Разбор заданий части В Т/Р по математике от 28.01.14
В1. В доме, в котором живет Женя, один подъезд. На каждом этаже по восемь квартир. Женя живет в квартире 87. На каком этаже живет Женя?
Решение:+ показать
Женя живет на 11 этаже, так как $87:8=10\frac{7}{8}$.
Ответ: 11.
В2. Для приготовления вишневого варенья на 1 кг вишни нужно 1,5 кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 16 кг вишни?
Решение: + показать
При приготовлении варенья на 16 кг вишни расходуется $16\cdot 1,5=24$ кг сахара. Следовательно, требуется купить 24 упаковки (килограммовых) сахара.
Ответ: 24.
В3. На диаграмме показано распределение выплавки меди в 11 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место занимала Папуа – Новая Гвинея, одиннадцатое место – Индия. Какое место занимал Узбекистан?
Решение: + показать
Ответ: 5.
В4. В трёх салонах сотовой связи один и тот же телефон продаётся в кредит на разных условиях. Условия даны в таблице.
Определите, в каком из салонов покупка обойдётся дороже всего (с учётом переплаты), и в ответ напишите эту наибольшую сумму в рублях.
Решение: + показать
Эпсилон:
Первоначальный взнос: $21600\cdot 0,2=4320$ + за 6 месяцев сам кредит $3600\cdot 6=21600$. Итого $4320+21600=25920$ (рублей).
Дельта:
Первоначальный взнос: $22300\cdot 0,15=3345$ + за 12 месяцев сам кредит $1860\cdot 12=22300$. Итого $3345+22300=25665$ (рублей).
Омикрон:
Первоначальный взнос: $24000\cdot 0,2=4800$ + за 12 месяцев сам кредит $1750\cdot 12=21000$. Итого $4800+21000=25800$ (рублей).
В салоне «Эпсилон» покупка обойдётся дороже всего (с учётом переплаты) и составит $25920$ рублей.
Ответ: 25920.
В5. Точки $D$, $E$, $F$ – середины сторон треугольника $ABC$. Периметр треугольника $DEF$ равен 5. Найдите периметр треугольника $ABC$.
Решение: + показать
Так как $E$ и $F$ – середины сторон $AC,\;BC$ соответственно, то $FE$ – средняя линия треугольника $ABC$.
Следовательно, по свойству средней линии $AB=2EF.$
Аналогично $BC=2FD,\;AC=2DE.$
А так как по условию периметр $DEF$ равен 5, то $EF+FD+DE=5.$
Но тогда
$P_{ABC}=AB+BC+AC=2EF+2FD+2DE=2(EF+FD+DE)=$
$=2\cdot 5=10.$
Ответ: 10.
В6. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 5 из них встречается вопрос по теории вероятностей. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теории вероятностей.
Решение: + показать
Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теории вероятностей есть $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=0,25.$
Ответ: 0,25.
В7. Найдите корень уравнения $\frac{1}{9x+2}=\frac{1}{8x-4}.$
Решение: + показать
$\frac{1}{9x+2}=\frac{1}{8x-4};$
$9x+2=8x-4;$
$x=-6.$
Ответ: -6.
В8. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 125° и 47°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Пусть, например*, $\angle A=125^{\circ}$ и $\angle B=47^{\circ}.$
Вписанный угол $A$ опирается на дугу $BCD$, а угол $C$ – на дугу $BAD$. Эти две дуги образуют собой окружность, то есть сумма градусных мер указанных дуг – 360˚. Тогда сумма вписанных углов $A$ и $C$, опирающихся на эти дуги, будет равна 180˚, ведь вписанный угол измеряется половиной градусной меры дуги, на которую опирается.
Тогда $\angle C=180^{\circ}-\angle A=180^{\circ}-125^{\circ}=55^{\circ}.$
Аналогично $\angle D=180^{\circ}-\angle B=180^{\circ}-47^{\circ}=133^{\circ}.$
Меньший из найденных углов – угол $C$, градусная мера которого 55˚.
* Заметим, данные два угла не могут быть противоположными (по вышесказанному), иначе их сумма должна была бы равняться 180°.
Ответ: 55.
В9. На рисунке изображён график производной y = f ′(x) функции f (x), определённой на интервале (−4; 8). В какой точке отрезка [−3; 1] функция f (x) принимает наименьшее значение?
Решение: + показать
На отрезке [−3; 1] $y=f'(x)$ принимает отрицательные значения (лежит ниже оси $ox$), значит на отрезке [−3; 1] функция $f(x)$ убывает.
Соответственно, наименьшее значение функции $f(x)$ на отрезке [−3; 1] будет достигаться на правом конце отрезка, то есть в точке 1.
Ответ: 1.
В10. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Решение: + показать
Многогранник, изображенный на рисунке, можно разбить, например, на 2 прямоугольных параллелепипеда так, как это показано на рисунке.
Причем, объемы $V_1,\;V_2$ у этих прямоугольных параллелепипедов равны: $V_1=V_2=2\cdot 2\cdot 3=12$ (Объем прямоугольного параллелепипеда есть произведение трех его измерений (длины, ширины и высоты)).
Тогда искомый объем есть $2\cdot 12=24.$
Ответ: 24.
В11. Найдите значение выражения $-\frac{22}{cos^234^{\circ}+cos^2124^{\circ}}.$
Решение: + показать
Ко второму слагаемому знаменателя применяем формулу приведения:
$-\frac{22}{cos^234^{\circ}+cos^2124^{\circ}}=-\frac{22}{cos^234^{\circ}+cos^2(90^{\circ}+34^{\circ})}=$
$=-\frac{22}{cos^234^{\circ}+sin^234^{\circ}}=-\frac{22}{1}=-22.$
Ответ: -22.
В12. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $pV^{1,4}=const$ , где $p$ (атм) — давление в газе, $V$ — объём газа в литрах. Изначально объём газа равен 24 л, а его давление равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде поднялось до 128 атмосфер? Ответ выразите в литрах.
Решение: + показать
Так как изначально объём газа равен 24 л, а его давление равно одной атмосфере, то $1\cdot 24^{1,4}=const.$
Тогда $p=\frac{const}{V^{1,4}}=\frac{24^{1,4}}{V^{1,4}}.$
При давление в сосуде в 128 атмосфер имеем:
$128=\frac{24^{1,4}}{V^{1,4}};$
$2^7=(\frac{24}{V})^{\frac{7}{5}};$
$2^7=((\frac{24}{V})^{\frac{1}{5}})^7;$
Тогда
$2=(\frac{24}{V})^{\frac{1}{5}};$
Возведем обе части равенства в 5-ю степень:
$2^5=\frac{24}{V};$
$32=\frac{24}{V};$
$V=\frac{24}{32};$
$V=0,75.$
Ответ: 0,75.
В13. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ – центр основания, $S$ – вершина, $SA=10,\;BD=16.$ Найдите длину отрезка $SO.$
Решение: + показать
Уточним, раз пирамида $SABCD$ правильная, то в основании лежит квадрат и вершина проецируется в центр этого квадрата, то есть в точку пересечения диагоналей.
В частности, у правильной пирамиды все боковые ребра равны между собой ($SA=SB=SC=SD$).
Рассмотрим, например, треугольник $SOB$. Он прямоугольный, так как $SO\perp (ABCD)$, а значит $SO$ перпендикулярна любой прямой плоскости $(ABCD)$, в частности, прямой $BD$.
В нем $SB=10$ и $BO=8$ (так как диагонали в квадрате равны и точкой пересечения делятся пополам).
По т. Пифагора $SO=\sqrt{10^2-8^2}=6.$
Ответ: 6.
В14. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий – за 15 минут, а первый и третий – за 24 минуты. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
Решение: + показать
Как именно заполнялась таблица?
Принимаем работу (она состоит в наполнении бассейна) за 1.
I и II трубы наполняют бассейн за 10 минут, значит их совместная скорость заполнения бассейна $\frac{1}{10}$ часть бассейна в минуту.
Аналогично II и III трубы заполняют бассейн со скоростью $\frac{1}{15}$ часть бассейна в минуту.
И скорость заполнения бассейна I и III трубами – $\frac{1}{24}.$
Складывая совместные скорости труб I, II; I, III и II, III, мы получаем удвоенную совместную скорость работы труб I, II и III.
Поэтому совместная скорость заполнения трубами I, II и III бассейна есть $(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}):2=\frac{5}{48}.$
Тогда время заполнения бассейна тремя трубами есть $\frac{1}{\frac{5}{48}}=9,6$ (мин).
Ответ: 9,6.
В15. Найдите точку максимума функции $y=-\frac{x^2+49}{x}.$
Решение: + показать
Найдем производную данной функции, пользуясь правилом дифференцирования частного двух функций:
$\color{red}(\frac{u}{v})’=\frac{u’v-uv’}{v^2}$
$y’=-\frac{2x\cdot x-(x^2+49)\cdot 1}{x^2}=-\frac{x^2-49}{x^2}=\frac{49-x^2}{x^2}=$
$=\frac{(7-x)(7+x)}{x^2}.$
Рассмотрим знаки производной функции на образовавшихся промежутках, а также укажем поведение функции.
Видим, что $x=7$ – точка максимума.
Ответ: 7.
———————————————————————————————————
Смотрите также задания C1, С2, С3, С4 Тренировочной работы от 28 января 2014 года.
Здесь найдете все варианты работы (с ответами, критериями).
Спасибо
А C5 и С6 будет? :)
Их, в принципе, не было в той работе.
На реальном ЕГЭ будут :) :) :)
Благодарю за пояснения. Теперь не стыдно работу хоть сдавать будет)))
блин спасибо большое
Решил всё кроме задачи В12. Задача сложная, я бы советовал добавить её в статью…
Похожие разобраны здесь.
Поздравляю! Хороший результат, учитывая, что в запасе еще есть время!
А как насчет части С? Когда за нее?
Я ещё на В13 завис пока :)
Финишная прямая недалеко… Если рассматривать только часть В. Как насчет С части?
С1 решу без проблем, после подготовки конечно ;) а вот остальное “тёмный лес” для меня…
С2, С3, С4 можно и нужно осилить! Время есть! Голова тоже! :D
Упс…я понял почему не решил задачу В12, я почему-то пропустил статью “Задачи В12, часть 4″…
Может, еще что-то то оказалось неохваченным?..
По В12 вроде всё ясно, осталось 4-ю часть прорешать, хотя, В12 может оказаться очень сложной задачей для того, кто не умеет думать…
«может оказаться очень сложной задачей для того, кто не умеет думать…»
Так во всем… :D .
Для некоторых задач достаточно знание формулы и интеллект не ниже уровня пятиклассника :D
Безусловно… Это, я не только про егэ. За фразу зацепилась…
Я теперь думаю нужно вернуться к задачам В5,В6 и В7 ведь их я изучал не по вашему сайту и думаю что пропустил много интересного :)
Быть может… Есть там подводные камешки… :D
Прошу прощения, не могли бы вы пояснить мне, а почему в В9 -2 не может служить ответом?
Неля, на рисунке у нас график не функции, а ее производной! На рассматриваемом отрезке знак производной – минус, что говорит об убываниии функции. Запомните, когда вам дан график производной, не обращайте внимание на «холмики» и «впадинки».
Спасибо большое за решение и объяснения) мне очень помогло) Экзамен бы еще так идеально сдать)
здравствуйте! у меня вопрос по заданию B14. откуда вы взяли 5-ку, я никак не соображу?) остальные задания мне понятны, спасибо!)
Юля, какую именно 5-ку? В числителе дроби что-ли? Так сложили три дроби аккуратненько, предварительно приведя к общему знаменателю.
Спасибо , Вы очень мне помогли