Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы
13. Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ![Rendered by QuickLaTeX.com [-\frac{3\pi}{2};0].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55f91d5221ebe6573897aa4a473385f9_l3.svg)
Решение: + показать
a)






Неравенство
рассматриваем так:
и 
или
и 
Неравенству
отвечают значения
первой, третьей четвертей (включая границы).
Итак,

или 
б) Произведем отбор корней уравнения на отрезке ![Rendered by QuickLaTeX.com [-\frac{3\pi}{2};0].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55f91d5221ebe6573897aa4a473385f9_l3.svg)

или
или 
Ответ:
а)
; 
б) 
14. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды
с основанием
равны
. Точки
лежат на ребрах
,
и
соответственно, причем 
а) Докажите, что плоскость
перпендикулярна ребру
.
б) Найдите расстояние от вершины
до плоскости 
Решение: + показать
a) Треугольники
подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (угол
общий,
).
Тогда
, то есть
.
А поскольку
– квадрат (
), то и
При этом прямая
– проекция наклонной
на плоскость
, тогда по теореме о трех перпендикулярах и 
Далее, несложно заметить, что
прямоугольный. Действительно,
(
Тогда, так как
(доказательство аналогично доказательству параллельности
), то и 

Итак, прямая
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости
, а значит, перпендикулярна всей плоскости (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).
б)
Так как
(см. пункт (a)), то и плоскость
перпендикулярна плоскости
по признаку перпендикулярности плоскостей.
Найдем прямую пересечения указанных плоскостей.
Плоскость
будучи параллельной
(
лежит в
,
), пересекает плоскость
по прямой, параллельной
. Потому в плоскости
проведем через точку
прямую
параллельную
(
принадлежит
).
– прямая пересечения
.
Пусть
пересекается с
(где
– центр основания
) в точке
. Пусть
пересекается с
в точке
.
Очевидно,
– прямая пересечения плоскостей
.

По свойству перпендикулярных плоскостей, если проведем из
перпендикуляр
к
, то
.
Пусть
пересекается с
в точке
.
– высота треугольника
.
– искомое расстояние.
Потому

При этом

Так как
и
, то

Коэффициент подобия треугольников
,
–
Поэтому

Несложно заметить, что 
Итак,

Ответ: б)
.
15. Решите неравенство 
Решение: + показать




Применяем метод замены множителей:






Ответ: 
16. В окружность радиуса
вписан четырехугольник
,
– точка пересечения его диагоналей,
,
. Высота, опущенная из точки
на сторону
, равна
, а площадь треугольника
равна
.
а) Докажите, что
– равнобедренная трапеция.
б) Найдите стороны
,
и радиус окружности
.
Решение: + показать
a)
Докажем, что четырехугольник
равнобедренная трапеция.


Так как
, то
(вытекает из равенства треугольников
(
– центр окружности) по трем сторонам ).
Потому
.
Но при этом
– вписанный в окружность четырехугольник, а значит, суммы углов
и
,
и
равны по 

Итак, внутренние односторонние углы
и
при прямых
и секущей
в сумме дают
, поэтому
то есть
– трапеция.
Равенство углов
и
доказанное выше, говорит о том, что трапеция
равнобокая.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть
– основания перпендикуляров из точек
на 
Очевидно,

Пусть 
Коэффициент подобия треугольников
– 
Пусть
– высота треугольника
тогда высота
– 
Имеем
(1)
Далее, расписав площадь треугольника
получим
(2)
Из (1) выражаем 

Подставляя полученное выражение в (2), получаем



Откуда
.
Стало быть, 
Далее, из треугольника

Треугольник
– вписанный в окружность радиуса
, что мы ищем.
По теореме синусов для треугольника
:




Ответ: б) 
17. Строительной организации необходимо построить некоторое количество одинаковых домов общей площадью
м
. Стоимость одного дома площадью
м
складывается из стоимости материалов
тыс.руб, стоимости строительных работ
, тыс.руб и стоимости отделочных работ
тыс.руб. Числа
являются последовательными членами геометрической прогрессии, их сумма равна
, а их произведение равно
. Если построить
дома, то затраты на материалы будут меньше, чем затраты на строительные и отделочные работы. Сколько следует построить домов, чтобы общие затраты были минимальными?
Решение: + показать
Так как числа
являются последовательными членами геометрической прогрессии, их сумма равна
, а их произведение равно
, то, приняв за
шаг прогрессии, имеем




Получаем, что
или 
Итак, в случае первого варианта
стоимость материалов составляет
тыс.руб, стоимость строительных работ
, тыс.руб и стоимость отделочных работ
тыс.руб.
или (во втором случае)
стоимость материалов составляет
тыс.руб, стоимость строительных работ
, тыс.руб и стоимость отделочных работ
тыс.руб.
Рассмотрим второй случай. Если построить
дома, то, согласно условию, затраты на материалы будут меньше, чем затраты на строительные и отделочные работы, поэтому



С учетом того, что
, имеем


Так как
то



Исключаем вариант 
Вернемся к первому варианту.
Так как если построить
дома, то затраты на материалы будут меньше, чем затраты на строительные и отделочные работы, потому



С учетом того, что
, имеем


Так как
то



Пусть построено
домов.
Тогда
Откуда 
Необходимо, чтобы общие затраты были минимальными, поэтому
будем исследовать
на наименьшее значение на
.



– точка минимума 
– наибольшее значение
на
.
Так как
то с учетом того, что
получаем, что 
Ответ: 
18. Найдите все значения
, при каждом из которых система уравнений

имеет хотя бы одно решение.
Решение: + показать




Итак, необходимо, чтобы уравнение

имело хотя бы одно решение при условии (*):

Рассмотрим указанное уравнение:


Заметим,
Поэтому

Потребуем, чтобы 



![Rendered by QuickLaTeX.com a\in (-\infty;\frac{3}{5}]\cup [1;+\infty).](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-420f756591ed9b36a00bec1d4cb64de4_l3.svg)
С учетом того, что
вспомним об условии (*):




![Rendered by QuickLaTeX.com a\in (0;\frac{1}{4})\cup (\frac{1}{4};\frac{1}{3}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cc0fbeb539482debcf4ccdd51541f9c_l3.svg)
Последние указанные значения
входят в ![Rendered by QuickLaTeX.com (-\infty;\frac{3}{5}]\cup [1;+\infty).](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e197d48a9359b6fcdf0981fcb8744705_l3.svg)
Итак, значения
, при каждом из которых система уравнений
имеет хотя бы одно решение таковы: ![Rendered by QuickLaTeX.com (0;\frac{1}{4})\cup(\frac{1}{4};\frac{1}{3}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fb75f60ecceb2c33dc94e93f10273f5_l3.svg)
Ответ: ![Rendered by QuickLaTeX.com (0;\frac{1}{4})\cup (\frac{1}{4};\frac{1}{3}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-10daed53ecf81d4508972b75d33db53d_l3.svg)
Елена, в тр/в 148 в задании 18 у Вас опечатка, в ответе после 1/3 должна быть квадратная скобка.
Зина, спасибо большое!
Дичь полная
Здравствуйте, у Вас во второй системе квадратное уравнение решено с ошибкой. Тройки чисел p1, p2, p3 получаются 1,4,16 и 16,4,1. А вот 63 дома помогают определить, что подходит 1, 4 и 16.
Ксения, спасибо большое. Исправила.
Удивительно, что хорошие корни вылезли в квадратном уравнении с ошибкой…
Помню, при первом рассмотрении данной задачи действительно вылезали два варианта. А потом, при оформлении на сайте, второй вариант куда-то испарился…
Не могли бы Вы немного поподробнее объяснить в 17 задаче, почему мы отбрасываем вариант р = 16 ? да, мне внутренний голос подсказывает, что он не подойдёт, но я не понял почему именно он не подошёл
Площадь дома меньше метра)) Вряд ли реально…
Всё, я разобрался, не отвечайте
Здравствуйте, а почему Задание 17 третья строка с конца а = 16 – точка максимума? По идее минимума… функция от 0 до 16 убывает (так как производная отрицательна), а затем возрастает (производная положительна)
Иосиф, была описка. Спасибо!