01. Прямоугольный треугольник. Вычисление углов и длин

Найдем второй катет по теореме Пифагора:

$\sqrt{40^2-24^2}=\sqrt{(40-24)(40+24)}=\sqrt{16\cdot 64}=4\cdot 8=32.$

Тогда

$S=\frac{24\cdot 32}{2}=384.$

Ответ: $384.$ 

Пусть меньший из катетов равен $x,$ тогда второй катет равен $(x+3).$

Согласно условию

$\frac{x(x+3)}{2}=104;$

$x^2+3x-208=0;$

$x=\frac{-3+29}{2};$

$x=13.$

Ответ: $13.$ 

Пусть больший острый угол треугольника равен $x.$ Тогда меньший острый угол равен $(x-6).$

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ},$ то

$x+x-6=90;$

$2x=96;$

$x=48.$

Ответ: $48.$ 

Пусть меньший острый угол равен $x,$ тогда больший – $\frac{41x}{4}.$

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ},$ то

$x+\frac{41x}{4}=90;$

$\frac{45x}{4}=90;$

$x=8.$

Откуда больший угол – есть  $90^{\circ}-8^{\circ}=82^{\circ}.$

Ответ: $82.$ 

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине ($CD=AD=BD$). Поэтому треугольник $ACD$ –  равнобедренный.

Тогда $\angle ACD=\angle A=39^{\circ},$ откуда

$\angle BCD=90^{\circ}-39^{\circ}=51^{\circ}.$

Ответ: $51.$ 

Пусть $AD,CE$ – биссектрисы острого и прямого углов.

$\angle CAD=10^{\circ}, \angle ACE=45^{\circ}.$

$\angle AOE=\angle CAD+\angle ACE=10^{\circ}+45^{\circ}=55^{\circ}$

(по свойству внешнего угла треугольника)

Ответ: $55.$ 

Пусть $AD, BE$ – биссектрисы острых углов треугольника.

Имеем

$\angle A+\angle B=90^{\circ}.$

Домножим обе части равенства на $\frac{1}{2}:$

$\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle B}{2}=45^{\circ};$

$\angle DAB+\angle ABE=45^{\circ}.$

$\angle AOE=\angle DAB+\angle ABE=45^{\circ}$

(по свойству внешнего угла треугольника)

Ответ: $45.$ 

Так как $CD$ – биссектриса угла $C$, то $\angle BCD=\angle ACD=45^{\circ}.$

А так как по условию $\angle DCH=21^{\circ},$ то  $\angle ACH=\angle ACD+\angle DCH=45^{\circ}+21^{\circ}=66^{\circ}.$

Значит,  в прямоугольном треугольнике $ACH$

 $\angle A=90^{\circ}-66^{\circ}=24^{\circ}.$

Угол $A$ и есть меньший угол данного прямоугольного треугольника.

Ответ: $24.$ 

Заметим, треугольник $ABC$ –  прямоугольный ($\angle C=90^{\circ}$).

Обратите внимание на эту задачу. Она может оказаться  сложной, если не знать одного очень важного свойства медианы, проведенной к гипотенузе

А именно:

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Значит, треугольники $ACD$ и $BCD$ – равнобедренные.

В частности,

$\angle ACD=\angle CAD=14^{\circ}.$

Далее, из треугольника $BCH$

$\angle BCH=90^{\circ}-\angle CBH=14^{\circ}.$

Наконец,

$\angle DCH=90^{\circ}-\angle ACD-\angle BCH=90^{\circ}-14^{\circ}-14^{\circ}=62^{\circ}.$

Ответ: $62.$ 

Заметим, треугольник $ABC$ –  прямоугольный ($\angle C=90^{\circ}$).

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Значит, треугольники $ACM$ и $BCM$ – равнобедренные.

В частности,

$\angle ACM=\angle CAM=12^{\circ}.$

Далее, так как $CD$ – биссектриса угла $C$, то

$\angle BCD=\angle ACD=45^{\circ}.$

Итак,

$\angle MCD=\angle ACD-\angle ACM=45^{\circ}-12^{\circ}=33^{\circ}.$

Ответ: $33.$