Задача №26 ГИА Тренировочной работы А. Ларина

2013-12-07

Рассмотрим задачу 26 в формате ГИА по математике. Предлагалась в тренировочной работе №9  А. Лариным.

В треугольнике ABC на стороне AB взята точка K так, что AK:KB=1:2, а на стороне BC  взята точка L так, что CL:BL=2:1. Пусть Q – точка пересечения прямых AL и CK. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника BQC равна 1.

Решение:

Прежде всего заметим, что у  треугольников QBL и QCL высоты h, проведенные из вершины Q совпадают. При этом LC=2BL.

Поэтому площадь \Delta QCL вдвое больше площади \Delta QBL (Действительно, S_{BQL}=\frac{1}{2}h\cdot BL,\;S_{CQL}=\frac{1}{2}h\cdot LC=2S_{BQL}).

То есть на площадь \Delta BQL приходится \frac{1}{3}, на \Delta CQL\frac{2}{3}.

Далее замечаем, что треугольники BQL и CQL имеют одинаковую сторону QL. Проведем высоты в каждом из названных треугольников к QL.

Имеем:  2=\frac{S_{CQL}}{S_{BQL}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot QL\cdot BT}{\frac{1}{2}\cdot QL\cdot CD}=\frac{BT}{CD}.

То есть CD=2BT.

Но ведь в треугольниках ABQ и CAQ высоты к совпавшим сторонам AQ есть также BT и CD=2BT соответственно. Значит и S_{ACQ}=2S_{ABQ}.

При этом, очевидно, S_{BKQ}=2S_{AKQ} (совпадают высоты, проведенные из вершины Q и стороны, к которым они проведены находятся в отношении 2:1).

Пусть S_{AKQ}=x, тогда S_{BKQ}=2x, S_{AQC}=6x.

Наконец, \frac{S_{AQC}}{S_{AKQ}}=\frac{6x}{x}=6 и  при этом \frac{S_{AQC}}{S_{AKQ}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AN\cdot CQ}{\frac{1}{2}\cdot AN\cdot KQ}=\frac{CQ}{KQ}. Значит, \frac{CQ}{KQ}=6.

Ну а значит, \frac{S_{BQC}}{S_{BKQ}}=\frac{CQ}{KQ}=6 (высоты, проведенные из точки B к сторонам KQ, QC совпадают). Стало быть, S_{BKQ}=\frac{1}{6}, так как S_{BQC}=1. То есть 2x=\frac{1}{6}.  Тогда площадь оставшейся части треугольника ABC помимо BQC, что составляет x+2x+6x=9x,  есть \frac{3}{4}.

Итак, S_{ABC}=1+\frac{3}{4}=1,75.

Ответ: 1, 75.

Задача для самостоятельной работы:

В треугольнике  ABC на стороне AB взята точка K так, что AK=KB, а на стороне BC  взята точка M так, что CM:BM=1:3. Пусть O – точка пересечения прямых AM и CK. Найдите отношение площадей треугольников ABO и ABC.

Ответ: + показать

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif