Главная
Справочник
Видеоуроки
Тесты
Статьи
Архив
Карта сайта
Контакты
Продолжаем решать простейшие геометрические задачки. Разбираем Задачи №6 ЕГЭ по математике.
Сегодня работаем с окружностью, вписанной в многоугольник и описанной около многоугольника.
Вы можете пройти автотренинг «Планиметрия»
В категорию «Задачи №6» входят также задачи следующих типов + показать
Окружность, вписанная в многоугольник
Задача 1.
Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16. 
Решение: + показать
Задача 2.
Сторона ромба равна 58, острый угол равен 30˚. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба. 
Решение: + показать
и 
. Тогда 
– диаметр окружности (точка пересечения диагоналей О – 
).
. Так как 
по условию, то
, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы 
.
, то есть 14,5.Задача 3.
Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.
Решение: + показать
=> 
Задача 4.
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции.
Решение: + показать
, что хорошо видно на картинке (равные отрезки помечены согласно 
.
– есть полусумма оснований, то 
.Задача 5.
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 80, ее большая боковая сторона равна 30. Найдите радиус окружности.
Решение: + показать
, то 
по условию, то 
.
.
Задача 6.
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB=52, CD=53. Найдите периметр четырехугольника.
Решение: + показать
(ранее эту формулу применяли для трапеции (что являлось частным случаем применения формулы).
.Задача 7.
Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:17:23 . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 84.
Решение: + показать
.
. 
Задача 8.
Около окружности, радиус которой равен 
, описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата. 
Решение: + показать
. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. Поэтому радиус описанной окружности есть 
Задача 9.
Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен 
.
Решение: + показать
:
– медиана и высота, 
. 
Ответ: 66. Окружность, описанная около многоугольника
Задача 1.
Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 26˚. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. 
Решение: + показать
опирается на дугу 
, значит дуга 
, дополняющая дугу 
Задача 2.
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. 
Решение: + показать
опирается на дугу 
Задача 3.
Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:2:7:26. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
в сумме составляют 360˚.
градусов.
градусов, значит 
Задача 4.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38˚, угол CAD равен 33˚. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
, значит дуга 
равна 
.
, значит дуга 
равна 
. Тогда дуга 
Стало быть, 
Ответ: 5. Задача 5.
Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и 
. 
Решение: + показать
описанной окружности около прямоугольника
Задача 6.
Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса 
.
Решение: + показать
квадрата – диаметр окружности.
.
по т. Пифагора 
Задача 7.
Меньшая сторона прямоугольника равна 16. Угол между диагоналями равен 60˚. Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.
Решение: + показать
– равносторонний, так как 
.Задача 8.
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.
Решение: + показать
).
, при этом 
.
Задача 9.
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60˚, большее основание равно 82. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции. 
Решение: + показать
, 
(где 
– основания высот, опущенных к большему основанию).
с углом 
в 30˚ 
по свойству катета против угла в 30˚.
.
, где 
Задача 10.
Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции. 
Решение: + показать
есть сумма длин высот 
треугольников 
и 
.
(по т. Пифагора из треугольника 
);
(по т. Пифагора из треугольника 
);
Задача 11.
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 56˚ и 99˚. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
, то 
, то 
и есть наибольший.Задача 12.
Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника 
, если стороны квадратных клеток равны 1.
Решение: + показать
Задача 13.
Периметр правильного шестиугольника равен 108. Найдите диаметр описанной окружности.
Решение: + показать
и 
Задача 14.
Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 72˚. Найдите n.
Решение: + показать
.
и 
штук, в сумме углы при вершине 
этих треугольников дают 360˚.
Задача 15.
Около окружности, радиус которой равен 
, описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.
Решение: + показать
и т.д. – равные, равносторонние. Их сторона равна радиусу описанной около правильного шестиугольника окружности.
, (где 
, 
Самое время отдохнуть! –>+ показать
Вы можете пройти тест по теме «Окружность и многоугольник».
8-я задача по описанным окружностям… не могу понять, то ли в условии ошибка, то ли в решении…
Где именно что не так?
ну, если периметр 60, то средняя линия должна быть 15… в решении говорится что ВС+AD=50, а должно быть 30, ведь трапеция вписана в окружность…
«ну, если периметр 60, то средняя линия должна быть 15…» Почему?
«ВС+AD=50» – это верно!
если ВС+AD=50, то периметр должен быть 100, разве не так?
Вовсе нет. Почему вы считаете, что суммы противоположных сторон равны? У нас случай не впис. окр., а опис.
блин, я перепутал, здесь же описанная окружность, а не вписанная…
Теперь точно будете особенно бдительны в таких задачках… Главно, ошибаться сейчас, а не на ЕГЭ…
в задаче 11 / 180 – 99 = 81, а не 79!!!
Конечно, – исправлено. Спасибо!
Здравствуйте Елена , а почему в 12 задаче просто не поделить ВD пополам?
Татьяна, конечно. Тормоза сработали… Спасибо! ;)