Рассмотрим задание 25 из второй части ТР №1 в формате ГИА от 1 октября 2013 года.
В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A , C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.
Решение:
Рассуждаем так:
Вокруг любого треугольника, в том числе вокруг , всегда можно описать окружность. Значит, нам остается доказать лишь тот факт, что точка пересечения высот треугольника
, точка
, также попадает на окружность, описанную около треугольника
.
Заметим, что для вписанного в окружность (описанную около треугольника
) угла
соответствующим центральным углом является угол
. Так как
по условию, то
по свойству вписанного угла.
Далее, из прямоугольного треугольника
(так как
), а значит, из прямоугольного треугольника
.
Углы и
– смежные, следовательно их сумма равна
, а значит,
.
В отношении точки у нас три ситуации:
(1): точка лежит на окружности, описанной около треугольника
;
(2): точка лежит внутри окружности, описанной около треугольника
;
(3): точка лежит вне окружности, описанной около треугольника
;
Рассмотрим ситуацию (2).
В этом случае угол (где
– точка пересечения прямой
с окружностью), как опирающийся на ту же дугу
, что и вписанный угол
, равен
. Тогда угол
, как внешний угол треугольника
, больше
(ведь внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним). То есть мы пришли к противоречию. Ситуация (2) невозможна.
Рассмотрим ситуацию (3).
В этом случае угол (где
– точка пересечения прямой
с окружностью), как опирающийся на ту же дугу
, что и вписанный угол
, равен
. Тогда угол
, как внешний угол треугольника
, больше угла внутреннего угла треугольника
(не смежного с внешним углом). То есть угол
меньше
, – мы пришли к противоречию. Ситуация (3) невозможна.
Значит, остается единственно возможной ситуация (1), когда точка лежит на окружности, описанной около треугольника
. А это нам и нужно!
Итак, все четыре точки лежат на одной окружности.
Что и требовалось доказать.
Задача для самостоятельной проработки:
В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60° . Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и центр вписанной
окружности треугольника ABC лежат на одной окружности.
спасибо огромное, два дня не могла решить, сдалась, в интернете это самое отличное решение, просто и в точкy!!!
Лариса, спасибо!
Спасибо.Решили задачу.