01. Ромб. Прямоугольник

По свойству ромба соседние углы  в сумме дают $180^{\circ}$.

Тогда

$\angle D=180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}.$

По свойству ромба диагонали являются биссектрисами углов.

Тогда

$\angle BDC=\angle BDA=\frac{144^{\circ}}{2}=72^{\circ}.$

Ответ: $72.$ 

Так как треугольник  $ABD$ равнобедренный и угол напротив основания равен $60^{\circ}$, то

$\angle B=\angle D=\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2}=60^{\circ}.$

Значит треугольник $ABD$ – равносторонний. Тогда $BD=38.$

Диагональ $BD$ и будет наименьшей, так как она лежит против меньшего угла.

Ответ: $38.$ 

Мы уже говорили в предыдущей задаче, что если в ромбе один из углов равен $60^{\circ}$, то диагональ напротив этого угла обязательно будет равна стороне ромба. То есть треугольник $ABD$ – равносторонний.

Рассмотрим треугольник $ABH$, где $BH$ – высота ромба.

В нем известны все углы.

Также известна длина $AH$, ведь в равностороннем треугольнике высота будет являться и медианой.

Значит,

$AH=\frac{11\sqrt3}{2}.$

Далее,

$tg A=\frac{BH}{AH};$

$\sqrt3=\frac{BH}{\frac{11\sqrt3}{2}};$

$BH=16,5.$

Ответ: $16,5.$ 

По свойству  ромба  диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

Значит в прямоугольном треугольнике $ABO$ нам известны катеты:

$BO=6,\;AO=8$.

Тогда по т. Пифагора

$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10.$

Ответ: $10.$ 

$S=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{4\cdot 38}{2}=76.$

Ответ: $76.$ 

$S=\frac{d_1\cdot d_2}{2};$

$72=\frac{4\cdot d_2}{2};$

$d_2=36.$

Ответ: $36.$ 

Пусть диагонали пересекаются в точке $O.$

Диагонали ромба относятся как $1:3,$ значит  и $DO:AO=1:3.$

Пусть $DO=x,AO=3x.$

Периметр ромба равен $90,$ откуда $AD=\frac{90}{4}=\frac{45}{2}.$

Треугольник $ADO,$ теорема Пифагора:

$(\frac{45}{2})^2=x^2+(3x)^2;$

$x^2=\frac{45^2}{40}.$

С одной стороны

$S_{ABCD}=AD\cdot h,$

с другой

$S_{ABCD}=4\cdot \frac{AO\cdot DO}{2}.$

Откуда

$h=\frac{S}{AD}=\frac{2AO\cdot DO}{AD}=\frac{2\cdot x\cdot 3x}{\frac{45}{2}}=\frac{6x^2}{45}=\frac{12\cdot \frac{45^2}{40}}{45}=13,5.$

Ответ: $13,5.$

Пусть $x$ – одна из сторон прямоугольника.

Так как полупериметр равен $16,$ соседняя сторона – $(16-x).$

Площадь прямоугольника $28,$ поэтому

$x(16-x)=28;$

$x^2-16x+28=0;$

$x=8\pm 6;$

$x=14$ или $x=2.$

Большая сторона прямоугольника – $14.$

Ответ: $14.$ 

Пусть $AB=x, BC=y.$

Так как полупериметр равен $12,$  $x+y=12.$

Диагональ $AC$ прямоугольника по условию равна $11,$ поэтому согласно теореме Пифагора имеем:

$x^2+y^2=11^2.$

Имеем

$2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)=12^2-11^2=23,$

откуда

$S=23:2=11,5$

Ответ: $11,5.$

Пусть $AB=x, BC=y.$

Так как полупериметр равен $10,$  $x+y=5.$

Согласно условию $S=4,5,$ значит $xy=4,5.$

Имеем

$AC^2=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=25-9=16,$

откуда

$AC=4.$

Ответ: $4.$ 

$S=\frac{d^2}{2}=\frac{24^2}{2}=288.$

Ответ: $288.$ 

В прямоугольнике диагонали равны (свойство диагоналей прямоугольника), а так как они еще и делятся в точке пересечения пополам (свойство диагоналей параллелограмма), то ∆$AOB$ – равнобедренный.

Но поскольку в ∆$AOB$ угол против основания равен $60^{\circ}$, то и оставшиеся, равные по свойству равнобедренного треугольника углы,  равны по $60^{\circ}$. Стало быть, ∆$AOB$ – равносторонний.

Тогда $AO=BO=CO=OD=20$, $AC=BD=40.$

Ответ: $40.$ 

Так как все углы прямоугольника равны $90$˚, то, если $\angle CAD=x$ и $\angle BAC=2x$, получим:

$2x+x=90˚;$

$x=30.$

Треугольник $ACD$ – прямоугольный с углом $30$˚.

Меньшей будет именно сторона  $CD$ (или $AB$), т.к. в ∆$ABC$ (или в ∆$CDA$) против меньшего угла лежит меньшая сторона.

Катет $CD$ против угла в $30^{\circ}$˚  равен половине гипотенузы:

$AC=2CD=82.$

Ответ: $82.$ 

Диагональ прямоугольника – гипотенуза, например, прямоугольного треугольника $ACD$. Так как она вдвое больше одной из сторон прямоугольника (катета $CD$ прямоугольного треугольника), то угол $A$, лежащий против этой стороны, равен $30^{\circ}$.

Тогда больший угол, который образует диагональ со сторонами прямоугольника, – $60^{\circ}.$

Ответ: $60.$