Тренировочная работа от 26.01.2017. Часть С, №16

2017-02-01

Разбор заданий части С
(разбор заданий 1-12, также №13№14№15№17№18№19)

16. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла  BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC=12,BD=6,5.

Решение:

a)

Пусть \alpha =\angle BAD, \beta=\angle BAC.

Так как по условию AB=BD, а BD=BC, то AB=BC, то есть треугольник ABC равнобедренный и \angle BCA=\angle BAC=\beta.

Углы A,B – внутренние односторонние при параллельных BC,AD и секущей AB, то есть \angle B=180^{\circ}-\alpha.

В треугольнике ABC имеем:

\beta+\beta+180^{\circ}-\alpha=180^{\circ};

\alpha=2\beta.

Итак, \angle BAC=\angle CAD=\beta, то есть луч AC — биссектриса угла  BAD.

б) Из треугольника ABC по теореме косинусов:

AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot cosB;

144=\frac{169}{4}+\frac{169}{4}-2\cdot \frac{13}{2}\cdot \frac{13}{2}\cdot cos(180^{\circ}-\alpha);

144=\frac{169}{2}+2\cdot \frac{169}{4}\cdot cos\alpha;

cos\alpha=\frac{\frac{119}{2}}{\frac{169}{2}};

cos\alpha=\frac{119}{169};

Из треугольника BCD по теореме косинусов:

CD^2=BD^2+BC^2-2BD\cdot BC\cdot cosDBC;

CD^2=\frac{169}{4}+\frac{169}{4}-2\cdot \frac{13}{2} \cdot \frac{13}{2}\cdot \frac{119}{169};

CD^2=\frac{169}{2}-\frac{169}{2}\cdot \frac{119}{169};
CD^2=\frac{169}{2}-\frac{119}{2};
CD=5.

Ответ: 5.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

двадцать − семь =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif