Тренировочная работа от 26.01.2017. Часть С, №18

Разбор заданий части С
(разбор заданий 1-12, также №13; №14; №15; №16; №17; №19)

18. Найдите  все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a$

имеет ровно три решения.

Решение:

Уравнение

 $\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a$

равносильно системе

$\begin{cases}x^4-16x^2+64a^2=(x^2+4x-8a)^2,\\x^2+4x-8a\geq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}x^4-16x^2+64a^2=x^4+16x^2+64a^2+8x^3-16ax^2-64ax,\\x^2+4x-8a\geq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}8x^3+32x^2-16ax^2-64ax=0,\\x^2+4x-8a\geq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}x(x^2+4x-2ax-8a)=0,\\x^2+4x-8a\geq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}x(x(x+4)-2a(x+4)=0,\\x^2+4x-8a\geq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}x(x+4)(x-2a)=0,\\x^2+4x-8a\geq 0;&\end{cases}$

Числа $0$, $-4$ являются корнями исходного уравнения при $a\leq 0$.

Далее потребуем 

1) несовпадения  корня $x=2a$  с корнями $0$ и $-4$

и

2) выполнения условия $(2a)^2+4\cdot 2a-8a\geq 0.$

Первое указанное требование выполняется при  $a\neq 0$, $a\neq -2,$ второе  – для любых $a.$

Итак, учитывая, что $a \leq 0,$ собираем все значения $a$, при каждом из которых исходное уравнение имеет ровно три решения:

$a\in (-\infty;-2)\cup (-2;0).$

 Ответ: $(-\infty;-2)\cup (-2;0).$