Задача №26 ГИА Тренировочной работы А. Ларина

Рассмотрим задачу 26 в формате ГИА по математике. Предлагалась в тренировочной работе №9  А. Лариным.

В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK:KB=1:2$, а на стороне $BC$  взята точка $L$ так, что $CL:BL=2:1$. Пусть $Q$ – точка пересечения прямых $AL$ и $CK$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если площадь треугольника $BQC$ равна 1.

Решение:

Прежде всего заметим, что у  треугольников $QBL$ и $QCL$ высоты $h$, проведенные из вершины $Q$ совпадают. При этом $LC=2BL$.

Поэтому площадь $\Delta QCL$ вдвое больше площади $\Delta QBL$ (Действительно, $S_{BQL}=\frac{1}{2}h\cdot BL,\;S_{CQL}=\frac{1}{2}h\cdot LC=2S_{BQL}$).

То есть на площадь $\Delta BQL$ приходится $\frac{1}{3}$, на $\Delta CQL$ – $\frac{2}{3}.$

Далее замечаем, что треугольники $BQL$ и $CQL$ имеют одинаковую сторону $QL$. Проведем высоты в каждом из названных треугольников к $QL$.

Имеем:  $2=\frac{S_{CQL}}{S_{BQL}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot QL\cdot BT}{\frac{1}{2}\cdot QL\cdot CD}=\frac{BT}{CD}.$

То есть $CD=2BT$.

Но ведь в треугольниках $ABQ$ и $CAQ$ высоты к совпавшим сторонам $AQ$ есть также $BT$ и $CD=2BT$ соответственно. Значит и $S_{ACQ}=2S_{ABQ}.$

При этом, очевидно, $S_{BKQ}=2S_{AKQ}$ (совпадают высоты, проведенные из вершины $Q$ и стороны, к которым они проведены находятся в отношении 2:1).

Пусть $S_{AKQ}=x,$ тогда $S_{BKQ}=2x$, $S_{AQC}=6x.$

Наконец, $\frac{S_{AQC}}{S_{AKQ}}=\frac{6x}{x}=6$ и  при этом $\frac{S_{AQC}}{S_{AKQ}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AN\cdot CQ}{\frac{1}{2}\cdot AN\cdot KQ}=\frac{CQ}{KQ}.$ Значит, $\frac{CQ}{KQ}=6$.

Ну а значит, $\frac{S_{BQC}}{S_{BKQ}}=\frac{CQ}{KQ}=6$ (высоты, проведенные из точки $B$ к сторонам $KQ$, $QC$ совпадают). Стало быть, $S_{BKQ}=\frac{1}{6}$, так как $S_{BQC}=1$. То есть $2x=\frac{1}{6}.$  Тогда площадь оставшейся части треугольника $ABC$ помимо $BQC$, что составляет $x+2x+6x=9x$,  есть $\frac{3}{4}.$

Итак, $S_{ABC}=1+\frac{3}{4}=1,75.$

Ответ: 1, 75.

Задача для самостоятельной работы:

В треугольнике  $ABC$ на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK=KB$, а на стороне $BC$  взята точка $M$ так, что $CM:BM=1:3$. Пусть $O$ – точка пересечения прямых $AM$ и $CK$. Найдите отношение площадей треугольников $ABO$ и $ABC$.

Ответ: + показать