Разбор заданий части С
(разбор заданий 1-12, также №13; №14; №15; №16; №17; №19)
18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a$
имеет ровно три решения.
Решение:
Уравнение
$\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a$
равносильно системе
$\begin{cases}x^4-16x^2+64a^2=(x^2+4x-8a)^2,\\x^2+4x-8a\geq 0;&\end{cases}$
$\begin{cases}x^4-16x^2+64a^2=x^4+16x^2+64a^2+8x^3-16ax^2-64ax,\\x^2+4x-8a\geq 0;&\end{cases}$
$\begin{cases}8x^3+32x^2-16ax^2-64ax=0,\\x^2+4x-8a\geq 0;&\end{cases}$
$\begin{cases}x(x^2+4x-2ax-8a)=0,\\x^2+4x-8a\geq 0;&\end{cases}$
$\begin{cases}x(x(x+4)-2a(x+4)=0,\\x^2+4x-8a\geq 0;&\end{cases}$
$\begin{cases}x(x+4)(x-2a)=0,\\x^2+4x-8a\geq 0;&\end{cases}$
Числа $0$, $-4$ являются корнями исходного уравнения при $a\leq 0$.
Далее потребуем
1) несовпадения корня $x=2a$ с корнями $0$ и $-4$
и
2) выполнения условия $(2a)^2+4\cdot 2a-8a\geq 0.$
Первое указанное требование выполняется при $a\neq 0$, $a\neq -2,$ второе – для любых $a.$
Итак, учитывая, что $a \leq 0,$ собираем все значения $a$, при каждом из которых исходное уравнение имеет ровно три решения:
$a\in (-\infty;-2)\cup (-2;0).$
Ответ: $(-\infty;-2)\cup (-2;0).$
А почему числа 0 и -4 – корни исходного уравнения именно при параметре, меньшем либо равном нулю?
подставьте указанные числа во вторую строку системы x^2+4x-8a>=0
Спасибо!
Зачем нужно несовпадение корня х=2а с корнями 0 и -4?
Таня, при совпадении уже не будет трех корней.