Задачи №6. Ромб. Прямоугольник

– прямоугольный треугольник, вычисление углов;

– прямоугольный треугольник, вычисление длин;

– равнобедренный треугольник, вычисление углов и длин;

– треугольник;

– параллелограмм;

– трапеция;

– центральные и вписанные углы;

– секущие, касательные, хорды;

– окружность и треугольник;

– окружность и  многоугольник;

1) По свойству ромба соседние углы  в сумме дают .

Значит

2) По свойству ромба диагонали являются биссектрисами углов.

Значит,

Ответ: 72. 

Так как треугольник   равнобедренный и угол напротив основания равен , то

Значит треугольник – равносторонний. Тогда

Диагональ и будет наименьшей, так как она лежит против меньшего угла (вытекает из теоремы косинусов).

Ответ: 38. 

1) Мы уже говорили в предыдущей задаче, что если в ромбе один из углов равен , то диагональ напротив этого угла обязательно будет равна стороне ромба. То есть треугольник – равносторонний.

2) Рассмотрим треугольник , где – высота ромба.

В нем известны все углы.

Также известна длина , ведь в равностороннем треугольнике высота будет являться и медианой. Значит,

Ответ: 16,5. 

По свойству  ромба  диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

Значит в прямоугольном треугольнике нам известны катеты: .

Тогда по т. Пифагора

Ответ: 10. 

В прямоугольнике диагонали равны (свойство диагоналей прямоугольника), а так как они еще и делятся в точке пересечения пополам (свойство диагоналей параллелограмма), то ∆ – равнобедренный.

Но поскольку в ∆ угол против основания равен , то и оставшиеся, равные по свойству равнобедренного треугольника углы,  равны по . Стало быть, ∆ – равносторонний.

Тогда ,

Ответ: 40. 

Так как все углы прямоугольника равны 90˚, то, если мы обозначим    за и за , получим:

Треугольник – прямоугольный с углом 30˚.

Меньшей будет именно сторона   (), т.к. в ∆∆ против меньшего угла лежит меньшая сторона.

Катет против угла в 30˚равен половине гипотенузы:

Ответ: 82. 

Диагональ прямоугольника – гипотенуза прямоугольного треугольника. Так как она вдвое больше одной из сторон прямоугольника (катета прямоугольного треугольника), то угол, лежащий против этой стороны, равен .

Тогда больший угол, который образует диагональ со сторонами прямоугольника, –

Ответ: 60.