Тренировочный вариант №150 А. Ларина

a)

или

б) Произведем отбор корней уравнения, из отрезка при помощи тригонометрического круга.

Ответ:

а) ,  

б)

a) Пусть пересекается с в точке . Точки и лежат в плоскости грани Пусть пересекается с в точке .

Четырехугольник – сечение пирамиды плоскостью

б) Пусть

Заметим, что тогда и в силу подобия треугольников Заметим также, что

Обозначим

По теореме Менелая ():

Пусть высота пирамиды – основание –

Тогда

Поскольку, как мы говорили, , то откуда и .

Далее,

Стало быть,

По условию объемы пирамид и относятся, как , поэтому

Ответ:

Применяем к неравенству метод замены множителей, помня о равносильности перехода.

Так как то Нам это потребуется для решения методом рационализации.

Ответ:

а) Пусть – произвольная точка малой окружности. –  точка малой окружности, диаметрально противоположная точке . Пусть

Пусть тогда

Применим теорему косинусов к треугольнику

 (1)

Применим теорему косинусов к треугольнику

 (2)

(1)+(2):

Итак, сумма квадратов расстояний от произвольной точки большей окружности до концов диаметра (произвольного) меньшей окружности есть удвоенная сумма квадратов радиусов окружностей, то есть величина постоянная, не зависит ни от выбора точки , ни от выбора диаметра.

Что и требовалось доказать.

б) 

При этом по теореме косинусов для треугольника

Используя то, что , то есть (пункт а), получаем:

Откуда

Итак,

Ответ: б)

Пусть в одной бригаде   рабочих заняты изготовлением деталей типа A, во второй тогда   рабочиx заняты изготовлением детелей типа В.

Пусть скорость изготовления одной детали типа A –  деталей в час. Тогда скорость изготовления детали B – деталей в час.

Рабочие первой бригады затратят тогда на изготовление заказа  часов. А рабочие второй бригады выполнят заказ за часов.

Мы заинтересованы в том, чтобы разница между и была бы минимальна.

А это будет в случае

Так как то придется округлить .

Если то

Если то

Сравним и

Итак, нас устраивает вариант, когда в одной бригаде на производстве деталей типа А будет работать   человека, а во второй, на изготовлении деталей типа В –  человек.

Ответ: А: ; В:

Как видно из рассуждений выше, графиком уравнения является объединение линий, помеченных синим цветом на рисунке.

График – семейство параллельных прямых, имеющих тангенс угла наклона к оси ,  

На рисунке бледно красным цветом помечена зона возможного расположения прямых , когда мы будем иметь одно или два решения исходной системы. Пунктиром помечены границы зоны, не входящие в решение.

Для нахождения значений , задающих границы зоны, что выделена на рисунке бледно красным цветом, нам потребуются координаты точек и (см. рис.) ( –  точка касания прямой и окружности , при этом ).

Очевидно, координаты точек таковы:

Найдем координаты точки Для чего потребуем, чтобы дискриминант для

был бы нулевым.

<=>  

<=>

<=>

<=> или

Как мы уже отмечали, в данном случае нам следует взять отрицательное .

Подставляя поочередно координаты точек в уравнение , находим соответствующие значения

->

->

->

Итак, искомые значения таковы:

Ответ: