Тригонометрическое уравнение. Из пробного экзамена в МГУ в 2013г.

Вы можете и не поступать в МГУ :), но решение такого рода уравнений – хорошая подготовка к части С ЕГЭ по математике.

Также смотрите остальные задания  из этого же пробника здесь: №1, №3, №4, №5, №6, №7, №8

Решить уравнение: $\sin^3x+1-\cos^4x=0.$

Решение: 

В последних двух слагаемых видим «разность квадратов»:

$\sin^3x+(1-\cos^2x)(1+\cos^2x)=0.$

Поскольку  $1-\cos^2x=\sin^2x$, то имеем:

$\sin^3x+\sin^2x(1+\cos^2x)=0$

Выносим за скобку $\sin^2x$:

$\sin^2x(\sin x+1+\cos^2x)=0$

$\sin^2x(\sin x+1+(1-\sin^2x))=0$

Вторую скобку  домножим на -1:

$\sin^2x(\sin^2 x-\sin x-2))=0$

$\left[\begin{array}{rcl}sin x=0,\\sin x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2};\end{array}\right.$

Второй корень (2) из второго уравнения совокупности, конечно, отпадает, так как $\sin x\in[-1;1]$:

$\left[\begin{array}{rcl}sin x=0,\\sin x =-1;\end{array}\right.$

$x=\pi n,\;n\in Z$,   $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in Z$

Ответ: $\pi n,\;-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\;n,\:k\in Z$