Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы
13. Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ![Rendered by QuickLaTeX.com [-\frac{13\pi}{6};-\frac{\pi}{2}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1cbfbc269f4a0bdbed2beab9c0552e73_l3.svg)
Решение: + показать
a)






или 
б) Произведем отбор корней уравнения, из отрезка
при помощи тригонометрического круга.


Ответ:
а)
, 
б) 
14. Основанием пирамиды
является трапеция
, у которой
. На ребре
выбрана точка
так, что
. Плоскость, проходящая через точки
и
, пересекает ребро
в точке
. Известно, что объемы пирамид
и
относятся, как
.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью
.
б) Найдите отношение длин оснований трапеции
.
Решение: + показать
15. Решите неравенство 
Решение: + показать




Применяем к неравенству метод замены множителей, помня о равносильности перехода.

Так как
то
Нам это потребуется для решения методом рационализации.







Ответ: 
16. Две окружности имеют общий центр
. На окружности большего радиуса выбрана точка
.
а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки
до концов диаметра меньшей окружности не зависит ни от выбора точки
, ни от выбора диаметра.
б) Известно, что радиусы окружностей равны
и
. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются концы диаметра меньшей окружности и точка
, тангенс угла
этого треугольника равен 
Решение: + показать
а) Пусть
– произвольная точка малой окружности.
– точка малой окружности, диаметрально противоположная точке
. Пусть 
Пусть
тогда 
Применим теорему косинусов к треугольнику 
(1)
Применим теорему косинусов к треугольнику 

(2)

(1)+(2):



Итак, сумма квадратов расстояний от произвольной точки
большей окружности до концов диаметра (произвольного) меньшей окружности есть удвоенная сумма квадратов радиусов окружностей, то есть величина постоянная, не зависит ни от выбора точки
, ни от выбора диаметра.
Что и требовалось доказать.
б)

При этом по теореме косинусов для треугольника 

Используя то, что
, то есть
(пункт а), получаем:

Откуда


Итак, 
Ответ: б) 
17. Цех получил заказ на изготовление
деталей типа А и
деталей типа Б. Каждый из
рабочих цеха затрачивает на изготовление одной детали типа А время, закоторое он мог бы изготовить
детали типа Б. Каким образом следует разделить рабочих цеха на две бригады, чтобы выполнить заказ за наименьшее время, при условии, что обе бригады приступят к работе одновременно, и каждая из бригад будет занята изготовлением деталей только одного типа?
Решение: + показать
Пусть в одной бригаде
рабочих заняты изготовлением деталей типа A, во второй тогда
рабочиx заняты изготовлением детелей типа В.
Пусть скорость изготовления одной детали типа A –
деталей в час. Тогда скорость изготовления детали B –
деталей в час.
Рабочие первой бригады затратят тогда на изготовление заказа
часов. А рабочие второй бригады выполнят заказ за
часов.
Мы заинтересованы в том, чтобы разница между
и
была бы минимальна.
А это будет в случае





Так как
то придется округлить
.
Если
то


Если
то

Сравним
и 


Итак, нас устраивает вариант, когда в одной бригаде на производстве деталей типа А будет работать
человека, а во второй, на изготовлении деталей типа В –
человек.
Ответ: А:
; В: 
18. Найдите все значения
, при которых система

имеет ровно один или два корня.
Решение: + показать





Как видно из рассуждений выше, графиком уравнения
является объединение линий, помеченных синим цветом на рисунке.
График
– семейство параллельных прямых, имеющих тангенс угла наклона к оси
, 

На рисунке бледно красным цветом помечена зона возможного расположения прямых
, когда мы будем иметь одно или два решения исходной системы. Пунктиром помечены границы зоны, не входящие в решение.
Для нахождения значений
, задающих границы зоны, что выделена на рисунке бледно красным цветом, нам потребуются координаты точек
и
(см. рис.) (
– точка касания прямой
и окружности
, при этом
).
Очевидно, координаты точек
таковы:

Найдем координаты точки
Для чего потребуем, чтобы дискриминант для

был бы нулевым.





<=> 
<=> 
<=> 
<=>
или 
Как мы уже отмечали, в данном случае нам следует взять отрицательное
.
Подставляя поочередно координаты точек
в уравнение
, находим соответствующие значения 
-> 
-> 
-> 
Итак, искомые значения
таковы:
![Rendered by QuickLaTeX.com a\in (-\infty;-10)\cup(-9;-2]\cup[3;+\infty).](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6fd292ac52b14640ad9b216617e40ac2_l3.svg)
Ответ: ![Rendered by QuickLaTeX.com (-\infty;-10)\cup(-9;-2]\cup[3;+\infty).](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2d878721cb258fa51790b57564ba253_l3.svg)
Елена Юрьевна! Очередная БЛАГОДАРНОСТЬ и преклонение перед вашим математическим талантом и доступность изложения решений! Будьте здоровы и счастливы!
Спасибо!
Вогнали в краску)
А что такое “вогнали в краску”?! Фразеологизм?)
да)
Спасибо большое за Ваш труд!
Можно решить № 15 проще,если после вынесения одной второй перед знаком первого логарифма умножить обе части на два. Потом убрать множитель два в показатель во втором логарифме и заменить сумму логарифмов логарифмом произведения
спасибо огромное за решение задачи с параметром! Решал её сам точно также, попалась она в книжечке Ященко за 2017 год 50 вариантов, вариант 42. Но в ответ почему-то не включён первый интервал (- бесконечность; -10) Голову сломал почему бы это он может не подходить.. Значит мораль не доверять ответам, а доверять логичному прозрачному решению, даже в задачках с параметром..