Главная › МГУ › Задача из пробного экзамена в МГУ в 2013 г.

13 Июл 2013

Категория: МГУТеория чисел

Задача из пробного экзамена в МГУ в 2013 г.

Елена Репина 2013-07-13 2016-06-21

Предлагаю разобрать текстовую задачу (№6) из пробного вступительного экзамена в МГУ.

Она хороша для подготовки к ЕГЭ по математике (С6).

Также смотрите остальные задания из этого же пробника здесь: №1, №2, №3, №4, №5, №7, №8.

Условие:

В прицепе фуры помещается на пять контейнеров меньше, чем в основном кузове, в который входит не менее 16 контейнеров. Для перевозки всех контейнеров, находящихся на складе, фуре с прицепом при полной загрузке необходимо не менее 8 рейсов. Фуре без прицепа, так же при полной загрузке, потребуется для этого на 6 рейсов больше. Сколько контейнеров находится на складе?

Решение:

Обозначим за $n$ количество контейнеров, которые помещаются в основном кузове. Заметим, $n\geq 16.$

Так как в прицепе помещается на пять контейнеров меньше, чем в кузове, то их количество выражается через $n-5.$

Обозначим количество контейнеров, находящихся на складе, за $m$ .

3456

Обозначим количество рейсов, необходимых фуре с прицепом для перевозки всех контейнеров, находящихся на складе за $l$ :

222

Так как для перевозки всех контейнеров ( $m$ ), находящихся на складе, фуре с прицепом при полной загрузке необходимо не менее 8 рейсов, то

$l\geq 8$

Так как фуре без прицепа, так же при полной загрузке, потребуется для перевозки всех контейнеров на 6 рейсов больше, то

$(l+6)n=l(2n-5)$

Итак, выходим на систему:
$\begin{cases} l\geq 8,& &(l+6)n=l(2n-5),& &n\geq 16;& \end{cases}$

Из второй строки системы: $l=\frac{6n}{n-5};$

$l=6+\frac{30}{n-5};$

Так как $l\geq 8$ , то $\frac{30}{n-5}\geq 2$ .

Значит, $n-5\leq 15$ , то есть $n\leq 20$ .

И так как при этом у нас $n\geq 16$ , то $n$ может быть $16,\;17,\;18,\;19,\;20.$

А поскольку при этом $\frac{30}{n-5}$ –целое, то $n=20$ , а значит, $l=8$

Наконец, $m=(l+6)n=14\cdot 20=280$ (контейнеров).

Ответ: 280.

Автор: egeMax | комментариев 12 | Метки: МГУ

Печать страницы

комментариев 12

Денис

2015-02-21 в 14:19

Помогите пожалуйста

1. Сколько существует трёхзначных чисел, состоящих из различных цифр, у которых последняя цифра равна произведению первых двух?

2. Андрей задумал натуральное число и нашёл его остатки при делении на 3, 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15. Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.

3. На острове рыцарей и лжецов каждого жителя спросили про каждого из остальных, лжец тот или рыцарь. Всего было получено 42 ответа «рыцарь» и 48 ответов «лжец». Какое наи- большее количество рыцарей могло быть на этом острове? (Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду.)

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-02-21 в 19:39
  
  1. Пусть первая цифра – x.
  Согласно условию на роль x могут подходить цифры 2, 3, 4 и 5 ( ноль не может быть первой цифрой трехзначного числа, 1 даст одинаковые цифры в числе, больше 5 брать не можем…).
  Аналогично рассуждаем про вторую цифру числа…
  Получаем комбинации: 236, 326, 428, 520, 248, 250, 520.
  2.
  Остаток $r_1$ при делении задуманного числа $a$ на 3 – 1 или 2.
  Остаток $r_2$ при делении на 6 – 1, 2,…или 5.
  Остаток $r_3$ при делении на 9 – 1, 2,…или 8.
  Поскольку сумма остатков равна 15, то остатки могут быть распределены только так: $r_1=2, r_2=5, r_3=8.$
  Замечаем, что $a+1$ делится нацело на 3, нацело на 6 и нацело на 9.
  Тогда $a+1$ делится нацело и на 18.
  Значит, остаток при делении $a$ на 18 – это 1.
  3. Пусть на острове $n$ жителей. Тогда ответов получено всего $n(n-1)$ , то есть $n^2-n=90$ , откуда $n=10.$
  Пусть рыцарей $k$ , тогда лжецов $10-k.$
  Ответов «рыцарь» будет: $k(k-1)+(10-k)(10-k-1)$ , то есть $k^2-k+90-19k+k^2=42.$ Откуда $k=6$ или $k=4.$
  
  [ Ответить ]
  - Денис
    
    2015-02-21 в 21:15
    
    Огромное вам спасибо.
    
    [ Ответить ]
  - egeMax
    
    2016-02-20 в 20:58
    
    1. да, следует оставить 4 варианта – спешка.
    2. да, остаток 17 – спешка
    3. я не указывала в ответе 4 и 6 рыцарей. указаны решения последнего уравнения. Думаю, человек способен выбрать большее из двух чисел…
    Спасибо за коммент.
    P.S. Вы никогда не ошибаетесь?
    
    [ Ответить ]
Данила Поляков

2015-02-22 в 14:56

Здравствуйте, очень нужна помощь. Учусь на подготовительных курсов Малого мехмата. Задали несколько задачек, мог решить все, кроме этих двух:

1.По окружности выписаны числа 1, 2, 4.
Между каждыми двумя соседними числами вставили их сумму (получилось шесть чисел: 1, 3, 2, 6, 4, 5) и повторили эту операцию еще 5 раз. Теперь по окружности стоят 192 числа. Найдите их сумму.
2.Рассмотрим смешанную систему счисления, которая используется для регистрационных номеров транспортных средств ГИБДД. Номер имеет вид: LDDDLL, где D – это десятичная цифра, L – это 12 заглавных букв, графические представления которых похожи в кириллице и латинице. Все три цифры не могут быть равны 0 одновременно, а все три буквы не могут быть одинаковыми.
Сколько различных чисел можно записать в этой системе счисления?

Помогите, пожалуйста, решить эти задачки. Заранее спасибо.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-02-22 в 16:10
  
  1. Каждый раз сумма добавленных чисел в два раза больше суммы исходных, поэтому сумма чисел каждый раз увеличивается втрое. Ответ: $7\cdot 3^5$ .
  2. С информатикой – не ко мне…
  
  [ Ответить ]
  - Данила Поляков
    
    2015-02-22 в 16:44
    
    Большое спасибо.
    
    [ Ответить ]
Сергей

2015-02-22 в 19:57

Помогите, пожалуйста, решить.

Укажите все действительные z, при котором корни x1 , x2 уравнения x2 + x − z = 0 удовлетворяют соотношению (x1 + 2)^3 + (x2 + 2)^3 − 27 = 0.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-02-22 в 21:06
  
  Сергей, смотрите здесь (в комментариях) разбор аналогичного задания.
  
  [ Ответить ]
Данила Поляков

2015-03-01 в 15:33

Помогите пожалуйста
1) Найдите все натуральные значения N, при которых число 4100 при делении на N даёт остаток 5, а при делении на N +1 – остаток 4.
2) Выпуклый пятиугольник ABCDE таков, что ∠DAC = ∠DBE, ∠ACE = ∠BEC. Докажите, что если AC < BE, то AD < BD.
3)Восемь учеников 11"Ж"класса смотрели восьмисерийный сериал. Оказалось, что каждую серию видело ровно пятеро из них. Докажите, что найдутся два таких ученика, что каждую серию смотрел хотя бы один из них.

[ Ответить ]
Денис Полохин

2015-03-01 в 16:01

Скажите, пожалуйста, как решать такую, или похожую задачу.

В свободные клетки шахматной доски по одной выставляются чёрные и белые ладьи. Чёрная выставляется на поле, побитое в этот момент чётным количеством ладей, а белая – на поле, побитое нечётным числом ладей. Какое наибольшее количество из 64 выставленных ладей могут оказаться белыми?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-03-01 в 16:31
  
  Данила Поляков, он же Денис Звягинцев, он же Денис Полохин, он же Сергей, он же… в одном лице…
  У меня нет возможности решать за вас десятки задач…
  ;)
  
  [ Ответить ]

Задача из пробного экзамена в МГУ в 2013 г.

Добавить комментарий Отменить ответ