06. Логарифмические выражения

Применим следующие  свойства  логарифмов:

$\color{red}log_{a} x^{n}=n\:log_{a}x,$   $\color{red}log_{{a}^{p}}x=\frac{1}{p}log_{a}x$

и в самом конце преобразований – данное свойство логарифмов:

$\color{red}\log_aa=1$.

$\log_{0,2}125=\log_{\frac{1}{5}}5^3=\log_{5^{-1}}5^3=\frac{3}{-1}\log_55=-3.$

Ответ: $-3.$ 

Применяем основное логарифмическое тождество:

$\color{red}a^{\log_ab}=b$:

$\large9\cdot 7^{\log_73}=9\cdot 3=27.$

Ответ: $27.$ 

Представим $16$ как $4^2$ и далее воспользуемся  следующим свойством логарифмов:

$\color{red}n\log_ax=\log_ax^n$ при $x>0$:

$\large16^{\log_47}=(4^2)^\log_47=4^{2\log_47}=4^{\log_47^2}$

А теперь применяем основное логарифмическое тождество $\color{red}a^{\log_ab}=b$:

$\large4^{\log_47^2}=49.$

Ответ: $49.$ 

$\large6^{2+log_68}=6^2\cdot 6^{log_68}=36\cdot 8=288.$

Ответ: $288.$ 

Применяем следующее свойство логарифмов:

$\color{red}log_{a} x-log_{a}y=log_{a}\frac{x}{y}$

$\log_8160-\log_82,5=\log_8\frac{160}{2,5}=\log_864=\log_88^2=2\log_88=2.$

Ответ: $2.$ 

$(\log_981)\cdot (\log_264)=(\log_99^2)\cdot (\log_22^6)=(2\log_99)\cdot (6\log_22)=$

$=(2\cdot 1)\cdot (6\cdot 1)=12.$

Ответ: $12.$ 

$\log_432=\log_{2^2}2^5=\frac{5}{2}\log_22=2,5;$

$\log_{0,1}10=\log_{10^{-1}}10=-\log_{10}10=-1;$

Тогда

$\log_432+\log_{0,1}10=2,5-1=1,5.$

Ответ: $1,5.$ 

$\large\log_{\sqrt[9]{13}}13=\log_{13^{\frac{1}{9}}}13=9\log_{13}13=9.$

Ответ: $9.$ 

$\large\frac{\log_42}{\log_45}+\log_50,5=\log_52+\log_50,5=\log_5(2\cdot 0,5)=\log_51=0.$

Ответ: $0.$ 

Применим следующее свойство логарифмов:

$\color{red}\frac{log_{a}b}{log_{a}c}=log_{c}b$

$\large\frac{\log_2225}{\log_215}=\log_{15}225=\log_{15}15^2=2\log_{15}15=2.$

Ответ: $2.$ 

$\large\frac{\log_92}{\log_{81}2}=\frac{\log_92}{\log_{9^2}2}=\frac{\log_92}{\frac{1}{2}\log_{9}2}=\frac{2\log_92}{\log_92}=2.$

Ответ: $2.$ 

Применяем свойство логарифмов:

$\color{red}\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac$.

$\log_311\cdot \log_{11}27=\log_327=3.$

Ответ: $3.$ 

$\large\frac{3^{\log_{13}507}}{3^{\log_{13}3}}=3^{\log_{13}507-\log_{13}3}=3^{\log_{13}\frac{507}{3}}=3^{\log_{13}169}=3^2=9.$

Ответ: $9.$ 

$(1-\log_218)(1-\log_918)=(\log_22-\log_218)(\log_99-\log_918)=$

$=\log_2\frac{1}{9}\cdot \log_9\frac{1}{2}=-\log_29\cdot \log_9\frac{1}{2}=-\log_2\frac{1}{2}=\log_22=1.$

Ответ: $1.$ 

$\large(5^{\log_57})^{\log_72}=5^{\log_57\cdot \log_72}=5^{\log_52}=2;$

Ответ: $2.$ 

Обратите внимание, это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию $16$ подлогарифмным выражением является $\log_39$.

$\log_{16}\log_39=\log_{16}2=\log_{2^4}2=\frac{1}{4}\log_22=0,25.$

Ответ: $0,25.$

$log^2_{\sqrt2}4=(log_{\sqrt2}4)^2=(log_{2^{\frac{1}{2}}}2^2)^2=(2\cdot 2\cdot log_22)^2=(2\cdot 2)^2=16.$

Ответ: $0,25.$ 

$\large\log_a\frac{a^3}{b^5}=\log_aa^3-\log_ab^5=3\log_aa-5\log_ab=3-5\log_ab;$

При $\log_ab=7$ имеем:

$3-5\log_ab=3-5\cdot 7=-32.$

Ответ: $-32.$ 

$\log_a(ab^6)=\log_aa+\log_ab^6=1+6\log_ab=1+\frac{6}{\log_ba};$

При $\log_ba=\frac{2}{11}$ получаем:

$1+\frac{6}{\log_ba}=1+\frac{6\cdot 11}{2}=34;$

Ответ: $34.$