Задача из пробного экзамена в МГУ в 2013 г.

2016-06-21

Предлагаю разобрать текстовую задачу (№6) из пробного вступительного экзамена в МГУ.

Она хороша для подготовки к ЕГЭ по математике (С6).

Также смотрите остальные задания  из этого же пробника здесь: №1, №2, №3№4№5, №7, №8.

Условие:

В прицепе фуры помещается на пять контейнеров меньше, чем в основном кузове, в который входит не менее 16 контейнеров. Для перевозки всех контейнеров, находящихся на складе, фуре с прицепом при полной загрузке необходимо не менее 8 рейсов. Фуре без прицепа, так же при полной загрузке, потребуется для этого на 6 рейсов больше. Сколько контейнеров находится на складе?

Решение: 

Обозначим за n количество контейнеров, которые помещаются в основном кузове. Заметим, n\geq 16.

Так как в прицепе помещается на пять контейнеров меньше, чем в кузове, то их количество выражается через n-5.

Обозначим количество контейнеров, находящихся на складе, за m.

Обозначим количество рейсов, необходимых фуре с прицепом для перевозки всех контейнеров, находящихся на складе за  l:

Так как  для перевозки всех контейнеров (m), находящихся на складе, фуре с прицепом при полной загрузке необходимо не менее 8 рейсов, то

l\geq 8

Так как фуре без прицепа, так же при полной загрузке, потребуется для перевозки всех контейнеров на 6 рейсов больше, то

(l+6)n=l(2n-5)

Итак, выходим на систему:
\begin{cases} l\geq 8,&  &(l+6)n=l(2n-5),&  &n\geq 16;& \end{cases}

Из второй строки системы: l=\frac{6n}{n-5};

l=6+\frac{30}{n-5};

Так как l\geq 8, то \frac{30}{n-5}\geq 2.

Значит, n-5\leq 15, то есть n\leq 20.

И так как при этом у нас n\geq 16, то n может быть 16,\;17,\;18,\;19,\;20.

А поскольку при этом \frac{30}{n-5} –целое, то n=20, а значит, l=8

Наконец, m=(l+6)n=14\cdot 20=280 (контейнеров).

Ответ: 280.

 

 

Печать страницы
Комментариев: 12
  1. Денис

    Помогите пожалуйста

    1. Сколько существует трёхзначных чисел, состоящих из различных цифр, у которых последняя цифра равна произведению первых двух?

    2. Андрей задумал натуральное число и нашёл его остатки при делении на 3, 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15. Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.

    3. На острове рыцарей и лжецов каждого жителя спросили про каждого из остальных, лжец тот или рыцарь. Всего было получено 42 ответа «рыцарь» и 48 ответов «лжец». Какое наи- большее количество рыцарей могло быть на этом острове? (Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду.)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      1. Пусть первая цифра – x.
      Согласно условию на роль x могут подходить цифры 2, 3, 4 и 5 ( ноль не может быть первой цифрой трехзначного числа, 1 даст одинаковые цифры в числе, больше 5 брать не можем…).
      Аналогично рассуждаем про вторую цифру числа…
      Получаем комбинации: 236, 326, 428, 520, 248, 250, 520.
      2.
      Остаток r_1 при делении задуманного числа a на 3 – 1 или 2.
      Остаток r_2 при делении на 6 – 1, 2,…или 5.
      Остаток r_3 при делении на 9 – 1, 2,…или 8.
      Поскольку сумма остатков равна 15, то остатки могут быть распределены только так: r_1=2, r_2=5, r_3=8.
      Замечаем, что a+1 делится нацело на 3, нацело на 6 и нацело на 9.
      Тогда a+1 делится нацело и на 18.
      Значит, остаток при делении a на 18 – это 1.
      3. Пусть на острове n жителей. Тогда ответов получено всего n(n-1), то есть n^2-n=90, откуда n=10.
      Пусть рыцарей k, тогда лжецов 10-k.
      Ответов «рыцарь» будет: k(k-1)+(10-k)(10-k-1), то есть k^2-k+90-19k+k^2=42. Откуда k=6 или k=4.

      [ Ответить ]
      • Денис

        Огромное вам спасибо.

        [ Ответить ]
      • egeMax

        1. да, следует оставить 4 варианта – спешка.
        2. да, остаток 17 – спешка
        3. я не указывала в ответе 4 и 6 рыцарей. указаны решения последнего уравнения. Думаю, человек способен выбрать большее из двух чисел…
        Спасибо за коммент.
        P.S. Вы никогда не ошибаетесь?

        [ Ответить ]
  2. Данила Поляков

    Здравствуйте, очень нужна помощь. Учусь на подготовительных курсов Малого мехмата. Задали несколько задачек, мог решить все, кроме этих двух:

    1.По окружности выписаны числа 1, 2, 4.
    Между каждыми двумя соседними числами вставили их сумму (получилось шесть чисел: 1, 3, 2, 6, 4, 5) и повторили эту операцию еще 5 раз. Теперь по окружности стоят 192 числа. Найдите их сумму.
    2.Рассмотрим смешанную систему счисления, которая используется для регистрационных номеров транспортных средств ГИБДД. Номер имеет вид: LDDDLL, где D – это десятичная цифра, L – это 12 заглавных букв, графические представления которых похожи в кириллице и латинице. Все три цифры не могут быть равны 0 одновременно, а все три буквы не могут быть одинаковыми.
    Сколько различных чисел можно записать в этой системе счисления?

    Помогите, пожалуйста, решить эти задачки. Заранее спасибо.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      1. Каждый раз сумма добавленных чисел в два раза больше суммы исходных, поэтому сумма чисел каждый раз увеличивается втрое. Ответ: 7\cdot 3^5.
      2. С информатикой – не ко мне…

      [ Ответить ]
      • Данила Поляков

        Большое спасибо.

        [ Ответить ]
  3. Сергей

    Помогите, пожалуйста, решить.

    Укажите все действительные z, при котором корни x1 , x2 уравнения x2 + x − z = 0 удовлетворяют соотношению (x1 + 2)^3 + (x2 + 2)^3 − 27 = 0.

    [ Ответить ]
  4. Данила Поляков

    Помогите пожалуйста
    1) Найдите все натуральные значения N, при которых число 4100 при делении на N даёт остаток 5, а при делении на N +1 – остаток 4.
    2) Выпуклый пятиугольник ABCDE таков, что ∠DAC = ∠DBE, ∠ACE = ∠BEC. Докажите, что если AC < BE, то AD < BD.
    3)Восемь учеников 11"Ж"класса смотрели восьмисерийный сериал. Оказалось, что каждую серию видело ровно пятеро из них. Докажите, что найдутся два таких ученика, что каждую серию смотрел хотя бы один из них.

    [ Ответить ]
  5. Денис Полохин

    Скажите, пожалуйста, как решать такую, или похожую задачу.

    В свободные клетки шахматной доски по одной выставляются чёрные и белые ладьи. Чёрная выставляется на поле, побитое в этот момент чётным количеством ладей, а белая – на поле, побитое нечётным числом ладей. Какое наибольшее количество из 64 выставленных ладей могут оказаться белыми?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Данила Поляков, он же Денис Звягинцев, он же Денис Полохин, он же Сергей, он же… в одном лице…
      У меня нет возможности решать за вас десятки задач…
      ;)

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif