Задача № 26 из ГИА

2013-10-04

Предлагаю разбор геометрической  задачи из второй части тренировочной работы в формате ГИА, предлагавшейся 1 октября 2013 года.

Условие задачи:

Две окружности с центрами O_1и O_3 и радиусами 7 и 6 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром O_2 радиусом 14. Найдите угол O_1O_2O_3.

Решение: 

Вот они, первые две окружности с центрами O_1и O_3. Как видим,

точка касания окружностей К лежит на прямой O_1O_3, так как согласно теореме о касающихся окружностях

Прямая, проведенная через центры касающихся окружностей, проходит через точку их касания.

Вот третья окружность, которая касается первых двух внутренним образом. Обозначим точки касания P и N. Как видим, точка O_2 – центр третьей окружности лежит на первой окружности.

Это не случайно.

Действительно, ведь

1) точки O_1,\;O_2,\;N лежат, согласно указанной теореме, на одной прямой (так же, как и O_2,\;O_3,\;P)

и

2) радиус окружности с центром O_1 равен 7, радиус окружности с центром O_2 равен 14.

При этом точка O_2 не может попасть и на окружность с центром O_1, иначе диаметр окружности с центром O_3 (O_2P=12) равнялся бы радиусу окружности с центром O_2, то есть 14 (противоречие).

Далее, рассмотрим треугольник O_1O_2O_3:

В нем известны все стороны: O_1O_2=7,\;O_2O_3=8,\;O_1O_3=13.

Будем искать угол O_1O_2O_3, помеченный на рисунке как \alpha, по т. Косинусов:

 O_1O_3^2=O_1O_2^2+O_2O_3^2-2O_1O_2\cdot O_2O_3\cdot cos\alpha.

Тогда 169=64+49-2\cdot 8\cdot 7\cdot cos\alpha;

Откуда  cos\alpha =\frac{-56}{2\cdot 8\cdot 7};

cos\alpha =-\frac{1}{2};

Следовательно, искомый угол \alpha равен 120^{\circ}.

Ответ: 120˚.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif