Задача С1 (№15) диагностической работы от 12 декабря 2013 (11 класс)

a) Решите уравнение: $4sin^42x+3cos4x-1=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi;\frac{3\pi}{2}].$

Решение:

а) Воспользуемся следующей формулой двойного угла для косинуса

$\color{red}cos2\alpha=1-2sin^2\alpha $.

Получим

$4sin^42x+3(1-2sin^22x)-1=0;$

$4sin^42x-6sin^22x+2=0;$

$2sin^42x-3sin^22x+1=0;$

Перед нами квадратное уравнение относительно $sin^22x:$

$2$( $\color{red}sin^22x$ )$^2-3$ $\color{red}sin^22x$ $+1=0;$

Тогда

$sin^22x=\frac{3\pm 1}{4};$

$sin^22x=1$  или $sin^22x=\frac{1}{2};$

$sin2x=\pm 1$  или $sin2x=\pm \frac{1}{\sqrt2}$

$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\;n\in Z$ или $2x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi k,\;k\in Z.$

Тогда

$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\;n\in Z$ или $x=\pm \frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\;k\in Z$

б)  Производим отбор корней уравнения на отрезке $[\pi;\frac{3\pi}{2}]:$

Ответ: a) $\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\;n\in Z$; $\pm \frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\;k\in Z;$ б) $\frac{9\pi}{8},\;\frac{5\pi}{4},\;\frac{11\pi}{8}.$

Смотрите также разбор заданий части В, С2(№16), C3(№17),  C4(№18), С5(№20) диагностической работы по математике в формате ЕГЭ от 12 декабря 2013 года.

Возможно, вам будет интересно аналогичное задание смежного варианта:

a) Решите уравнение: $2sin^4x+3cos2x+1=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi;3\pi].$

Ответ: + показать