Главная › Т/P A. Ларина › Тренировочная работа №142 А. Ларина

04 Фев 2016

Категория: Т/P A. Ларина

Тренировочная работа №142 А. Ларина

Елена Репина 2016-02-04 2016-09-06

Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы

13. Дано уравнение $4^{sinx\cdot tgx}\cdot 2^{\frac{1}{cosx}}=8^{tgx}.$

a) Решите уравнение.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу $[2,5\pi; 4\pi].$

Решение: + показать

14. Через ребро $BC$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ под углом $60^{\circ}$ к плоскости $ABC$

проведена плоскость $\alpha$ . Известно, что площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$ равна $14\sqrt3$ , а высота призмы равна $3$ .
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$ в отношении $1:3$ , считая от точки $B_1$ .
б) Найдите объем меньшей части, отсекаемой от призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$ .

Решение: + показать

а) Пусть $M$ – точка, по которой плоскость $\alpha$ пересекает ребро $A_1B_1.$

Так как плоскости оснований призмы параллельны, то плоскость $\alpha$ , пересекающая плоскость $ABC$ по прямой $BC$ , пересечет плоскость $A_1B_1C_1$ по прямой, параллельной $BC$ (или $B_1C_1$ ). Проводим через точку $M$ прямую, параллельную $B_1C_1$ . Пусть она пересекает ребро $A_1C_1$ в точке $N$ .

Тогда трапеция (равнобокая) $MNCB$ – сечение призмы плоскостью $\alpha.$

Пусть $E,F$ – проекции точек $M,N$ на плоскость $ABC$ соответственно. Тогда $EFCB$ – проекция $MNCB$ на плоскость $ABC$ . И так как $S_{MNCB}=\frac{S_{EFCB}}{cos\alpha}$ , где $\alpha =60^{\circ}$ – угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC,$ то, согласно условию, $14\sqrt3=\frac{S_{EFCB}}{\frac{1}{2}}.$ Откуда $S_{EFCB}=7\sqrt3.$

Пусть $PQ$ – высота трапеции $MNCB$ , причем $P$ – середина $MN.$ Пусть $P$ проецируется в точку $H$ . Очевидно, $H$ попадает на медиану (назовем ее $AQ$ ) к стороне $BC$ треугольника $ABC.$ Медиана $AQ$ перпендикулярна $BC,$ по теореме о трех перпендикулярах и $PQ$ перпендикулярна $BC$ , то есть $\angle PQH$ – угол между плоскостями сечения и $ABC.$

Так как $PH=3$ , то из треугольника $PQH$ $HQ=\frac{3}{tg60^{\circ}}=\sqrt3.$

Тогда

$7\sqrt3=\frac{EF+BC}{2}\cdot \sqrt3;$

$7=\frac{EF+(EF+2)}{2};$

$EF=6.$

Итак, $EF=6,BC=8,$ то есть коэффициент подобия треугольников $AEF,ABC$ – есть $\frac{3}{4}$ . Откуда $AE:AB=3:4$ или $BE:EA=1:3$ . В свою очередь, это означает, что и $MB_1:MA_1=1:3$ , то есть плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$ в отношении $1:3$ , считая от точки $B_1$ .

Что и требовалось доказать.

б) $V_{MB_1C_1NCB}=V_{MB_1C_1NB}+V_{BNCC_1},$ где $MB_1C_1NB$ – пирамида с основанием $MB_1C_1N,$ высотой $BB_1,$ равной $3$ и $BNCC_1$ – пирамида с основанием $BCC_1$ . У пирамиды $BNCC_1$ высота равна $\sqrt3$ , так как расстояние от точки $N$ до плоскости $BCC_1$ – есть расстояние от точки $F$ до $BCC_1$ (так как $NF\parallel BCC_1$ ), а в свою очередь расстояние от $F$ до $BCC_1$ – есть расстояние от $H$ до $BCC_1$ , так как $HF\parallel BCC_1$ . Ну а расстояние от $H$ до $BCC_1$ – есть $HQ$ , ведь $HQ$ – перпендикуляр к плоскости $BCC_1$ .

$V_{MB_1C_1NCB}=\frac{S_{MB_1C_1N}\cdot BB_1}{3}+\frac{S_{BCC_1}\cdot HQ}{3};$

$V_{MB_1C_1NCB}=\frac{7\sqrt3\cdot 3}{3}+\frac{12\cdot \sqrt3}{3};$

$V_{MB_1C_1NCB}=11\sqrt3.$

При этом $V_{ABCA_1B_1C_1}=\frac{192\sqrt3}{4}.$ Объем многогранника $A_1MNCAB$ тогда равен $\frac{192\sqrt3}{4}-11\sqrt3=\frac{73\sqrt3}{2},$ то есть многогранник $A_1MNCAB$ занимает большую часть призмы.

Итак, объем меньшей части, отсекаемой от призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$ – есть $11\sqrt3.$

Ответ: б) $11\sqrt3$ .

15. Решите неравенство $\frac{(3^x-3)^3}{2\cdot 3^x-4}\leq \frac{27^x-2\cdot 3^{2x+1}+3^{x+2}}{3^x-9^x+2}.$

Решение: + показать

16. В окружности проведены хорды $AC$ и $BD$ , пересекающиеся в точке $O$ , причем касательная к окружности, проходящая через точку $C$ , параллельна $BD$ .

а) Докажите, что $DC^2=AC\cdot CO.$
б) Найдите площадь треугольника $CDO$ , если известно, что $AB:BO=3:1$ , а площадь треугольника $ACD$ равна $36$ .

Решение: + показать

17. Саша положил некоторую сумму в банк на $4$ года под $10$ % годовых. Одновременно с ним Паша такую же сумму положил на два года в другой банк под $15$ % годовых. Через два года Паша решил продлить срок вклада еще на $2$ года. Однако к тому времени процентная ставка по вкладам в этом банке изменилась и составляла уже $p$ % годовых. В итоге через четыре года на счету у Паши оказалась большая сумма, чем у Саши, причем эта разность составила менее $10$ % от суммы, вложенной каждым первоначально. Найдите наибольшее возможное целое значение процентной ставки $p$ .

Решение: + показать

18. Для каждого $a$ определите наибольшее значение функции $f(x)=x^3-3ax^2$ на отрезке $[-2; 2]$ .

Решение: + показать

Автор: egeMax | комментариев 10

Печать страницы

комментариев 10

Вова

2016-02-04 в 14:38

Как x будет равен 5pi/6, если sinX = 1? Частный случай же?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-02-04 в 23:16
  
  5pi/6 выскочил из уравнения sinx=0,5.
  А уравнение sinx=1 «уничтожено» условием cosx≠0
  
  [ Ответить ]
Виталий

2016-02-05 в 16:21

Спасибо вам большое за такой сайт! :)

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-02-05 в 20:58
  
  Виталий, заходите, рада)
  
  [ Ответить ]
Людмила

2016-02-09 в 11:00

В задании № 15 в ответе ошибка : Левая точка должна быть 1/2, а у Вас -1/2? Или я ошибаюсь?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-02-09 в 14:51
  
  Людмила, спасибо! В решении нет ошибок. Это в ответ закралась опечатка – влез минус..
  Исправлено.
  
  [ Ответить ]
Гюля

2016-04-28 в 07:36

Все сижу, не могу понять, почему в 15 задании меняется знак, не могли бы вы объяснить?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-04-28 в 09:24
  
  Гюля, потому что была опечатка – знак повернулся не так))
  Спасибо!
  
  [ Ответить ]
Слава

2016-05-30 в 16:21

В 15 задании,4 строка после “спрятать”, числитель последней дроби,вроде должно быть 3 в степени х.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-05-30 в 20:07
  
  Слава, конечно. Спасибо!
  
  [ Ответить ]

Тренировочная работа №142 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ