Задача № 26 из ГИА

Елена Репина 2013-10-03 2013-10-04

Предлагаю разбор геометрической задачи из второй части тренировочной работы в формате ГИА, предлагавшейся 1 октября 2013 года.

Условие задачи:

Две окружности с центрами $O_1$ и $O_3$ и радиусами 7 и 6 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром $O_2$ радиусом 14. Найдите угол $O_1O_2O_3$ .

Решение:

Вот они, первые две окружности с центрами $O_1$ и $O_3$ . Как видим,

рпо

точка касания окружностей К лежит на прямой $O_1O_3$ , так как согласно теореме о касающихся окружностях

Прямая, проведенная через центры касающихся окружностей, проходит через точку их касания.

Вот третья окружность, которая касается первых двух внутренним образом. Обозначим точки касания P и N. Как видим, точка $O_2$ – центр третьей окружности лежит на первой окружности.

Это не случайно.

Действительно, ведь

1) точки $O_1,\;O_2,\;N$ лежат, согласно указанной теореме, на одной прямой (так же, как и $O_2,\;O_3,\;P$ )

2) радиус окружности с центром $O_1$ равен 7, радиус окружности с центром $O_2$ равен 14.

При этом точка $O_2$ не может попасть и на окружность с центром $O_1$ , иначе диаметр окружности с центром $O_3$ ( $O_2P=12$ ) равнялся бы радиусу окружности с центром $O_2$ , то есть 14 (противоречие).