Предлагаю разбор геометрической задачи из второй части тренировочной работы в формате ГИА, предлагавшейся 1 октября 2013 года.
Условие задачи:
Две окружности с центрами и
и радиусами 7 и 6 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром
радиусом 14. Найдите угол
.
Решение:
Вот они, первые две окружности с центрами и
. Как видим,
точка касания окружностей К лежит на прямой , так как согласно теореме о касающихся окружностях
Прямая, проведенная через центры касающихся окружностей, проходит через точку их касания.
Вот третья окружность, которая касается первых двух внутренним образом. Обозначим точки касания P и N. Как видим, точка – центр третьей окружности лежит на первой окружности.
Это не случайно.
Действительно, ведь
1) точки лежат, согласно указанной теореме, на одной прямой (так же, как и
)
и
2) радиус окружности с центром равен 7, радиус окружности с центром
равен 14.
При этом точка не может попасть и на окружность с центром
, иначе диаметр окружности с центром
(
) равнялся бы радиусу окружности с центром
, то есть 14 (противоречие).
Далее, рассмотрим треугольник :
В нем известны все стороны:
Будем искать угол , помеченный на рисунке как
, по т. Косинусов:
.
Тогда
Откуда
Следовательно, искомый угол равен
.
Ответ: 120˚.
Добавить комментарий