Тренировочная работа от 26.01.2017. Часть С, №19

Разбор заданий части С
(разбор заданий 1-12, также №13; №14; №15; №16; №17; №18)

19. Конечная возрастающая последовательность $a_1;a_2;…;a_n$ состоит из $n\geq 3$ различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $k\leq n-2$ выполнено равенство $4a_{k+2}=7a_{k+1}-3a_{k}$.

а) Приведите пример такой последовательности при $n=5$.
б) Может ли в такой последовательности при некотором $n\geq 3$ выполняться равенство $a_{n}=4a_{2}-3a_{1}$?

в) Какое наименьшее значение может принимать $a_1$, если $a_n = 527$?

Решение:

a) Так как последовательность $a_1;a_2;…;a_n$ – возрастающая, состоящая из различных натуральных чисел, то пусть $a_2=a_1+d$, где $d\geq 1$.

Тогда

$a_3=\frac{7a_2-3a_1}{4}=\frac{7(a_1+d)-3a_1}{4}=\frac{4a_1+7d}{4}=\frac{4a_1+4d+3d}{4}=a_1+d+\frac{3}{4}d;$

$a_4=\frac{7a_3-3a_2}{4}=\frac{7(a_1+d+\frac{3}{4}d)-3(a_1+d)}{4}=…=a_1+d+\frac{3}{4}d+\frac{9}{16}d;$

$a_5=\frac{7a_4-3a_3}{4}=…=a_1+d+\frac{3}{4}d+\frac{9}{16}d+\frac{27}{64}d.$

Удобно взять $d=64.$

Получаем, например, следующую последовательность пяти членов:

$1;65;113;149;176.$

б) Как мы уже заметили, для  $n\geq 3$

$a_n=a_1+d((\frac{3}{4})^0+(\frac{3}{4})^1+…+(\frac{3}{4})^{n-2}).$

Так как $(\frac{3}{4})^0+(\frac{3}{4})^1+…+(\frac{3}{4})^{n-2}=\frac{1\cdot ((\frac{3}{4})^{n-1})}{\frac{3}{4}-1},$ то

$a_n=a_1+4d(1-(\frac{3}{4})^{n-1}).$

Допустим, что для  $n\geq 3$  выполняется $a_{n}=4a_{2}-3a_{1}.$

Тогда

$a_1+4d(1-(\frac{3}{4})^{n-1})=a_1+4d;$

$1-(\frac{3}{4})^{n-1}=1;$

$(\frac{3}{4})^{n-1}=0$ – противоречие.

Нет, в указанной последовательности при некотором $n\geq 3$ не может выполняться равенство $a_{n}=4a_{2}-3a_{1}.$

в) Так как $a_n = 527$  ($n\geq 3$),  то

$\frac{7a_{n-1}-3a_{n-2}}{4}=527.$

Возьмем $n=3.$ Тогда

$\frac{7(a_{2}+d)-3a_{1}}{4}=527;$

$a_{2}=\frac{527\cdot 4+3a_1}{7}\geq 2;$

$a_{2}=\frac{527\cdot 4+3a_1}{7};$

$a_{2}=301+\frac{1+3a_1}{7};$

Самое маленькое подходящее натуральное значение $a_1$ в данном случае – это $2.$

Будем иметь следующую последовательность: $2;302;527.$

Покажем, что $a_1=1$ подобрать не удастся.

Действительно, пусть $a_1=1.$ Тогда

$1+4d(1-(\frac{3}{4})^{n-1})=527;$

$526=4d(1-(\frac{3}{4})^{n-1});$

$263=2d(1-(\frac{3}{4})^{n-1});$

$263\cdot 4^{n-1}=2d(4^{n-1}-3^{n-1}).$

Четное число $4^{n-1}$ не может делиться на нечетное $4^{n-1}-3^{n-1}$ (при $n\geq 3$). Значит, $263$ делится на $4^{n-1}-3^{n-1}.$

Помним о том, что $263$ – простое число.

Пусть $n=3.$ Тогда $4^{n-1}-3^{n-1}=7.$

Пусть $n=4.$ Тогда $4^{n-1}-3^{n-1}=37.$

Пусть $n=5.$ Тогда $4^{n-1}-3^{n-1}=175.$

Пусть $n=6.$ Тогда $4^{n-1}-3^{n-1}=781.$

Остальные значения $n$ брать нет смысла, так как разность $4^{n-1}-3^{n-1}$ будет только возрастать.

Итак, наименьшее возможное значение $a_1$ при $a_n = 527$ – это $2.$

Ответ:  a) $1;65;113;149;176;$ б) нет; в) $2.$