Тренировочный вариант №123 А. Ларина

Елена Репина 2015-09-24 2023-07-05

Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы

13. Дано уравнение $cos3\pi x+sin\frac{3\pi(x+1)}{2}=4(cos\frac{3\pi x}{2}-1).$

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка $[-7;-3].$

Решение: + показать

14. Дана правильная шестиугольная призма [latexpage]$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Через точки $B,D_1,F_1$ проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна плоскости $DCC_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α , если известно, что $AB=1,$ $AA_1=3$.

Решение: + показать

Смотрите схожую задачу здесь (№14).

а) Построим плоскость α.

Так как параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым, то плоскость α, пересекающая плоскость $A_1B_1C_1$ по прямой $D_1F_1,$ пересечет плоскость $ABC$ (параллельную $(A_1B_1C_1)$) по прямой, параллельной $D_1F_1$.

А так как α имеет общую точку ($B$) с $(ABC)$, то проводим через $B$ в плоскости $ABC$ прямую, параллельную $D_1F_1.$

Пусть указанная прямая пересекается с прямыми $DC$ и $AF$ в точках $Q$ и $P$ соответственно.

Пусть теперь $QD_1$ пересекается с $CC_1$ в точке $N$, с $AA_1$ – в $M.$

Плоскость α и призма образуют сечение $BMF_1D_1N.$

Докажем, что плоскость α перпендикулярна плоскости $DCC_1$.

Во-первых, $PQ\perp CC_1$, так как призма – прямая, во-вторых, по построению, $PQ\perp CD.$ По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $PQ\perp DCC_1$. А поскольку $PQ$ – прямая плоскости α, то по признаку перпендикулярности плоскостей α перпендикулярна $DCC_1.$

Что и требовалось доказать.

б)

Будем находить искомую площадь следующим образом:

$S_{BMF_1D_1N}=S_{F_1D_1QP}-S_{BNQ}-S_{PMB},$

где $F_1D_1QP$ – прямоугольник (по доказанному выше $PQ\perp DCC_1$) и $BNQ,$ $PMB$ – равные прямоугольные треугольники, что несложно доказать.

Для вычислений нам потребуется следующие два факта:

$AP:PF=1:3$ и $AM:AA_1=1:3$.

Докажем это.

Прямая $PB$, параллельная $F_1D_1$ (а значит и $FD$), перпендикулярна $AF$ (так как и $FD$ перпендикулярна $AF$). См. рис.

В прямоугольном треугольнике $ABP$ по свойству катета, лежащего против угла в $30^{\circ}$, $AP=\frac{1}{2}AB.$

Далее, треугольники $AMP$, $FF_1P$ подобны по двум углам, коэффициент подобия – $AP:PF=1:3.$

Но тогда и $AM:FF_1=1:3$, следовательно, и $AM:AA_1=1:3$.

Тогда $S_{F_1D_1QP}=PQ\cdot PF_1=PQ \cdot \sqrt{PF^2+FF_1^2}=\sqrt3\cdot \sqrt{(\frac{3}{2})^2+9}=\frac{3\sqrt{15}}{2}.$

$S_{PMB}=\frac{PM\cdot PB}{2}=\frac{\sqrt{MA^2+AP^2}\cdot PB}{2}=\frac{\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{2}=\frac{\sqrt{15}}{8}.$

Итак, $S_{F_1D_1QP}=\frac{3\sqrt{15}}{2}-\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{5\sqrt{15}}{4}.$

Ответ:

б) $\frac{5\sqrt{15}}{4}.$

15. Решите неравенство: $\frac{7-71\cdot 3^{-x}}{3^x+10\cdot 3^{-x}-11}\leq 1$.

Решение: + показать

16. а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин диаметров вписанной и описанной окружностей равна сумме длин катетов.
б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла проведена высота $CH$. Найдите сумму длин радиусов окружностей, вписанных в треугольники $ABC$, $ACH$ и $BCH$, если известно, что $CH=\sqrt5$.

Решение: + показать

17. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе $24$ человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает $t$ человек, то их суточная зарплата составляет $4t^2$ у.е. Если на втором объекте работает $t$ человек, то их суточная зарплата составляет $t^2$ у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Решение: + показать