Рассмотрим задачу 26 в формате ГИА по математике. Предлагалась в тренировочной работе №9 А. Лариным.
В треугольнике на стороне
взята точка
так, что
, а на стороне
взята точка
так, что
. Пусть
– точка пересечения прямых
и
. Найдите площадь треугольника
, если площадь треугольника
равна 1.
Решение:
Прежде всего заметим, что у треугольников и
высоты
, проведенные из вершины
совпадают. При этом
.
Поэтому площадь вдвое больше площади
(Действительно,
).
То есть на площадь приходится
, на
–
Далее замечаем, что треугольники и
имеют одинаковую сторону
. Проведем высоты в каждом из названных треугольников к
.
Имеем:
То есть .
Но ведь в треугольниках и
высоты к совпавшим сторонам
есть также
и
соответственно. Значит и
При этом, очевидно, (совпадают высоты, проведенные из вершины
и стороны, к которым они проведены находятся в отношении 2:1).
Пусть тогда
,
Наконец, и при этом
Значит,
.
Ну а значит, (высоты, проведенные из точки
к сторонам
,
совпадают). Стало быть,
, так как
. То есть
Тогда площадь оставшейся части треугольника
помимо
, что составляет
, есть
Итак,
Ответ: 1, 75.
Задача для самостоятельной работы:
В треугольнике на стороне
взята точка
так, что
, а на стороне
взята точка
так, что
. Пусть
– точка пересечения прямых
и
. Найдите отношение площадей треугольников
и
.
Ответ: + показать
Добавить комментарий