Задача 25 из тренировочной работы №1 в формате ГИА 2013

Рассмотрим задание 25 из второй части ТР №1 в формате ГИА от 1 октября 2013 года.

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A , C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.

Решение:

Рассуждаем так:

Вокруг любого  треугольника, в том числе вокруг , всегда можно описать окружность. Значит, нам остается доказать лишь тот факт, что  точка пересечения высот треугольника , точка , также попадает на окружность, описанную около треугольника .

Заметим, что для вписанного  в окружность  (описанную около треугольника ) угла соответствующим центральным углом является угол . Так как по условию, то по свойству вписанного угла.

Далее, из  прямоугольного треугольника (так как ), а значит, из прямоугольного треугольника .

Углы и – смежные, следовательно их сумма равна , а значит, .

В отношении точки у нас три ситуации:

(1):  точка лежит на окружности, описанной около треугольника ;

(2):  точка лежит внутри окружности, описанной около треугольника ;

(3): точка лежит вне окружности, описанной около треугольника ;

Рассмотрим ситуацию (2).

В этом случае угол (где – точка пересечения прямой с окружностью), как опирающийся на ту же дугу , что и вписанный угол , равен . Тогда угол , как внешний угол треугольника , больше (ведь внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника,  не смежных с ним). То есть мы пришли к противоречию. Ситуация (2) невозможна.

Рассмотрим ситуацию (3).

В этом случае угол (где – точка пересечения прямой с окружностью), как опирающийся на ту же дугу , что и вписанный угол , равен . Тогда угол , как внешний угол треугольника , больше угла внутреннего угла треугольника (не смежного с внешним углом). То есть угол меньше , – мы пришли к противоречию. Ситуация (3) невозможна.

Значит, остается единственно возможной ситуация (1), когда точка  лежит на окружности, описанной около треугольника . А это нам и нужно!

Итак, все четыре точки  лежат на одной окружности.

Что и требовалось доказать.

Задача для самостоятельной проработки:

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60° . Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и центр вписанной

окружности треугольника ABC лежат на одной окружности.