Тренировочная работа от 26.01.2017. Часть С, №15

Разбор заданий части С
(разбор заданий 1-12, также №13; №14; №16; №17; №18; №19)

15. Решите неравенство $ 3^{|x|}-8-\large\frac{3^{|x|}+9}{9^{|x|}-4\cdot 3^{|x|}+3}\leq \frac{5}{3^{|x|}-1}.$

Решение:

Замена: $3^{|x|}=m.$

$m-8-\large\frac{m+9}{m^2-4\cdot m+3}\leq \frac{5}{m-1};$

$m-8\leq \large\frac{m+9}{(m-3)(m-1)}+\frac{5}{m-1};$

$m-8\leq \large\frac{m+9+5(m-3)}{(m-3)(m-1)};$

$m-8\leq \large\frac{6(m-1)}{(m-3)(m-1)};$

$m-8\leq \large\frac{6}{m-3},\normalsize m\neq 1;$

$\large\frac{(m-8)(m-3)-6}{m-3}\normalsize\leq 0,m\neq 1;$

$\large\frac{m^2-11m+18}{m-3}\normalsize\leq 0,m\neq 1;$

$\large\frac{(m-9)(m-2)}{m-3}\normalsize\leq 0,m\neq 1.$

Производим обратную замену, готовимся к применению метода замены множителей:

$\large\frac{(3^{|x|}-3^2)(3^{|x|}-3^{\log_32})}{3^{|x|}-3^1}\normalsize\leq 0,3^{|x|}\neq 3^0;$

$\large\frac{(|x|-2)(|x|-\log_32)}{|x|-1}\normalsize\leq 0,|x|\neq 0.$

Еще раз обращаемся к методу замены множителей:

$\large\frac{(x-2)(x+2)(x-\log_32)(x+log_32)}{(x-1)(x+1)}\normalsize\leq 0,x\neq 0.$

$x\in [-2;-1)\cup [-log_32;0)\cup (0;log_32]\cup (1;2].$

Ответ: $[-2;-1)\cup [-log_32;0)\cup (0;log_32]\cup (1;2].$