Тренировочный вариант №138 А. Ларина

a)

Умножим обе части равенства на

Заметим, .

По теореме Виета

или

Откуда или  

б) Произведем отбор корней уравнения из

1) Так как

и

,

то

2) Сравним и

Заметим, что для любых и справедливо:  .

Тогда

Итак, , то есть , а значит, не входит в отрезок

Ответ:

а)

б)

a) Пусть радиус шара –  Тогда, согласно условию, высота конуса – .

Поскольку конус равносторонний (то есть осевое сечение конуса – правильный треугольник), то диаметр основания есть   (использовали тот факт, что сторона правильного треугольника с высотой  есть ).

Имеем

Итак,

Что и требовалось доказать.

б) 

Рассмотрим осевое сечение конуса .

Пусть – высота конуса, пусть – пересечение указанного осевого сечения и шара. Пусть – центр шара ( – середина ).

Так как , то  По свойству катета, лежащего напротив угла в ,  

Тогда

Назовем плоскость, по которой пересекаются поверхность шара и конус, за

Объем той части конуса, что лежит внутри шара, складывается из объемов двух тел:

1) конуса, получаемого срезом исходного конуса плоскостью

2) малого шарового сегмента, отсекаемого от шара плоскостью 

Заметим при этом, что конус, получаемый срезом исходного конуса плоскостью , подобен исходному с коэффициентом подобия Значит, объем его есть  исходного.

Вспомним также формулу вычисления объема шарового сегмента (см. также здесь), которую несложно вывести:

Итак,

Объем же той части шара, что лежит вне конуса есть .

.

Итак,

Ответ: б)

Заметим,

Домножим обе части неравенства на

1) При   последнее неравенство выполняется.

2) Рассмотрим случай .

Возведем в квадрат обе части неравенства.

С учетом того, что   имеем:

Итак, объединяя решения случаев (1) и (2), получаем следующее:

Ответ:

a) Пусть точки – точки касания окружности, вписанной в треугольник , со сторонами соответственно.

Пусть точки – точки касания окружности, вписанной в треугольник , со сторонами соответственно.

При решении будем использовать тот факт, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Также, не забудем использовать, что

Рассмотрим случай, когда .

Итак, то есть

В случае, когда , аналогичным образом получим:

Итак, в общем случае имеем: .

Что и требовалось доказать.

б) Пусть – радиусы окружностей соответственно.

Пусть – центр вписанной в  треугольник окружности, – точка касания указанной окружности с основанием . Пусть – центры вписанных окружностей соответственно.

Заметим, центр вписанной в треугольник окружности лежит на биссектрисах углов треугольника.

Очевидно, и (как радиус вписанной окружности в ).

Пусть

Из треугольника :

Согласно пункту (a) задачи

Пусть . Тогда Стало быть,

Из треугольников

Откуда

Итак,

Ответ: б) .

Пусть имеется по объему меда и – дегтя.

Этап 1.

Пусть шутник  взял дегтя из второй банки (с дегтем) и добавил ее в банку с медом (первую), перемешал.

Во второй банке

дегтя, меда.

В первой банке

смеси –

вес дегтя – , вес меда –

доля дегтя – , доля меда –

Этап 2.

Шутник  взял  смеси из первой банки и добавил ее во вторую банку, перемешал.

В смеси от первой банки

вес дегтя – , вес меда –

В первой банке

смеси –

вес дегтя – (или ), вес меда – (или )

Во второй банке

смеси –

вес дегтя – (или ), вес меда –

доля дегтя – , доля меда –

Этап 3.

Шутник  взял  смеси из второй банки и добавил ее в первую банку, перемешал.

В смеси от второй банки

 вес дегтя – , вес меда –

Во второй банке

смеси –

вес дегтя – (или ), вес меда –  (или )

В первой банке

смеси –

вес дегтя – (или ), вес меда – (или )

доля дегтя – , доля меда –

Этап 4.

Шутник  взял  смеси из первой банки и добавил ее во вторую банку, перемешал.

В смеси от первой банки

 вес дегтя – , вес меда –

В первой банке

смеси –

вес дегтя – (или )

доля дегтя –

Во второй банке

смеси –

вес меда –  (или )

доля меда –

Итак, после манипуляций шутника доли меда в дегте и дегтя в меде оказались равными.

Ответ: дегтя в меде и меда в дегте оказалось поровну.

Из второй строки системы выражаем и подставляем в первую.

Рассмотрим сначала случай   , то есть работаем в первой четверти координатной плоскости.

Уравнение  задает отрезок с концами

Действительно, левая часть уравнения – есть сумма расстояний от некоторой точки  до точек   При этом расстояние между  точками  равно , а в правой части уравнения как раз и стоит .

Работая во второй четверти, получим отрезок с концами

И так далее.

То есть уравнение задает ромб (см. рис).

Уравнение же задает семейство парабол с вершиной

За прохождение параболы   через точку (или отвечает

За прохождение параболы   через точку  отвечает

За касание параболы с прямой (или ) отвечает

Действительно,

 для  , если

Итак, исходная система имеет ровно четыре решения, если

{}.

(на рисунке красным цветом выделены зоны, располагаясь в которых, парабола будет иметь четыре пересечения с ромбом; пунктиром отмечены «открытые» границы)

Ответ: {}.