Тренировочная работа по математике от 27 апреля 2016

Составим пропорцию:

Откуда $x=\frac{1,4\cdot 90}{1}=126$ (руб.)

Маша получит $874$ рубля сдачи с $1000$ рублей, заплатив за покупку $126$ рублей.

Ответ: $874.$ 

Ответ: $-6.$ 

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Как видим, длина гипотенузы равна $7$.

Потому длина медианы – $3,5.$

Ответ: $3,5$. 

Рассмотрим следующие события:

А – «компьютер прослужит больше года, но меньше 2»,

В – «компьютер прослужит больше 2-х лет»,

С – «компьютер прослужит больше года».

Событие С есть сумма совместных событий А и В, то есть

$P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

Но $P(AB)=0$, так как не может одновременно произойти и А, и В.

Поэтому $0,98=P(A)+0,84.$

Откуда $P(A)=0,14.$

Ответ: $0,14.$

$(\frac{1}{2})^{x-6}=8^x;$

$(2^{-1})^{x-6}=(2^3)^x;$

$2^{6-x}=2^{3x};$

$6-x=3x;$

$x=1,5.$

Ответ: $1,5.$

Так как периметр равнобедренной трапеции ($ABCD$) равен $40,$ а основания $12$ и $18,$ то на равные боковые стороны ($AB,CD$) приходится  по $5$ единиц.

Проведем высоты $BH,CQ$.

Очевидно, $AH=QD=\frac{18-12}{2}=3.$

Тогда (например, из треугольника $ABH$, по т. Пифагора) высота $h$ равна $4$.

Тогда $S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h=\frac{12+18}{2}\cdot 4=60.$

Ответ: $60.$

Производная в точках, в которых касательная к графику $y=f(x)$ параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, равна нулю.

Точка, в которой производная $f'(x)$ равна нулю, – одна – это точка с абсциссой $-1.$

Ответ: $-1.$

Объем погруженной детали равен объему вытесненной жидкости.

Раз уровень жидкости поднялся на $3$ см (а был – $20$), то объем вытесненной жидкости составляет $\frac{3}{20}$ части объема жидкости.

Поэтому объем детали есть $\frac{3}{20}\cdot 3000,$ то есть $450$ см$^3.$

Ответ: $450.$

$\frac{(3\sqrt5-\sqrt3)^2}{16-\sqrt{60}}=\frac{45-6\sqrt{15}+3}{16-2\sqrt{15}}=\frac{6(8-\sqrt{15})}{2(8-\sqrt{15})}=3.$

Ответ: $3.$

Подставляем известные величины в формулу $t=\frac{2v_0sin\alpha}{g}$:

$2,3=\frac{2\cdot 23\cdot sin \alpha}{10};$

$2,3=2\cdot 2,3 sin \alpha;$

$1=2sin \alpha;$

$sin \alpha=\frac{1}{2};$

Так как нас интересует острый угол, то $\alpha =30^{\circ}.$

Ответ: $30.$

Совместная скорость работы первого и второго насосов – $\frac{1}{9}$ части бассейна в минуту.

Совместная скорость работы второго и третьего насосов – $\frac{1}{12}$ части бассейна в минуту.

Совместная скорость работы первого и третьего насосов – $\frac{1}{18}$ части бассейна в минуту.

Тогда совместная скорость работы двух первых, двух вторых и двух третьих насосов – $\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18},$ то есть $\frac{1}{4}$ части бассейна в минуту.

А значит, совместная скорость работы трех насосов – $\frac{1}{8}$ части бассейна в минуту.

Стало быть, три насоса заполнят бассейн, работая вместе, за $8$ минут.

Ответ: $8.$

$y’=(ln(x+4)^9-9x)’=(9ln(x+4)-9x)’=\frac{9}{x+4}-9=\frac{9-9x-36}{x+4}=-\frac{9(x+3)}{x+4}.$

$-3$ – точка максимума функции, в ней же и достигается наибольшее значение функции на отрезке $[-3,5;0].$

$y(-3)=ln(-3+4)^9-9(-3)=27.$

Ответ: $27.$

a)

$\sqrt{2}sin^2(\frac{\pi}{2}+x)=-cosx;$

Применяем формулы приведения к левой части уравнения.

$\sqrt{2}cos^2x=-cosx;$

$cosx(\sqrt2cosx+1)=0;$

$cosx=0$ или $cosx=-\frac{\sqrt2}{2};$

$x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n\in Z$ или $x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi m, m\in Z.$

б) Найдем все корни уравнения из отрезка $[-\frac{5\pi}{2};-\pi]$ при помощи тригонометрического круга.

Ответ: 

а) $\frac{\pi}{2}+\pi n, n\in Z$; $\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi m, m\in Z;$

б) $-\frac{5\pi}{2};-\frac{3\pi}{2};-\frac{5\pi}{4}.$ 

а) Проведем образующие цилиндра через точки $A$ и $B.$ Мы вполне можем обозначить соответствующие точки образующих верхнего основания за $M$ и $N$.

Во-первых, сечение $ABNM$, конечно-же, содержит $AB$. Во-вторых, полученное сечение перпендикулярно $CD$ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), ведь $CD\perp AB$ и $CD$ перпендикулярна, например, $AM,$ так как образующие прямого цилиндра перпендикулярны основаниям (а значит, и любым прямым в них).

Докажем, что $ABNM$ – прямоугольник, это и будет означать, что $AN=BM.$

Во-первых, $ABNM$ – параллелограмм в силу равенства и параллельности образующих $AM,BN.$ Во-вторых, как мы уже  говорили, образующие прямого цилиндра перпендикулярны основаниям, потому, например, $BN\perp AB.$

б) Пусть $O_1,O_2$ – центры верхнего и нижнего оснований. Пусть $T$ – середина $MN.$

Высота пирамиды  $CABNM$ (с основанием $ABNM$) – это $CT$ $(CD\perp (ABNM))$.

Треугольник $MO_1N$ также, как и треугольник $ABO_2$ – равносторонний со стороной, равной 6.

Высота равностороннего треугольника со стороной $6$, как несложно заметить, есть $3\sqrt3.$

$CT=CO_1+O_1T=6+3\sqrt3.$

Далее, $S_{ABNM}=AB\cdot BN=6\cdot 12=72.$

$V_{CABNM}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABNM}\cdot CT=\frac{1}{3}\cdot 72\cdot (6+3\sqrt3)=144+72\sqrt3.$

Ответ: б) $144+72\sqrt3.$

$\large 2^{\frac{x}{x+1}}-2^{\frac{5x+3}{x+1}}+8\leq 2^{\frac{2x}{x+1}};$

$\large 2^{\frac{x}{x+1}}-2^{\frac{2x+(3x+3)}{x+1}}+8\leq 2^{\frac{2x}{x+1}};$

$\large 2^{\frac{x}{x+1}}-2^{\frac{2x}{x+1}+3}+8\leq 2^{\frac{2x}{x+1}};$

$\large 2^{\frac{x}{x+1}}-8\cdot 2^{\frac{2x}{x+1}}+8\leq 2^{\frac{2x}{x+1}};$

$\large 9\cdot (2^{\frac{x}{x+1}})^2-2^{\frac{x}{x+1}}-8\geq 0;$

Найдя корни квадратного трехчлена (относительно $2^{\frac{x}{x+1}}$) левой части неравенства, получим:

$\large 9(2^{\frac{x}{x+1}}-1)(2^{\frac{x}{x+1}}+\frac{8}{9})\geq 0;$

Вторая скобка левой части положительна на области определения неравенства. «Откидываем» ее.

$\large 2^{\frac{x}{x+1}}\geq 1;$

$\large 2^{\frac{x}{x+1}}\geq 2^0;$

$\frac{x}{x+1}\geq 0;$

$x\in (-\infty;-1)\cup [0;+\infty).$

Ответ: $(-\infty;-1)\cup [0;+\infty).$

а) Так как $\angle A=90^{\circ},$ то $DP$ – диаметр оружности.

Треугольники $APD,CPD$ равны по гипотенузе и катету ($AD=CD$ по условию).

Пусть $\angle ADP=\angle CDP=\alpha.$

Треугольник $COD$ ($O$ – центр окружности) – равнобедренный, потому $\angle DCO=\alpha.$

$\angle PCO=90^{\circ}-\alpha.$

$C$ – точка касания верхнего основания трапеции и окружности, поэтому $OC\perp BC$. Тогда $\angle BCP=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha.$

При всем этом, вписанный угол $PCA$ опирается на дугу $AP,$ так же, как и вписанный угол $ADP,$ равный $\alpha.$ Потому и $\angle PCA=\alpha.$

Итак, $\angle BCP=\angle PCA=\alpha,$ то есть $CP$ – биссектриса угла $ACB.$

б) Используя обозначения пункта (а), можно заметить, что $\angle CAD=2\alpha$ (углы $BCA,CAD$ – накрест лежащие при параллельных прямых $BC,AD$ и секущей $AC$).

Но тогда $\Delta ACD$ – равносторонний (все углы по $2\alpha$).

Пусть $T$ – точка пересечения $PD,AC.$

Очевидно, треугольники $BCP,TCP$ равны. При этом площадь треугольника $PCT$ составляет половину площади треугольника $PCO$, который, в свою очередь, составляет половину площади треугольника $PCD$.

Итак, $S_{PBCD}=S_{PBC}+S_{PCD}=\frac{S_{PCD}}{4}+S_{PCD}=\frac{5S_{PCD}}{4}.$

$S_{APD}=S_{PCD}.$

Тогда $S_{PBCD}:S_{APD}=5:4.$

Ответ: б) $5:4.$

Пусть $n$ ($n\in N$) – размер кредита.

Первые три года заемщик выплачивает только проценты по кредиту. Каждая такая выплата составляет $0,2n$ млн. рублей.

На начало 4-го года на счету заемщика, таким образом, по-прежнему долг в $n$ млн. рублей.

Пусть в конце 4-го и 5-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы $x$.

Перед первой выплатой (к концу 4-го года) в $x$ млн. – на счету долг в размере $1,2n.$ Тогда после первой выплаты $x$  на счету остается долг в $1,2n-x.$

Перед второй выплатой (к концу 5-го года) в $x$ млн. – на счету долг в размере $1,2^2n-1,2x.$ Заемщик гасит полностью кредит, внося $x$ млн. во второй раз.

Поэтому  $1,2^2n-1,2x-x=0.$  Откуда $x=\frac{1,2^2n}{2,2}$.

Общая сумма выплат заемщика составляет $3\cdot 0,2n+2x$ млн. рублей. С учетом того, что $x=\frac{1,2^2x}{2,2}$, сумма выплат составит $3\cdot 0,2n+2\cdot \frac{1,2^2x}{2,2}$ или $0,6n+\frac{1,2^2n}{1,1}$ млн. рублей.

Нас интересует наименьший размер кредита, когда общая сумма выплат заемщика превысит $10$ млн., поэтому переходим к решению неравенства и оценке наименьшего значения $n$.

$0,6n+\frac{1,2^2n}{1,1}>10;$

$n>\frac{10}{0,6+\frac{1,2^2}{1,1}};$

$n>\frac{11}{0,66+1,44};$

$n>\frac{11}{2,1};$

$n>\frac{110}{21};$

$n>5\frac{5}{21};$

Так как $n\in N,$ то наименьшее  решение $n$ – это $6.$

Ответ: $6.$

$\begin{cases}\sqrt{(x+2)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-a)^2}=\sqrt{4+a^2},\\5y=|6-a^2|;&\end{cases}$

Первая строка системы задает отрезок с концами $(-2;0),(0;a).$

Действительно, левая часть уравнения – есть сумма расстояний от некоторой точки $(x;y)$  до точек $(-2;0),(0;a).$   При этом расстояние между  точками $(-2;0),(0;a)$  есть $\sqrt{(0-(-2))^2+(a-0)^2}=\sqrt{4+a^2}$, а в правой части уравнения как раз и стоит $\sqrt{4+a^2}$.

Вторая строка системы – семейство прямых $y=\frac{1}{5}|6-a^2|$, параллельных оси $(ox),$ располагающихся при этом не ниже оси $(ox).$

Нам остается потребовать (для того, чтобы исходная система имела бы единственное решение), чтобы значение $\frac{1}{5}|6-a^2|$ было бы не больше $a.$

$\frac{1}{5}|6-a^2|\leq a;$

Так как $a\geq 0,$ то неравенство можно переписать так

 $\frac{1}{5}|6-a^2|-|a|\leq 0$

и провести метод замены множителей

$(6-a^2-5a)(6-a^2+5a)\leq 0;$

$(a^2+5a-6)(a^2-5a-6)\leq 0;$

$(a-1)(a+6)(a-6)(a+1)\leq 0;$

$a\in [1;6].$

Ответ: $[1;6].$

Полезно также посмотреть задания №18 здесь, здесь и здесь.

а) Да, существуют. Например, вторая прогрессия – $1;2;3;4,…$. Тогда на роль первой подойдет, например, – $5;6;7;8.$

б) Допустим, что существуют такие прогрессии, для которых $\frac{a_1}{b_1},\frac{b_2}{a_2}$ и $\frac{a_4}{b_4}$ – различные натуральные числа.

Пусть шаг первой прогрессии – $d,$ второй член прогресии – $a.$

Пусть шаг второй прогрессии – $q,$ второй член прогресии – $b.$

Тогда существуют различные натуральные числа $k,l,m$, что

$\frac{a-d}{b-q}=k,\frac{b}{a}=l,\frac{a+2d}{b+2q}=m.$

Так как $k\geq 1,l\geq 1,m\geq 1$, то с одной стороны имеем

$a-d\geq b-q\geq a-q,$ откуда $d\leq q,$

с другой имеем

$a+2d\geq b+2q\geq a+2q,$ откуда $d\geq q.$

Итак, получаем, что $d=q.$

Тогда с одной стороны имеем $b\geq a.$ С другой $a-d\geq b-d,$ то есть $a\geq b.$ Тогда и $a=b.$

Пришли к противоречию.

в) Пусть шаг первой прогрессии – $d,$ второй член прогресии – $a.$

Пусть шаг второй прогрессии – $q,$ второй член прогресии – $b.$

Тогда существуют различные натуральные числа $k,l,m$, что

$\frac{a-d}{b-q}=k,\frac{b}{a}=l,\frac{a+8d}{b+8q}=m.$

Допустим, $l=1.$ Тогда $k>1, m>1.$

Тогда, с одной стороны,  с учетом того, что $b=a$ имеем

$a-d>b-q=a-q$, то есть $d<q.$

С другой стороны,

$a+8d>b+8q=a+8q,$ то есть $d>q.$

Противоречие.

Пусть  $l=2.$ То есть $a=2b.$

Попробуем взять $k=1.$

Тогда $2b-d=b-q$, то есть $b=d-q$ и $2b+8d\geq 3(b+8q)$, откуда $d>3q.$

Пусть, например, $q=1.$

Значение $d=4$ не подходит.

Возьмем $d=5$. Тогда имеем такие прогрессии:

$3;8;13;…$ и $3;4;5;…$

при этом

 $\frac{a_1}{b_1}=\frac{3}{3}=1;\frac{a_2}{b_2}=\frac{8}{4}=2;\frac{a_{10}}{b_{10}}=\frac{48}{12}=4$.

Ответ: a) да; б) нет; в) $2$.