Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы
13. Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Укажите его корни из отрезка ![Rendered by QuickLaTeX.com [-7;-3].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eb5317c6d39a552638254e70d9c4081c_l3.svg)
Решение: + показать
а)









б) Корни уравнения из


Ответ:
а) 
б)
14. Дана правильная шестиугольная призма
. Через точки
проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна плоскости
.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α , если известно, что
.
Решение: + показать
Смотрите схожую задачу здесь (№14).
а) Построим плоскость α.

Так как параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым, то плоскость α, пересекающая плоскость
по прямой
пересечет плоскость
(параллельную
) по прямой, параллельной
.
А так как α имеет общую точку (
) с
, то проводим через
в плоскости
прямую, параллельную 
Пусть указанная прямая пересекается с прямыми
и
в точках
и
соответственно.
Пусть теперь
пересекается с
в точке
, с
– в 
Плоскость α и призма образуют сечение 
Докажем, что плоскость α перпендикулярна плоскости
.
Во-первых,
, так как призма – прямая, во-вторых, по построению,
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости
. А поскольку
– прямая плоскости α, то по признаку перпендикулярности плоскостей α перпендикулярна 
Что и требовалось доказать.
б)
Будем находить искомую площадь следующим образом:

где
– прямоугольник (по доказанному выше
) и
– равные прямоугольные треугольники, что несложно доказать.
Для вычислений нам потребуется следующие два факта:
и
.
Докажем это.
Прямая
, параллельная
(а значит и
), перпендикулярна
(так как и
перпендикулярна
). См. рис.

В прямоугольном треугольнике
по свойству катета, лежащего против угла в
, 
Далее, треугольники
,
подобны по двум углам, коэффициент подобия – 
Но тогда и
, следовательно, и
.
Тогда 

Итак, 
Ответ:
б) 
15. Решите неравенство:
.
Решение: + показать
16. а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин диаметров вписанной и описанной окружностей равна сумме длин катетов.
б) В прямоугольном треугольнике
из вершины прямого угла проведена высота
. Найдите сумму длин радиусов окружностей, вписанных в треугольники
,
и
, если известно, что
.
Решение: + показать
а) Пусть катеты треугольника –
и
. Пусть радиусы вписанной, описанной окружностей – соответственно
и
.
Докажем, что 

Прежде покажем, что
(
– гипотенуза).
Пусть
и
– точки касания вписанной окружности с катетами
и гипотенузой
соответственно.

Заметим,
– квадрат со стороной 
По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, 
Стало быть, 
Итак,
или 
Заметим также, что
(гипотенуза треугольника – диаметр описанной окружности).
Тогда 
Что и требовалось доказать.
б) Как мы уже отмечали, для треугольника
радиус
вписанной окружности выражается так:


Для треугольника
радиус
вписанной окружности выражается так:

Для треугольника
радиус
вписанной окружности выражается так:

Стало быть, 
Ответ:
б) 
17. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе
человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает
человек, то их суточная зарплата составляет
у.е. Если на втором объекте работает
человек, то их суточная зарплата составляет
у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?
Решение: + показать
Пусть
рабочих отправлено на первый объект, соответственно,
– на второй.
Согласно условию суточная зарплата рабочих с первого объекта –
со второго – 
Поскольку мы заинтересованы в минимальных выплатах зарплаты, то будем исследовать функцию
на наименьшее значение. Нас так же будет интересовать само значение
, при котором достигается наименьшее значение функции.
Итак,
– с графической точки зрения – парабола с ветвями вверх, наименьшее значние достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины –
или
.
Помним о том, что
– натуральное число, поэтому, округляя число
, получаем следующее распределение рабочих по объектам: 5 и 19.
Сама зарплата тогда составит
, то есть
y.e.
Ответ:
и
у.е.
18. Найдите все значения
, при каждом из которых система

имеет ровно три решения.
Решение: + показать
замечательная задача, доступная для понимания детей, спасибо.