Тренировочная работа от 26.01.2017. Часть С, №18

2017-02-01

Разбор заданий части С
(разбор заданий 1-12, также №13№14№15№16№17№19)

18. Найдите  все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a

имеет ровно три решения.

Решение:

Уравнение

 \sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a

равносильно системе

\begin{cases} x^4-16x^2+64a^2=(x^2+4x-8a)^2,& &x^2+4x-8a\geq 0; \end{cases}

\begin{cases} x^4-16x^2+64a^2=x^4+16x^2+64a^2+8x^3-16ax^2-64ax,& &x^2+4x-8a\geq 0; \end{cases}

\begin{cases} 8x^3+32x^2-16ax^2-64ax=0,& &x^2+4x-8a\geq 0; \end{cases}

\begin{cases} x(x^2+4x-2ax-8a)=0,& &x^2+4x-8a\geq 0; \end{cases}

\begin{cases} x(x(x+4)-2a(x+4)=0,& &x^2+4x-8a\geq 0; \end{cases}

\begin{cases} x(x+4)(x-2a)=0,& &x^2+4x-8a\geq 0; \end{cases}

Числа 0, -4 являются корнями исходного уравнения при a\leq 0.

Далее потребуем 

1) несовпадения  корня x=2a  с корнями 0 и -4

и

2) выполнения условия (2a)^2+4\cdot 2a-8a\geq 0.

Первое указанное требование выполняется при  a\neq 0, a\neq -2, второе  – для любых a.

Итак, учитывая, что a \leq 0, собираем все значения a, при каждом из которых исходное уравнение имеет ровно три решения:

a\in (-\infty;-2)\cup (-2;0).

 Ответ: (-\infty;-2)\cup (-2;0).

Печать страницы
комментариев 5
  1. Женя

    А почему числа 0 и -4 – корни исходного уравнения именно при параметре, меньшем либо равном нулю?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      подставьте указанные числа во вторую строку системы x^2+4x-8a>=0

      [ Ответить ]
      • Женя

        Спасибо!

        [ Ответить ]
  2. Таня

    Зачем нужно несовпадение корня х=2а с корнями 0 и -4?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Таня, при совпадении уже не будет трех корней.

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

пятнадцать + 11 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif