Разбор заданий Тренировочной работы в формате ЕГЭ
1. Летом килограмм клубники стоит
рублей. Маша купила
кг
г клубники. Сколько рублей сдачи она должна была получить с
рублей?
Решение: + показать
Составим пропорцию:

Откуда
(руб.)
Маша получит
рубля сдачи с
рублей, заплатив за покупку
рублей.
Ответ:
2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1973 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение: + показать

Ответ:
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его медианы, проведенной к гипотенузе.

Решение: + показать
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
Как видим, длина гипотенузы равна
.
Потому длина медианы – 

Ответ:
.
4. Вероятность того, что новый персональный компьютер прослужит больше года, равна
Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна
Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение: + показать
Рассмотрим следующие события:
А – «компьютер прослужит больше года, но меньше 2»,
В – «компьютер прослужит больше 2-х лет»,
С – «компьютер прослужит больше года».
Событие С есть сумма совместных событий А и В, то есть

Но
, так как не может одновременно произойти и А, и В.
Поэтому 
Откуда 
Ответ: 
5. Найдите корень уравнения 
Решение: + показать
6. Основания равнобедренной трапеции равны
и
, а ее периметр равен
Найдите площадь трапеции.

Решение: + показать
7. На рисунке изображен график функции
– производной функции
Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику
параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Решение: + показать
Производная в точках, в которых касательная к графику
параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, равна нулю.
Точка, в которой производная
равна нулю, – одна – это точка с абсциссой 
Ответ: 
8. В цилиндрический сосуд налили
см
воды. Уровень жидкости оказался равным
см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на
см. Чему равен объем детали? Ответ дайте в см
.

Решение: + показать
Объем погруженной детали равен объему вытесненной жидкости.
Раз уровень жидкости поднялся на
см (а был –
), то объем вытесненной жидкости составляет
части объема жидкости.
Поэтому объем детали есть
то есть
см
Ответ: 
9. Найдите значение выражения 
Решение: + показать

Ответ: 
10. Мяч бросили под углом
к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле
При каком значении угла
(в градусах) время полета составит
секунды, если мяч бросают с начальной скоростью
м/с? Считайте, что ускорение свободного падения
м/с
Решение: + показать
Подставляем известные величины в формулу
:




Так как нас интересует острый угол, то 
Ответ: 
11. Первый и второй насосы наполняют бассейн за
минут, второй и третий – за
минут, а первый и третий – за
минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
Решение: + показать
Совместная скорость работы первого и второго насосов –
части бассейна в минуту.
Совместная скорость работы второго и третьего насосов –
части бассейна в минуту.
Совместная скорость работы первого и третьего насосов –
части бассейна в минуту.
Тогда совместная скорость работы двух первых, двух вторых и двух третьих насосов –
то есть
части бассейна в минуту.
А значит, совместная скорость работы трех насосов –
части бассейна в минуту.
Стало быть, три насоса заполнят бассейн, работая вместе, за
минут.
Ответ: 
12. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке ![Rendered by QuickLaTeX.com [-3,5;0].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66cd0ad05732147d74adffa423c3eeb5_l3.svg)
Решение: + показать


– точка максимума функции, в ней же и достигается наибольшее значение функции на отрезке ![Rendered by QuickLaTeX.com [-3,5;0].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66cd0ad05732147d74adffa423c3eeb5_l3.svg)

Ответ: 
13. а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ![Rendered by QuickLaTeX.com [-\frac{5\pi}{2};-\pi].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00ccc342978cd13b52803282260396b1_l3.svg)
Решение: + показать
a)

Применяем формулы приведения к левой части уравнения.


или 
или 
б) Найдем все корни уравнения из отрезка
при помощи тригонометрического круга.

Ответ:
а)
; 
б)
14. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой
и радиусом основания
проведена хорда
равная радиусу основания, а в другом его основании проведен диаметр
перпендикулярный
Построено сечение
проходящее через прямую
перпендикулярно прямой
так, что точка
и центр основания цилиндра, в котором проведен диаметр
лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объем пирамиды 
Решение: + показать
а) Проведем образующие цилиндра через точки
и
Мы вполне можем обозначить соответствующие точки образующих верхнего основания за
и
.
Во-первых, сечение
, конечно-же, содержит
. Во-вторых, полученное сечение перпендикулярно
(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), ведь
и
перпендикулярна, например,
так как образующие прямого цилиндра перпендикулярны основаниям (а значит, и любым прямым в них).

Докажем, что
– прямоугольник, это и будет означать, что 
Во-первых,
– параллелограмм в силу равенства и параллельности образующих
Во-вторых, как мы уже говорили, образующие прямого цилиндра перпендикулярны основаниям, потому, например, 
б) Пусть
– центры верхнего и нижнего оснований. Пусть
– середина 
Высота пирамиды
(с основанием
) – это
.
Треугольник
также, как и треугольник
– равносторонний со стороной, равной 6.
Высота равностороннего треугольника со стороной
, как несложно заметить, есть 

Далее, 

Ответ: б) 
15. Решите неравенство 
Решение: + показать





Найдя корни квадратного трехчлена (относительно
) левой части неравенства, получим:

Вторая скобка левой части положительна на области определения неравенства. «Откидываем» ее.





Ответ: 
16. Окружность, проходящая через вершины
и
прямоугольной трапеции
с основаниями
и
пересекает меньшую боковую сторону
в точке
и касается прямой
. Известно, что 
а) Докажите, что
– биссектриса угла 
б) В каком отношении прямая
делит площадь трапеции?
Решение: + показать
а) Так как
то
– диаметр оружности.
Треугольники
равны по гипотенузе и катету (
по условию).

Пусть 
Треугольник
(
– центр окружности) – равнобедренный, потому 

– точка касания верхнего основания трапеции и окружности, поэтому
. Тогда 
При всем этом, вписанный угол
опирается на дугу
так же, как и вписанный угол
равный
Потому и 
Итак,
то есть
– биссектриса угла 
б) Используя обозначения пункта (а), можно заметить, что
(углы
– накрест лежащие при параллельных прямых
и секущей
).
Но тогда
– равносторонний (все углы по
).

Пусть
– точка пересечения 
Очевидно, треугольники
равны. При этом площадь треугольника
составляет половину площади треугольника
, который, в свою очередь, составляет половину площади треугольника
.
Итак, 

Тогда 
Ответ: б) 
17. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на
% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равыным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит
млн.
Решение: + показать
18. Найдите все неотрицательные значения
, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.
Решение: + показать

Первая строка системы задает отрезок с концами 
Действительно, левая часть уравнения – есть сумма расстояний от некоторой точки
до точек
При этом расстояние между точками
есть
, а в правой части уравнения как раз и стоит
.

Вторая строка системы – семейство прямых
, параллельных оси
располагающихся при этом не ниже оси 
Нам остается потребовать (для того, чтобы исходная система имела бы единственное решение), чтобы значение
было бы не больше 


Так как
то неравенство можно переписать так

и провести метод замены множителей




![Rendered by QuickLaTeX.com a\in [1;6].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-58c865826c7b5c5bbf14254d7a697521_l3.svg)
Ответ: ![Rendered by QuickLaTeX.com [1;6].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f427c4e9e9b0a3d6ab8d7ca1b0a08505_l3.svg)
Полезно также посмотреть задания №18 здесь, здесь и здесь.
19. Возрастающие арифметические прогрессии
и
состоят из натуральных чисел.
а) Существуют ли такие прогресcии, для которых
и
– различные натуральные числа?
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых
и
– различные натуральные числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь
если известно, что
и
– различные натуральные числа?
Решение: + показать
а) Да, существуют. Например, вторая прогрессия –
. Тогда на роль первой подойдет, например, – 
б) Допустим, что существуют такие прогрессии, для которых
и
– различные натуральные числа.
Пусть шаг первой прогрессии –
второй член прогресии – 
Пусть шаг второй прогрессии –
второй член прогресии – 
Тогда существуют различные натуральные числа
, что

Так как
, то с одной стороны имеем
откуда 
с другой имеем
откуда 
Итак, получаем, что 
Тогда с одной стороны имеем
С другой
то есть
Тогда и 
Пришли к противоречию.
в) Пусть шаг первой прогрессии –
второй член прогресии – 
Пусть шаг второй прогрессии –
второй член прогресии – 
Тогда существуют различные натуральные числа
, что

Допустим,
Тогда 
Тогда, с одной стороны, с учетом того, что
имеем
, то есть 
С другой стороны,
то есть 
Противоречие.
Пусть
То есть 
Попробуем взять 
Тогда
, то есть
и
, откуда 
Пусть, например, 
Значение
не подходит.
Возьмем
. Тогда имеем такие прогрессии:
и 
при этом
.
Ответ: a) да; б) нет; в)
.
15 задание удобнее решать методом рационализации
В 13 заданий у меня под буквой б) получается -п/2 а не -5п/2
Зря.
-пи/2 не входит в указанный отрезок…
Елена Юрьевна,Ваше решение№15 логично и понятно.Предлагают методом рационализации-как-то не очень понятно.
Владимир, мне тоже не понятно что имелось ввиду…
Здравствуйте! Можно спросить, почему в 14 номере АВ и MN лежат по одну сторону от точки О? Возможен такой вариант, когда прямая АВ будет лежать ближе к точке С, а прямая MN, как по условию, ближе к точке D?
В условии сказано: «точка C и центр основания цилиндра, в котором проведен диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.»
Здравствуйте, поможете ли мне решить аналог 17-го задания?
У меня получился ответ : 2 , вашим методом.
“Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 8 млн.”
2 – неверный ответ. Пишите, как решали – укажу, где ошибка.
У меня получилось вот такое неравенство:
0,3N+2*1,21N/2,1<8
1)Через три года на счету 1,1^2*n.
Двумя последующими выплатами кредит погашен, потому 1,1^2*n-1,1x-x=0, откуда x=(1,1^2*n):2,1 (n – кредит, x – выплата в последнее два года)
2) Все выплаты составят: 0,3n+2x или 0,3n+2*((1,1^2*n):2,1)
Тогда 0,3n+2*((1,1^2*n):2,1) <8
То есть у вас потерян квадрат у 1.2
Разве 0,3N+2*1,21N/2,1<8 и 0,3n+2*((1,1^2*n):2,1) <8 не одно и тоже?
И о каком потерянном квадрате идет речь, если я 1,1 сразу возвел в квадрат?
Да, все хорошо. Сложно читать формулы в таком нечитаемом формате – невнимательно посмотрела…
Бывает, но тогда вопрос: почему ответ не 2?
Михаил, я могла замотаться и просчитаться((( Горячая пора сейчас самая… Примите извинения что ввела в заблуждение…
Пожалуй повторюсь, бывает)
Можете пересчитать?
Получается 5.
Действительно, 5.
Спасибо большое, что объяснили, как решать)))
В 16 задаче “C-точка касания верхнего основания и окружности” – неясно почему?
Вроде, я такого не говорила… СD – диаметр, поэтому точка С – на окружности основания
Объясните, пожалуйста, gjxtve в 19 задании под буквой Б) b-q больше a-q
как все просто, спасибо большое
Вы не могли бы подсказать, как решить это неравенство:
(x+4/x)(log(6-x)(x^2-8x+16))^2>=5(log(6-x)(x^2-8x+16))^2
Ответ: (0;1]U{3}U(4;5)U(5;6)
Выносим (log_(6-x)(x^2-8x+16))^2 за скобку.
Получим: log_(6-x)(x^2-8x+16))^2(x+4/x-5)>=0
Далее неплохо было бы провести рационализацию:
((6-x-1)((x^2-8x+16)^2-1)(x^2-5x+4)):x>=0 на ОДЗ.
Пробуйте… Обращайтесь, если что…
Извините, а то что логарифм в квадрате, мы эту степень просто переводим в выражение под логарифмом или как?
А… Я не так поняла про степень двойки…..
Вот так:
Выносим (log_(6-x)(x^2-8x+16))^2 за скобку.
Получим: log_(6-x)(x^2-8x+16))^2(x+4/x-5)>=0
Далее неплохо было бы провести рационализацию:
((6-x-1)^2((x^2-8x+16)-1)^2(x^2-5x+4)):x>=0 на ОДЗ.