Тренировочная работа от 26.01.2017. Часть С, №18

Елена Репина 2017-01-28 2017-02-01

Разбор заданий части С
(разбор заданий 1-12, также №13; №14; №15; №16; №17; №19)

18. Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a$

имеет ровно три решения.

Решение:

Уравнение

$\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a$

равносильно системе

$\begin{cases} x^4-16x^2+64a^2=(x^2+4x-8a)^2,& &x^2+4x-8a\geq 0; \end{cases}$

$\begin{cases} x^4-16x^2+64a^2=x^4+16x^2+64a^2+8x^3-16ax^2-64ax,& &x^2+4x-8a\geq 0; \end{cases}$

$\begin{cases} 8x^3+32x^2-16ax^2-64ax=0,& &x^2+4x-8a\geq 0; \end{cases}$

$\begin{cases} x(x^2+4x-2ax-8a)=0,& &x^2+4x-8a\geq 0; \end{cases}$

$\begin{cases} x(x(x+4)-2a(x+4)=0,& &x^2+4x-8a\geq 0; \end{cases}$

$\begin{cases} x(x+4)(x-2a)=0,& &x^2+4x-8a\geq 0; \end{cases}$

Числа $0$ , $-4$ являются корнями исходного уравнения при $a\leq 0$ .

Далее потребуем

1) несовпадения корня $x=2a$ с корнями $0$ и $-4$

2) выполнения условия $(2a)^2+4\cdot 2a-8a\geq 0.$

Первое указанное требование выполняется при $a\neq 0$ , $a\neq -2,$ второе – для любых $a.$

Итак, учитывая, что $a \leq 0,$ собираем все значения $a$ , при каждом из которых исходное уравнение имеет ровно три решения:

$a\in (-\infty;-2)\cup (-2;0).$

Ответ: $(-\infty;-2)\cup (-2;0).$

Автор: egeMax | комментариев 5

комментариев 5