Главная › Т/P A. Ларина › Тренировочная работа №143 А. Ларина

10 Фев 2016

Категория: Т/P A. Ларина

Тренировочная работа №143 А. Ларина

Елена Репина 2016-02-10 2016-09-06

Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы

13. Дано уравнение $log_{-cosx}(1-0,5sinx)=2.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $[14\pi;16\pi].$

Решение: + показать

14. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $N$ – середина ребра $BC$ , точка $M$ лежит на ребре $AB$ так, что $MB=2MA$ . Плоскость, проходящая через точки $M$ и $N$ параллельно

прямой $BD_1$ , пересекает ребро $DD_1$ в точке $K$ .

а) Докажите, что $DK:D_1K=5:2$ .

б) Найдите расстояние от точки $D_1$ до прямой $MN$ , если известно, что ребро куба равно $12$ .

Решение: + показать

15. Решите нервенство $\frac{x^4-2x^2+1}{2x^2-x-6}\geq \frac{1-2x^2+x^4}{2x^2-7x+6}.$

Решение: + показать

16. В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ отмечена точка $E$ , при этом $BE=4$ , $EA=5$ , $BC=6.$

а) Докажите, что углы $BAC$ и $BCE$ равны.
б) Найдите площадь треугольника $AEC$ , если известно, что угол $ABC$ равен $30^{\circ}$ .

Решение: + показать

18. Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$(\frac{x-1}{x^2+1})^2-2a\cdot \frac{x-1}{x^2+1}+a^2-0,25=0$

имеет ровно три различных действительных корня.

Решение: + показать

$(\frac{x-1}{x^2+1})^2-2a\cdot \frac{x-1}{x^2+1}+a^2-0,25=0;$

Используя дискриминант, получаем

$\frac{x-1}{x^2+1}=a\pm 0,5.$

График правой части уравнения – пара параллельных (горизонтальных) прямых при фиксированном $a$ .

Для построения графика левой части, исследуем функцию $f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}.$

$f'(x)=\frac{x^2+1-2x(x-1)}{(x^2+1)^2}=\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}=\frac{-(x-(1+\sqrt2))(x-(1-\sqrt2))}{(x^2+1)^2}.$

$x=1+\sqrt2$ и $x=1-\sqrt2$ – точки максимума и минимума соответственно.

$f(1+\sqrt2)=\frac{\sqrt2}{4+2\sqrt2}=\frac{\sqrt2-1}{2}.$

$f(1-\sqrt2)=\frac{-\sqrt2}{4-2\sqrt2}=\frac{-\sqrt2-1}{2}.$

Точка $1$ – единственный ноль функции.

$f(x)$ непрерывна на $\mathbb{R}.$

При $x\rightarrow \infty$ $f(x)\rightarrow 0$ .

Случай 1.

Три решения исходное уравнение будет иметь в случае, если $a-0,5=\frac{-1-\sqrt2}{2}$ , а $a+0,5$ при этом принадлежит множеству $(\frac{-1-\sqrt2}{2};0)\cup (0;\frac{\sqrt2-1}{2}).$

(На рисунке зеленым цветом выделено возможное местоположение прямой $y=a+0,5$ в случае, если прямая $y=a-0,5$ проходит через точку минимума функции. Конечно, замечаем, что прямые $y=a+0,5$ , $y=a-0,5$ не могут совпасть).

Так вот, если $a-0,5=\frac{-1-\sqrt2}{2}$ , то есть $a=-\frac{\sqrt2}{2},$ то $a+0,5=\frac{1-\sqrt2}{2}$ , а это значение ( $a+0,5$ ) принадлежит $(\frac{-1-\sqrt2}{2};0)\cup (0;\frac{\sqrt2-1}{2}).$

Да, случай $a=-\frac{\sqrt2}{2}$ нам подходит.

Случай 2.

Три решения исходное уравнение будет иметь в случае, если $a+0,5=\frac{\sqrt2-1}{2}$ , а $a-0,5$ при этом принадлежит множеству $(\frac{-1-\sqrt2}{2};0)\cup (0;\frac{\sqrt2-1}{2}).$

(На рисунке зеленым цветом выделено возможное местоположение прямой $y=a-0,5$ в случае, если прямая $y=a+0,5$ проходит через точку максимума функции).

Так вот, если $a=\frac{\sqrt2-2}{2},$ то $a-0,5=\frac{\sqrt2-3}{2}$ , а это значение ( $a-0,5$ ) принадлежит $(\frac{-1-\sqrt2}{2};0)\cup (0;\frac{\sqrt2-1}{2}).$

Да, случай $a=\frac{\sqrt2-2}{2}$ нам подходит.

Случай 3.

Три решения исходное уравнение будет иметь в случае, если $a+0,5=0$ , а $a-0,5$ при этом принадлежит множеству $(\frac{-1-\sqrt2}{2};0).$

(На рисунке зеленым цветом выделено возможное местоположение прямой $y=a-0,5$ в случае, если прямая $y=a+0,5$ проходит через точку начала координат).

Так вот если $a=-0,5,$ то $a-0,5=-1$ принадлежит $(\frac{-1-\sqrt2}{2};0).$

Да, случай $a=-0,5$ нам подходит.

Случай 4.

Три решения исходное уравнение будет иметь в случае, если $a-0,5=0$ , а $a+0,5$ при этом принадлежит множеству $(0;\frac{\sqrt2-1}{2}).$

(На рисунке зеленым цветом выделено возможное местоположение прямой $y=a+0,5$ в случае, если прямая $y=a-0,5$ проходит через точку начала координат).

Так вот если $a=0,5,$ то $a+0,5=0,5$ не принадлежит $(\frac{-1-\sqrt2}{2};0).$

Случай $a=0,5$ нам не подходит.

Ответ: $-0,5;-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2-2}{2}.$

Автор: egeMax | комментариев 5

Печать страницы

комментариев 5

Максим

2016-02-15 в 23:43

Почему нельзя смешать все три сплава?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-02-16 в 07:03
  
  Почему нельзя? Мы и смешивали три. А вычисления показали, что надо брать два, иначе не получим наибольшее/наименьшее процентное содержание олова в новом сплаве.
  
  [ Ответить ]
  - Даурен
    
    2016-04-12 в 15:13
    
    Как могло получиться 38.75% если мин проц содержание олова в 1 сплаве 45%
    
    [ Ответить ]
Даурен

2016-04-12 в 15:30

КККАААКККК??? В 17 задаче минимум получился 38.75% когда мин содержание железа в одном сплаве 45% (у меня получается 48.75%)
(ну никак не ответ не может быть меньше 45%)

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-04-12 в 20:41
  
  Да, что-то не так… Исправлю…
  Спасибо!
  
  [ Ответить ]

Тренировочная работа №143 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ