Тренировочная работа №148 А. Ларина

a)

Неравенство рассматриваем так:

и

или

и

Неравенству  отвечают значения первой, третьей четвертей (включая границы).

Итак,

или

б) Произведем отбор корней уравнения на отрезке 

или  или  

Ответ: 

а) ;

б) 

a) Треугольники  подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (угол общий, ).

Тогда , то есть .

А поскольку – квадрат (), то и При этом прямая – проекция наклонной  на плоскость , тогда по теореме о трех перпендикулярах  и

Далее, несложно заметить, что  прямоугольный. Действительно, (

Тогда, так как (доказательство аналогично доказательству параллельности ), то и

Итак, прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости , а значит, перпендикулярна всей плоскости (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

б)

Так как (см. пункт (a)), то и плоскость перпендикулярна плоскости   по признаку перпендикулярности плоскостей.

Найдем прямую пересечения указанных плоскостей.

Плоскость будучи параллельной ( лежит в , ), пересекает плоскость по прямой, параллельной . Потому в плоскости проведем через точку прямую параллельную ( принадлежит ).   – прямая пересечения .

Пусть пересекается с (где – центр основания ) в точке . Пусть пересекается с в точке .

Очевидно,  – прямая пересечения плоскостей .

По свойству перпендикулярных плоскостей, если проведем из перпендикуляр к , то .

Пусть пересекается с в точке . – высота треугольника .

– искомое расстояние.

Потому

При этом

Так как и , то

Коэффициент подобия треугольников , – Поэтому

Несложно заметить, что

Итак,

Ответ: б) .

Применяем метод замены множителей:

Ответ: 

a)

Докажем, что четырехугольник равнобедренная трапеция.

Так как , то (вытекает из равенства треугольников ( – центр окружности) по трем сторонам ).

Потому .

Но при этом – вписанный в окружность четырехугольник, а значит, суммы углов и , и равны по

Итак, внутренние односторонние углы и при прямых и секущей в сумме дают , поэтому то есть –  трапеция.

Равенство углов и доказанное выше, говорит о том, что трапеция равнобокая.

Что и требовалось доказать.

б) Пусть – основания перпендикуляров из точек на

Очевидно,

Пусть

Коэффициент подобия треугольников –

Пусть – высота треугольника  тогда  высота –

Имеем

 (1)

Далее, расписав площадь треугольника получим

 (2)

Из (1) выражаем

Подставляя полученное выражение в (2), получаем

Откуда .

Стало быть,

Далее, из треугольника    

Треугольник – вписанный в окружность радиуса , что мы ищем.

По теореме синусов для треугольника :

Ответ: б)

Так как числа  являются последовательными членами геометрической прогрессии, их сумма равна , а их произведение равно , то, приняв за шаг прогрессии, имеем

Получаем, что или

Итак, в случае первого варианта

стоимость материалов составляет    тыс.руб, стоимость строительных работ , тыс.руб и стоимость отделочных работ  тыс.руб.

или (во втором случае)

стоимость материалов составляет    тыс.руб, стоимость строительных работ , тыс.руб и стоимость отделочных работ  тыс.руб.

Рассмотрим второй случай.  Если построить дома, то,  согласно условию, затраты на материалы будут меньше, чем затраты на строительные и отделочные работы, поэтому

С учетом того, что , имеем

Так как то

Исключаем вариант

Вернемся к первому варианту.

Так как если построить дома, то затраты на материалы будут меньше, чем затраты на строительные и отделочные работы, потому

С учетом того, что , имеем

Так как то

Пусть построено домов.

Тогда Откуда

Необходимо, чтобы общие затраты были минимальными, поэтому

будем исследовать  на наименьшее значение на .

– точка минимума

 – наибольшее значение на  .

Так как  то с учетом того, что   получаем, что

Ответ:

Итак, необходимо, чтобы уравнение

имело хотя бы одно решение при условии (*):

Рассмотрим указанное уравнение:

Заметим, Поэтому

Потребуем, чтобы

С учетом того, что вспомним об условии (*):

Последние указанные значения входят в 

Итак, значения , при каждом из которых система уравнений

имеет хотя бы одно решение таковы: 

Ответ: