Тригонометрическое уравнение. Из пробного экзамена в МГУ в 2013г.

2023-08-07

Вы можете и не поступать в МГУ :), но решение такого рода уравнений – хорошая подготовка к части С ЕГЭ по математике.

Также смотрите остальные задания  из этого же пробника здесь: №1, №3№4№5, №6, №7, №8


Решить уравнение: $\sin^3x+1-\cos^4x=0.$


Решение: 

В последних двух слагаемых видим «разность квадратов»:

$\sin^3x+(1-\cos^2x)(1+\cos^2x)=0.$

Поскольку  $1-\cos^2x=\sin^2x$, то имеем:

$\sin^3x+\sin^2x(1+\cos^2x)=0$

Выносим за скобку $\sin^2x$:

$\sin^2x(\sin x+1+\cos^2x)=0$

$\sin^2x(\sin x+1+(1-\sin^2x))=0$

Вторую скобку  домножим на -1:

$\sin^2x(\sin^2 x-\sin x-2))=0$

$\left[\begin{array}{rcl}sin x=0,\\sin x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2};\end{array}\right.$

Второй корень (2) из второго уравнения совокупности, конечно, отпадает, так как $\sin x\in[-1;1]$:

$\left[\begin{array}{rcl}sin x=0,\\sin x =-1;\end{array}\right.$

78

$x=\pi n,\;n\in Z$,   $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in Z$

Ответ: $\pi n,\;-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\;n,\:k\in Z$

Печать страницы
комментария 2
  1. Максим

    Здравствуйте, Елена Юрьевна! помогите доказать тождество:
    4cos^4x-2cos2x-1/2cos4x=3/2.
    И решить уравнение:
    Sin^4xcos^2x-cos^4xsin^2x=cos2x.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      1) [latexpage]$4cos^4x-2cos2x-0,5cos4x=1,5;$
      $8cos^4x-4cos2x-cos4x=3;$
      $8cos^4x-4(2cos^2x-1)-(2cos^22x-1)=3;$
      $8cos^4x-8cos^2x+4-2(2cos^2x-1)^2+1=3;$
      $8cos^4x-8cos^2x+4-8cos^4x+8cos^2x-2+1=3;$
      $3=3;$
      2) $sin^4xcos^2x-cos^4xsin^2x=cos2x;$
      $sin^2xcos^2x(sin^2x-cos^2x)=cos2x;$
      $-0,25sin^22xcos2x=cos2x;$
      $cos2x(0,25sin^22x+1)=0;$
      $cos2x=0;$

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




три × 1 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif