Главная › МГУ › Тригонометрическое уравнение. Из пробного экзамена в МГУ в 2013г.

13 Июл 2013

Категория: МГУТригонометрические выражения, уравнения и неравенства

Тригонометрическое уравнение. Из пробного экзамена в МГУ в 2013г.

Елена Репина 2013-07-13 2015-04-12

Предлагаю вашему вниманию решение тригонометрического уравнения (№2) из пробного экзамена в МГУ.

Вы можете и не поступать в МГУ :), но решение такого рода уравнений – хорошая подготовка к части С ЕГЭ по математике.

Также смотрите остальные задания из этого же пробника здесь: №1, №3, №4, №5, №6, №7, №8.

Условие:

Решить уравнение: $\sin^3x+1-\cos^4x=0$

Многих уравнение пугает своими степенями, но, поверьте, оно совершенно безхитростное.

Решение:

В последних двух слагаемых видим «разность квадратов»:

$\sin^3x+(1-\cos^2x)(1+\cos^2x)=0.$

Поскольку $1-\cos^2x=\sin^2x$ , то имеем:

$\sin^3x+\sin^2x(1+\cos^2x)=0$

Выносим за скобку $\sin^2x$ :

$\sin^2x(\sin x+1+\cos^2x)=0$

$\sin^2x(\sin x+1+(1-\sin^2x))=0$

Вторую скобку домножим на -1:

$\sin^2x(\sin^2 x-\sin x-2))=0$

$\left[ \begin{gathered} \sin x=0, &\sin x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}; \end{gathered} \right$

Второй корень (2) из второго уравнения совокупности, конечно, отпадает, так как $\sin x\in[-1;1]$ :

$\left[ \begin{gathered} \sin x=0, &\sin x =-1; \end{gathered} \right$

$x=\pi n,\;n\in Z$ , $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in Z$

Ответ: $\pi n,\;-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\;n,\:k\in Z$

Автор: egeMax | комментария 2 | Метки: МГУ, тригонометрия

комментария 2