Тригонометрическое уравнение. Из пробного экзамена в МГУ в 2013г.

2015-04-12

Предлагаю вашему вниманию решение тригонометрического уравнения (№2) из пробного экзамена в МГУ.

Вы можете и не поступать в МГУ :), но решение такого рода уравнений – хорошая подготовка к части С ЕГЭ по математике.

Также смотрите остальные задания  из этого же пробника здесь: №1, №3№4№5, №6, №7, №8.

Условие:

Решить уравнение: \sin^3x+1-\cos^4x=0

 

Многих уравнение пугает своими степенями, но, поверьте, оно совершенно безхитростное.

Решение: 

В последних двух слагаемых видим «разность квадратов»:

\sin^3x+(1-\cos^2x)(1+\cos^2x)=0.

Поскольку  1-\cos^2x=\sin^2x, то имеем:

\sin^3x+\sin^2x(1+\cos^2x)=0

Выносим за скобку \sin^2x:

\sin^2x(\sin x+1+\cos^2x)=0

\sin^2x(\sin x+1+(1-\sin^2x))=0

Вторую скобку  домножим на -1:

\sin^2x(\sin^2 x-\sin x-2))=0

\left[ \begin{gathered} \sin x=0, &\sin x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}; \end{gathered} \right

Второй корень (2) из второго уравнения совокупности, конечно, отпадает, так как \sin x\in[-1;1]:

\left[ \begin{gathered} \sin x=0, &\sin x =-1; \end{gathered} \right

 

(Надеюсь, вы легко решаете простейшие тригонометрические уравнения).

x=\pi n,\;n\in Z,   x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in Z

Ответ: \pi n,\;-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\;n,\:k\in Z

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. Максим

    Здравствуйте, Елена Юрьевна! помогите доказать тождество:
    4cos^4x-2cos2x-1/2cos4x=3/2.
    И решить уравнение:
    Sin^4xcos^2x-cos^4xsin^2x=cos2x.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      1) 4cos^4x-2cos2x-0,5cos4x=1,5;
      8cos^4x-4cos2x-cos4x=3;
      8cos^4x-4(2cos^2x-1)-(2cos^22x-1)=3;
      8cos^4x-8cos^2x+4-2(2cos^2x-1)^2+1=3;
      8cos^4x-8cos^2x+4-8cos^4x+8cos^2x-2+1=3;
      3=3;
      2) sin^4xcos^2x-cos^4xsin^2x=cos2x;
      sin^2xcos^2x(sin^2x-cos^2x)=cos2x;
      -0,25sin^22xcos2x=cos2x;
      cos2x(0,25sin^22x+1)=0;
      cos2x=0;

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif