Задача 25 из тренировочной работы №1 в формате ГИА 2013

2013-10-04

Рассмотрим задание 25 из второй части ТР №1 в формате ГИА от 1 октября 2013 года.

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A , C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.

Решение:

Рассуждаем так:

Вокруг любого  треугольника, в том числе вокруг \Delta AOC, всегда можно описать окружность. Значит, нам остается доказать лишь тот факт, что  точка пересечения высот треугольника ABC, точка H, также попадает на окружность, описанную около треугольника AOC.

Заметим, что для вписанного  в окружность  (описанную около треугольника ABC) угла ABC соответствующим центральным углом является угол AOC. Так как \angle ABC=60^{\circ} по условию, то \angle AOC=120^{\circ} по свойству вписанного угла.

Далее, из  прямоугольного треугольника ABK \angle BAK=30^{\circ} (так как \angle B=60^{\circ},\;\angle K=90^{\circ}), а значит, из прямоугольного треугольника AHP \angle AHP=60^{\circ}.

Углы AHP и AHC – смежные, следовательно их сумма равна 180^{\circ}, а значит, \angle AHC=180^{\circ}-\angle AHP=120^{\circ}.

В отношении точки H у нас три ситуации:

(1):  точка H лежит на окружности, описанной около треугольника AOC;

(2):  точка H лежит внутри окружности, описанной около треугольника AOC;

(3): точка H лежит вне окружности, описанной около треугольника AOC;

Рассмотрим ситуацию (2).

В этом случае угол AVC (где V – точка пересечения прямой AH с окружностью), как опирающийся на ту же дугу AC, что и вписанный угол AOC, равен 120^{\circ}. Тогда угол AHC, как внешний угол треугольника HVC, больше 120^{\circ} (ведь внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника,  не смежных с ним). То есть мы пришли к противоречию. Ситуация (2) невозможна.

Рассмотрим ситуацию (3).

В этом случае угол AVC (где V – точка пересечения прямой AH с окружностью), как опирающийся на ту же дугу AC, что и вписанный угол AOC, равен 120^{\circ}. Тогда угол AVC, как внешний угол треугольника HVC, больше угла внутреннего угла треугольника AHC (не смежного с внешним углом). То есть угол AHC меньше 120^{\circ}, – мы пришли к противоречию. Ситуация (3) невозможна.

Значит, остается единственно возможной ситуация (1), когда точка H лежит на окружности, описанной около треугольника AOC. А это нам и нужно!

Итак, все четыре точки A,\;C,\;O,\;H  лежат на одной окружности.

Что и требовалось доказать.

Задача для самостоятельной проработки:

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60° . Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и центр вписанной

окружности треугольника ABC лежат на одной окружности.

 

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. лариса

    спасибо огромное, два дня не могла решить, сдалась, в интернете это самое отличное решение, просто и в точкy!!!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Лариса, спасибо!

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif