Тренировочная работа от 26.01.2017. Часть С, №19

2017-06-01

Разбор заданий части С
(разбор заданий 1-12, также №13№14№15; №16; №17№18)

19. Конечная возрастающая последовательность a_1;a_2;...;a_n состоит из n\geq 3 различных натуральных чисел, причём при всех натуральных k\leq n-2 выполнено равенство 4a_{k+2}=7a_{k+1}-3a_{k}.

а) Приведите пример такой последовательности при n=5.
б) Может ли в такой последовательности при некотором n\geq 3 выполняться равенство a_{n}=4a_{2}-3a_{1}?

в) Какое наименьшее значение может принимать a_1, если a_n = 527?

Решение:

a) Так как последовательность a_1;a_2;...;a_n – возрастающая, состоящая из различных натуральных чисел, то пусть a_2=a_1+d, где d\geq 1.

Тогда

a_3=\frac{7a_2-3a_1}{4}=\frac{7(a_1+d)-3a_1}{4}=\frac{4a_1+7d}{4}=\frac{4a_1+4d+3d}{4}=a_1+d+\frac{3}{4}d;

a_4=\frac{7a_3-3a_2}{4}=\frac{7(a_1+d+\frac{3}{4}d)-3(a_1+d)}{4}=...=a_1+d+\frac{3}{4}d+\frac{9}{16}d;

a_5=\frac{7a_4-3a_3}{4}=...=a_1+d+\frac{3}{4}d+\frac{9}{16}d+\frac{27}{64}d.

Удобно взять d=64.

Получаем, например, следующую последовательность пяти членов:

1;65;113;149;176.

б) Как мы уже заметили, для  n\geq 3

a_n=a_1+d((\frac{3}{4})^0+(\frac{3}{4})^1+...+(\frac{3}{4})^{n-2}).

Так как (\frac{3}{4})^0+(\frac{3}{4})^1+...+(\frac{3}{4})^{n-2}=\frac{1\cdot ((\frac{3}{4})^{n-1})}{\frac{3}{4}-1}, то

a_n=a_1+4d(1-(\frac{3}{4})^{n-1}).

Допустим, что для  n\geq 3  выполняется a_{n}=4a_{2}-3a_{1}.

Тогда

a_1+4d(1-(\frac{3}{4})^{n-1})=a_1+4d;

1-(\frac{3}{4})^{n-1}=1;

(\frac{3}{4})^{n-1}=0 – противоречие.

Нет, в указанной последовательности при некотором n\geq 3 не может выполняться равенство a_{n}=4a_{2}-3a_{1}.

в) Так как a_n = 527  (n\geq 3),  то

\frac{7a_{n-1}-3a_{n-2}}{4}=527.

Возьмем n=3. Тогда

\frac{7(a_{2}+d)-3a_{1}}{4}=527;

a_{2}=\frac{527\cdot 4+3a_1}{7}\geq 2;

a_{2}=\frac{527\cdot 4+3a_1}{7};

a_{2}=301+\frac{1+3a_1}{7};

Самое маленькое подходящее натуральное значение a_1 в данном случае – это 2.

Будем иметь следующую последовательность: 2;302;527.

Покажем, что a_1=1 подобрать не удастся.

Действительно, пусть a_1=1. Тогда

1+4d(1-(\frac{3}{4})^{n-1})=527;

526=4d(1-(\frac{3}{4})^{n-1});

263=2d(1-(\frac{3}{4})^{n-1});

263\cdot 4^{n-1}=2d(4^{n-1}-3^{n-1}).

Четное число 4^{n-1} не может делиться на нечетное 4^{n-1}-3^{n-1} (при n\geq 3). Значит, 263 делится на 4^{n-1}-3^{n-1}.

Помним о том, что 263 – простое число.

Пусть n=3. Тогда 4^{n-1}-3^{n-1}=7.

Пусть n=4. Тогда 4^{n-1}-3^{n-1}=37.

Пусть n=5. Тогда 4^{n-1}-3^{n-1}=175.

Пусть n=6. Тогда 4^{n-1}-3^{n-1}=781.

Остальные значения n брать нет смысла, так как разность 4^{n-1}-3^{n-1} будет только возрастать.

Итак, наименьшее возможное значение a_1 при a_n = 527 – это 2.

Ответ:  a) 1;65;113;149;176; б) нет; в) 2.

Печать страницы
комментария 2
  1. Андрей

    ХОТЬ КТО-ТО УМЕЕТ НОРМАЛЬНО ОБЬЯСНЯТЬ! На РЕШУ ЕГЭ объяснение в стиле: “Ну ответ такой, но ведь, блин, видно, что если что-то взять, то будет норм, наверное. Короче, сами разбирайтесь, мы такие задачки в уме решаем//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Андрей, спасибо! //egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

девять + четыре =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif