Тренировочный вариант №123 А. Ларина

а)

б) Корни уравнения из  

Ответ:

а) 

б)   

Смотрите схожую задачу здесь (№14).

а) Построим плоскость  α.

Так как параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым, то плоскость α, пересекающая плоскость по прямой пересечет плоскость (параллельную ) по прямой, параллельной .

А так как  α  имеет общую точку () с , то проводим через в плоскости прямую, параллельную

Пусть указанная прямая пересекается с прямыми и в точках и соответственно.

Пусть теперь пересекается с в точке , с – в

Плоскость α  и призма образуют сечение

Докажем, что плоскость α перпендикулярна плоскости .

Во-первых, , так как призма – прямая, во-вторых, по построению,  По признаку перпендикулярности прямой и плоскости . А поскольку – прямая плоскости  α, то по признаку перпендикулярности плоскостей  α перпендикулярна

Что и требовалось доказать.

б) 

Будем находить искомую площадь следующим образом:

где – прямоугольник (по доказанному выше ) и – равные прямоугольные треугольники, что несложно доказать.

Для вычислений нам потребуется следующие два факта:

 и .

Докажем это.

Прямая , параллельная   (а значит и ), перпендикулярна (так как и перпендикулярна ). См. рис.

В прямоугольном треугольнике по свойству катета, лежащего против угла в ,

Далее, треугольники , подобны по двум углам, коэффициент подобия –

Но тогда и , следовательно, и .

Тогда

Итак, 

Ответ:

б)

Домножаем и числитель, и знаменатель дроби на

Применяем метод замены множителей:

{}

Ответ: {}

а) Пусть катеты треугольника – и . Пусть радиусы вписанной, описанной окружностей – соответственно и .

Докажем, что

Прежде покажем, что  ( – гипотенуза).

Пусть и – точки касания вписанной окружности с катетами   и гипотенузой соответственно.

Заметим, – квадрат со стороной

По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки,

Стало быть,

Итак, или

Заметим также, что (гипотенуза треугольника – диаметр описанной окружности).

Тогда

Что и требовалось доказать.

б) Как мы уже отмечали, для треугольника радиус вписанной окружности выражается так:

Для треугольника   радиус вписанной окружности выражается так:

Для треугольника   радиус вписанной окружности выражается так:

Стало быть,

Ответ: 

б)

Пусть рабочих отправлено на первый объект, соответственно, – на второй.

Согласно условию суточная зарплата рабочих с первого объекта – со второго –

Поскольку мы заинтересованы в минимальных выплатах зарплаты, то будем исследовать функцию на наименьшее значение. Нас так же будет интересовать само значение , при котором достигается наименьшее значение функции.

Итак,  – с графической точки зрения – парабола с ветвями вверх, наименьшее значние достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины – или .

Помним о том, что – натуральное число, поэтому, округляя число , получаем следующее распределение рабочих по объектам: 5 и 19.

Сама зарплата тогда составит , то есть y.e.

Ответ:  и у.е.

Первая строка системы задает две окружности радиуса с ценрами в точках

Вторая строка системы задает серию окружностей радиуса (при ) с ценром в точке или точку (при ). Случай вырождения окружности в точку нам не интересен.

Три решения исходная система будет иметь в следующих случаях:

1) Окружность с центром и окружность с центром касаются внутреннем образом (в точке ).

2) Окружность с центром и окружность с центром касаются внешним образом (в точке ).

Очевидно, см. рис., в первом случае радиус окружности с ценром есть (). Откуда

Во втором случае радиус окружности с ценром есть (). Откуда

Ответ: