08. Физические задачи, приводимые к квадратным/степенным уравнениям или неравенствам

Задача 1. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время $t$ падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h=5t^2$, где $h$ — расстояние в метрах, $t$ — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло $1,2$ с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на $0,2$ с? Ответ выразите в метрах.

Решение: + показать

Задача 2. Зависимость объeма спроса $q$ (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $p$ (тыс. руб.) задаeтся формулой $q=85-5p.$ Выручка предприятия за месяц $r$ (в тыс. руб.) вычисляется по формуле $r(p)=q\cdot p.$  Определите наибольшую цену $p$, при которой месячная выручка $r(p)$  составит не менее $210$ тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Решение: + показать

Задача 3. Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=1,6+13t-5t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $4$ метров?

Решение:  + показать

Задача 4. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0=81$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=24$  км/ч². Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S=v_0t+\frac{at^2}{2},$ где $t$— время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в $21$ км от города. Ответ выразите в минутах.

Решение:  + показать

Задача 5. Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна  $P=m(\frac{v^2}{L}-g)$, где $m$ — масса воды в килограммах, $v$ — скорость движения ведeрка в м/с, $L$ — длина верeвки в метрах, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с$^2$). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна $160$ см? Ответ выразите в м/с.

Решение:  + показать

Задача 6. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t)=at^2+bt+H_0,$  где $H_0=2$ м — начальный уровень воды, $a=\frac{1}{512}$  м/мин², и $b=-\frac{1}{8}$ м/мин — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Решение:  + показать

Задача 7. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t)=H_0-\sqrt{2gH_0}kt+\frac{g}{2}k^2t^2$, где $t$ — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана,  $H_0=20$ м — начальная высота столба воды, $k=\frac{1}{400}$ — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=10$  м/с$^2$). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

Решение:  + показать

Задача 8. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением $T(t)=T_0+bt+at^2$, где $t$ — время в минутах, $T_0=1450$ К,  $a=-12,5$ К/мин$^2$, $b=175$ К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше $1750$ К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение:  + показать

Задача 9. Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2} $ , где $t$ — время в минутах,  $\omega =40^{\circ}/$мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta =4^{\circ}/$ мин$^2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $\varphi$  достигнет $3000$˚. Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.

Решение:  + показать

Задача 10. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $v_0=20$  м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a=5$  м/с$^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S=v_0t-\frac{at^2}{2}$  (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $30$ метров. Ответ выразите в секундах.

Решение:  + показать

Задача 11. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой $m=6$  кг и радиуса $R=15$  см, и двух боковых с массами $M=1$  кг и с радиусами $R+h$. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг$\cdot$см$^2$, даeтся формулой $I=\frac{(m+2M)R^2}{2}+M(2Rh+h^2)$. При каком максимальном значении $h$ момент инерции катушки не превышает предельного значения 1300 кг$\cdot$ см$^2$? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:  + показать

Задача 12. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A=\alpha \rho gr^3$, где $\alpha=4,2$  — постоянная, $r$ — радиус аппарата в метрах, $\rho =1000$ кг/м$^3$  — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=10$ Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем $42000$ Н? Ответ выразите в метрах.

Решение:  + показать

Задача 13. Для определения эффективной температуры звeзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвeртой степени температуры: $P=\sigma ST^4$ , где $\sigma=5,7\cdot 10^{-8}$  — постоянная, площадь $S$ измеряется в квадратных метрах, а температура $T$— в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь $S=\frac{1}{128}\cdot 10^{20}$  м$^2$, а излучаемая ею мощность $P$ не менее $1,14\cdot 10^{25}$ Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

Решение:  + показать

Задача 14. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A=\rho gl^3,$ где $l$— длина ребра куба в метрах, $\rho=1000$ кг/м$^3$  — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=9,8$ Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем $78400$ Н? Ответ выразите в метрах.

Решение:  + показать

Вы можете пройти тест Физические задачи на квадратные/степенные уравнения или неравенства