Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы
13. Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку![Rendered by QuickLaTeX.com [log_{2017}2016;log_{2016}2017].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-694171569c0f19bc76e9cf9015f0267c_l3.svg)
Решение: + показать
a)

Умножим обе части равенства на 


Заметим,
.
По теореме Виета
или 
Откуда
или 
б) Произведем отбор корней уравнения из![Rendered by QuickLaTeX.com [log_{2017}2016;log_{2016}2017].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-694171569c0f19bc76e9cf9015f0267c_l3.svg)
1) Так как

и
,
то
![Rendered by QuickLaTeX.com 1\in [log_{2017}2016;log_{2016}2017].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1d04eecc6faa58a4936b6faf6fb123f8_l3.svg)
2) Сравним
и 

Заметим, что для любых
и
справедливо:
.
Тогда



Итак,
, то есть
, а значит,
не входит в отрезок ![Rendered by QuickLaTeX.com [log_{2017}2016;log_{2016}2017].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-694171569c0f19bc76e9cf9015f0267c_l3.svg)
Ответ:
а) 
б) 
14. На высоте равностороннего конуса как на диаметре построен шар.
а) Докажите, что полная поверхность конуса равновелика поверхности шара.
б) Найдите отношение объема той части конуса, которая лежит внутри шара, к объему той части шара, которая лежит вне конуса.
Решение: + показать
a) Пусть радиус шара –
Тогда, согласно условию, высота конуса –
.
Поскольку конус равносторонний (то есть осевое сечение конуса – правильный треугольник), то диаметр
основания есть
(использовали тот факт, что сторона правильного треугольника с высотой
есть
).
Имеем


Итак, 
Что и требовалось доказать.

б)
Рассмотрим осевое сечение конуса
.
Пусть
– высота конуса, пусть
– пересечение указанного осевого сечения и шара. Пусть
– центр шара (
– середина
).
Так как
, то
По свойству катета, лежащего напротив угла в
, 
Тогда 
Назовем плоскость, по которой пересекаются поверхность шара и конус, за 
Объем
той части конуса, что лежит внутри шара, складывается из объемов двух тел:
1) конуса, получаемого срезом исходного конуса плоскостью 
2) малого шарового сегмента, отсекаемого от шара плоскостью 
Заметим при этом, что конус, получаемый срезом исходного конуса плоскостью
, подобен исходному с коэффициентом подобия
Значит, объем его есть
исходного.
Вспомним также формулу вычисления объема шарового сегмента (см. также здесь), которую несложно вывести:


Итак,

Объем же
той части шара, что лежит вне конуса есть
.
.
Итак, 
Ответ: б) 
15. Решите неравенство: 
Решение: + показать

Заметим, 
Домножим обе части неравенства на 




1) При
последнее неравенство выполняется.
2) Рассмотрим случай
.
Возведем в квадрат обе части неравенства.



![Rendered by QuickLaTeX.com x\in [-\frac{3}{4};\frac{3}{4}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bbb1982f5d0b49955d0547a55666f9c3_l3.svg)
С учетом того, что
имеем: 
Итак, объединяя решения случаев (1) и (2), получаем следующее:

Ответ: 
16. На основании
равнобедренного треугольника
взята точка
. Окружности
и
, вписанные в треугольники
и
, касаются прямой
в точках
и
соответственно.
а) Докажите, что
.
б) Определите, на сколько радиус окружности
больше радиуса окружности
, если известно, что
, а радиус вписанной в треугольник
окружности равен
.
Решение: + показать
a) Пусть точки
– точки касания окружности, вписанной в треугольник
, со сторонами
соответственно.
Пусть точки
– точки касания окружности, вписанной в треугольник
, со сторонами
соответственно.

При решении будем использовать тот факт, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Также, не забудем использовать, что 
Рассмотрим случай, когда
.



Итак,
то есть 
В случае, когда
, аналогичным образом получим: 
Итак, в общем случае имеем:
.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть
– радиусы окружностей
соответственно.
Пусть
– центр вписанной в треугольник
окружности,
– точка касания указанной окружности с основанием
. Пусть
– центры вписанных окружностей
соответственно.
Заметим, центр вписанной в треугольник окружности лежит на биссектрисах углов треугольника.
Очевидно,
и
(как радиус вписанной окружности в
).
Пусть 

Из треугольника
:

Согласно пункту (a) задачи 
Пусть
. Тогда
Стало быть, 

Из треугольников 

Откуда

Итак,

Ответ: б)
.
17. Имеется две одинаковых по объёму банки: первая с мёдом, а вторая с дёгтем. Шутник взял ложку дёгтя из второй банки и добавил её в банку с мёдом. Перемешав содержимое в первой банке, шутник перелил такую же ложку смеси во вторую банку. Потом он проделал всё это ещё раз: из второй банки перелил ложку полученной смеси в первую, после чего из первой банки перелил ложку новой смеси во вторую. Определите, чего оказалось больше: дегтя в мёде или мёда в дёгте?
Решение: + показать
Пусть имеется
по объему меда и
– дегтя.
Этап 1.
Пусть шутник взял
дегтя из второй банки (с дегтем) и добавил ее в банку с медом (первую), перемешал.
Во второй банке
дегтя,
меда.
В первой банке
смеси – 
вес дегтя –
, вес меда – 
доля дегтя –
, доля меда – 
Этап 2.
Шутник взял
смеси из первой банки и добавил ее во вторую банку, перемешал.
В
смеси от первой банки
вес дегтя –
, вес меда – 
В первой банке
смеси – 
вес дегтя –
(или
), вес меда –
(или
)
Во второй банке
смеси – 
вес дегтя –
(или
), вес меда – 
доля дегтя –
, доля меда – 
Этап 3.
Шутник взял
смеси из второй банки и добавил ее в первую банку, перемешал.
В
смеси от второй банки
вес дегтя –
, вес меда – 
Во второй банке
смеси – 
вес дегтя –
(или
), вес меда –
(или
)
В первой банке
смеси – 
вес дегтя –
(или
), вес меда –
(или
)
доля дегтя –
, доля меда – 
Этап 4.
Шутник взял
смеси из первой банки и добавил ее во вторую банку, перемешал.
В
смеси от первой банки
вес дегтя –
, вес меда – 
В первой банке
смеси – 
вес дегтя –
(или
)
доля дегтя – 
Во второй банке
смеси – 
вес меда –
(или
)
доля меда – 
Итак, после манипуляций шутника доли меда в дегте и дегтя в меде оказались равными.
Ответ: дегтя в меде и меда в дегте оказалось поровну.
18. Найдите все значения параметра
, прри каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре решения.
Решение: + показать

Из второй строки системы выражаем
и подставляем в первую.


Рассмотрим сначала случай
, то есть работаем в первой четверти координатной плоскости.
Уравнение
задает отрезок с концами 
Действительно, левая часть уравнения – есть сумма расстояний от некоторой точки
до точек
При этом расстояние между точками
равно
, а в правой части уравнения как раз и стоит
.
Работая во второй четверти, получим отрезок с концами 
И так далее.
То есть уравнение
задает ромб (см. рис).

Уравнение же
задает семейство парабол с вершиной 
За прохождение параболы
через точку
(или
отвечает 
За прохождение параболы
через точку
отвечает 
За касание параболы с прямой
(или
) отвечает 
Действительно,
для
, если 
Итак, исходная система имеет ровно четыре решения, если
{
}.
(на рисунке красным цветом выделены зоны, располагаясь в которых, парабола будет иметь четыре пересечения с ромбом; пунктиром отмечены «открытые» границы)
Ответ:
{
}.
задание 13 разве не требуется строгое неравенство?
Екатерина, не поняла вопроса… Вы имеете ввиду, – при отборе корней из указанного отрезка?
В случае открытого интервала, были бы строгие неравенства…