусть
тогда и
(указанные углы – вписанные, опирающиеся на одну дугу).
Так как касательная к окружности, проходящая через точку
, параллельна
, то углы
равны как соответственные. То есть
При этом, поскольку угол между касательной и секущей равен половине градусной мере отсекаемой дуги (
), так же, как и
, то 
У треугольников
угол
– общий.
Итак, треугольники
подобны по двум углам.

Тогда
откуда 
Что и требовалось доказать.
б) Треугольники
подобны ( так как
подобен
из пункта (a) и
подобен
по двум углам).
Тогда
.
Но при этом
– коэффициент подобия треугольников
Тогда площадь треугольника
в 9 раз меньше площади треугольника 
Итак, площадь треугольника
равна
.
Ответ: б)
.
17. Саша положил некоторую сумму в банк на
года под
% годовых. Одновременно с ним Паша такую же сумму положил на два года в другой банк под
% годовых. Через два года Паша решил продлить срок вклада еще на
года. Однако к тому времени процентная ставка по вкладам в этом банке изменилась и составляла уже
% годовых. В итоге через четыре года на счету у Паши оказалась большая сумма, чем у Саши, причем эта разность составила менее
% от суммы, вложенной каждым первоначально. Найдите наибольшее возможное целое значение процентной ставки
.
Решение: + показать
Пусть Саша положил сумму
в банк на
года под
% годовых. Тогда через
года на его счету –
рублей.
Паша, положив туже сумму
в другой банк под
% годовых, через два года на счету будет иметь
рублей.
Паша продлевает срок вклада на
года, но уже с другой процентной ставкой
%).
Тогда в итоге через
года на счету у Паши окажется
рублей.
Так как разность между суммами на счетах Саши и Паши спустя
года составила менее
% от суммы, вложенной каждым первоначально (у Паши – большая сумма), то









Заметим, что

Тогда

При этом
, в чем несложно убедиться:




Итак, максимальное целое значение
из
– это 
Ответ:
.
18. Для каждого
определите наибольшее значение функции
на отрезке
.
Решение: + показать

График проходит через точки
причем
– корень четной кратности.
Так как
то точки экстремума функции –
и 

Наибольшее значение функции
на отрезке
– максимум из
при условии, что
. Если же
не входит в
, то наибольшее значение функции на отрезке
– максимум из
.




Очевидно,
при любом
. Поэтому на наибольшее значение функции на отрезке
значение
претендовать не может.
1) Замечаем, что если
, то наибольшее значение
на отрезке
достигается в
или в 

2) Если
, то наибольшее значение
на отрезке
достигается в
или в
. Причем, если
не входит в отрезок
, то
на наибольшее значение претендовать не будет.

3) Если
, то наибольшее значение достигается в 
Рассмотрим детально случай 1 (
).
При
следует выбрать большее из 
, 
Если
(с учетом
имеем:
), то наибольшее значение функции – это 
Если
(с учетом
имеем:
), то наибольшее значение функции – это 
Рассмотрим детально случай 2 (
).
a) При
следует выбрать большее из
, если
.
Итак, 
Наибольшим значением
на указанном отрезке будет
, то есть
если
при 
при 
при 
А это так.
Наибольшим значением
на указанном отрезке не может оказаться
, так как если
,
то
,
а у нас 
б) Если же
не входит в
(то есть
), то наибольшее значение функции на указанном отрезке – 
Итак, резюмируя вышесказанное, получаем:
при
наибольшее значение
на
– есть 
при
наибольшее значение
на
– есть 
Ответ:
: 
: 
Как x будет равен 5pi/6, если sinX = 1? Частный случай же?
5pi/6 выскочил из уравнения sinx=0,5.
А уравнение sinx=1 «уничтожено» условием cosx≠0
Спасибо вам большое за такой сайт! :)
Виталий, заходите, рада)
В задании № 15 в ответе ошибка : Левая точка должна быть 1/2, а у Вас -1/2? Или я ошибаюсь?
Людмила, спасибо! В решении нет ошибок. Это в ответ закралась опечатка – влез минус..
Исправлено.
Все сижу, не могу понять, почему в 15 задании меняется знак, не могли бы вы объяснить?
Гюля, потому что была опечатка – знак повернулся не так))
Спасибо!
В 15 задании,4 строка после “спрятать”, числитель последней дроби,вроде должно быть 3 в степени х.
Слава, конечно. Спасибо!