Задачи №6. Многоугольник и окружность.

– прямоугольный треугольник, вычисление углов; – прямоугольный треугольник, вычисление длин; – равнобедренный треугольник, вычисление углов и длин; – треугольник; – параллелограмм; – трапеция; – ромб, прямоугольник; – центральные и вписанные углы; – секущие, касательные, хорды; – окружность и  треугольник;

Радиус вписанной окружности в квадрат – есть половина стороны квадрата.

Поэтому

Ответ: 8. 

Пусть точки касания окружности противоположных сторон ромба – и . Тогда – диаметр окружности (точка пересечения диагоналей О – центр симметрии параллелограмма, значит и ромба).

– есть расстояние  между противоположными сторонами ромба так же, как и высота ромба ().

Рассмотрим прямоугольный треугольник . Так как по условию, то катет , противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы . То есть .

Стало быть, радиус вписанной окружности есть , то есть 14,5.

Ответ: 14,5. 

Высота трапеции  – есть диаметр вписанной окружности в трапецию.

=>

Ответ: 28. 

Раз в трапецию  вписана окружность, значит , что хорошо видно на картинке (равные отрезки помечены согласно свойству отрезков касательных).

Итак, .

А поскольку средняя линия – есть полусумма оснований, то .

Ответ: 16. 

Так как и , то

Поскольку по условию, то .

Далее, .

Ответ: 5. 

Раз в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то  (ранее эту формулу применяли для трапеции (что являлось частным случаем применения формулы).

.

Ответ: 210. 

В выпуклый четырехугольник вписана окружность, значит .

По условию три стороны  четырехугольника относятся как 1:17:23, пусть тогда .

Итого,

Наконец, так как по условию периметр четырехугольника равен 84, то

Очевидно, большая сторона – это .

Ответ: 40,25. 

Сторона квадрата вдвое больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому сторона квадрата равна . Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. Поэтому радиус описанной окружности есть

Ответ: 6.

Шестиугольник составлен из 6 правильных треугольников.

Рассмотрим правильный треугольник :

 В нем – медиана и высота, . Ответ: 66. 

Вписанный в окружность угол опирается на дугу , значит дуга по свойству вписанного угла.

Дуга , дополняющая дугу  до  окружности, равна

Тогда

Ответ: 154. 

Вписанный угол опирается на дугу , равную 78˚+136˚=214˚.

Значит сам угол равен

Ответ: 107. 

Дуги  в сумме составляют 360˚.

Так как градусные меры дуг AB, BC, CD и AD относятся соответственно как 1:2:7:26, то пусть градусов.

Угол опирается на дугу градусов, значит

Ответ: 45. 

, значит дуга равна .

, значит дуга равна . Тогда дуга равна Стало быть, Ответ: 5. 

Радиус описанной окружности около прямоугольника – половина диагонали.

По т. Пифагора:

Ответ: 9. 

Диагональ квадрата – диаметр окружности.

Обозначим сторону квадрата за  .

Из треугольника по т. Пифагора

Ответ: 90. 

Диагонали прямоугольника – диаметры окружности.

Треугольник – равносторонний, так как

Значит,  .

Ответ: 16. 

Раз трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная ().

Средняя линия трапеции есть полусумма оснований , при этом .

Ответ: 5. 

1) Трапеция, вписанная в окружность, – равнобедренная.

, (где – основания высот, опущенных к большему основанию).

Из прямоугольного треугольника с углом в 30˚ по свойству катета против угла в 30˚.

Значит,

2) Окружность описана и вокруг треугольника .

Треугольник равнобедренный с углом при вершине в 120˚. Значит,

Применяем теорему синусов:

, где – радиус окружности, описанной около треугольника (и около трапеции ).

Ответ: 41. 

Длина высоты трапеции есть сумма длин высот треугольников и .

(по т. Пифагора из треугольника );

 (по т. Пифагора из треугольника );

Ответ: 7. 

Данные два угла не могут быть противоположными, так как иначе их сумма должна была бы быть 180˚ (так как они опираются на дополняющие друг друга дуги до окружности).

Если  , то

 Если  , то

Угол и есть наибольший.

Ответ: 124. 

Диаметр описанной окружности около прямоугольника – диагональ прямоугольника.

Ответ: 2,5. 

Рассмотрим треугольник . Он равносторонний, т.к.  и  

Значит, диаметр окружности  есть

Ответ: 36. 

Рассмотрим треугольник .

Он  равнобедренный, так как

Значит,  и  

Таких равных равнобедренных треугольников у нас штук, в сумме углы при вершине этих треугольников дают 360˚.

Тогда

Ответ: 10. 

Треугольники и т.д. – равные, равносторонние. Их сторона равна радиусу  описанной около правильного шестиугольника окружности.

Из прямоугольного треугольника , (где , – радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник):

Ответ: 3. 

Кто-то развлекается так. А вы как?