Разбор заданий части С
(разбор заданий 1-12, также №13; №14; №15; №17; №18; №19)
16. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$.
а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$.
б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC=12,BD=6,5.$
Решение:
a)
Пусть $\alpha =\angle BAD,$ $\beta=\angle BAC.$
Так как по условию $AB=BD,$ а $BD=BC,$ то $AB=BC,$ то есть треугольник $ABC$ равнобедренный и $\angle BCA=\angle BAC=\beta.$
Углы $A,B$ – внутренние односторонние при параллельных $BC,AD$ и секущей $AB,$ то есть $\angle B=180^{\circ}-\alpha.$
В треугольнике $ABC$ имеем:
$\beta+\beta+180^{\circ}-\alpha=180^{\circ};$
$\alpha=2\beta.$
Итак, $\angle BAC=\angle CAD=\beta,$ то есть луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$.
б) Из треугольника $ABC$ по теореме косинусов:
$AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot cosB;$
$144=\frac{169}{4}+\frac{169}{4}-2\cdot \frac{13}{2}\cdot \frac{13}{2}\cdot cos(180^{\circ}-\alpha);$
$144=\frac{169}{2}+2\cdot \frac{169}{4}\cdot cos\alpha;$
$cos\alpha=\frac{\frac{119}{2}}{\frac{169}{2}};$
$cos\alpha=\frac{119}{169};$
Из треугольника $BCD$ по теореме косинусов:
$CD^2=BD^2+BC^2-2BD\cdot BC\cdot cosDBC;$
$CD^2=\frac{169}{4}+\frac{169}{4}-2\cdot \frac{13}{2} \cdot \frac{13}{2}\cdot \frac{119}{169};$
$CD^2=\frac{169}{2}-\frac{169}{2}\cdot \frac{119}{169};$
$CD^2=\frac{169}{2}-\frac{119}{2};$
$CD=5.$
Ответ: $5.$
Добавить комментарий