Задания №11. Задачи на движение по окружности

2015-09-04

Смотрите также другие типы Задач №11 ЕГЭ по математике: 1 (на среднюю скорость), 3 (движение по воде), 4 (на работу), 5 (на движение по прямой), 6 (на прогрессии), 7 (на смеси и сплавы).

Также смотрите видеолекцию «Текстовые задачи».

Задача 1.

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 19 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 15 км/ч больше скорости другого?

Решение:

Пусть t ч – время в пути мотоциклистов до первой встречи (стартовали одновременно).

Пусть x км/ч – скорость одного из мотоциклистов, тогда скорость второго – x+15 км/ч согласно условию.

Тогда  tx (км) – путь, пройденный мотоциклистом с меньшей скоростью до встречи. А второй мотоциклист до встречи должен будет преодолеть t(x+15) км, что на 9,5 км, согласно условию, больше пути, пройденного первым.

Составим уравнение:

t(x+15)-tx=9,5;

15t=9,5;

t=\frac{19}{30};

Полученное время выражается в часах. Переведем в минуты, как того требуется в задаче:

\frac{19}{30}ч=\frac{19\cdot 60}{30} мин=38 мин.

Ответ: 38.

Задача 2.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 25 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 25 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

За 25 минут, то есть   за \frac{5}{12} часа первый автомобиль, ехавший со скоростью 112 км/ч,  проехал \frac{112\cdot 5}{12}=\frac{140}{3} км.

Раз второй автомобиль проехал на 25 км меньше, то его путь составил \frac{140}{3}-25=\frac{65}{3} км.

Второй автомобиль проехал путь в \frac{65}{3} км за \frac{5}{12} часа, значит его скорость составляет: \frac{\frac{65}{3}}{\frac{5}{12}}=52 (км/ч).

Ответ: 52.

Задача 3.

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть скорость мотоциклиста – x км/мин. За 8 минут он преодолел путь 8x км.

Этот же путь проделал велосипедист за 48 минут. Тогда его скорость – \frac{8x}{48}, то есть \frac{x}{6} км.

За следующие 36 минут  велосипедист проедет \frac{x}{6}\cdot 36=6x км.

А мотоциклист 36x км. При этом его путь на 30 км больше, чем путь, проделанный велосипедистом.

Поэтому

36x-30=6x;

30x=30;

x=1 (км/мин).

Переведем скорость в км/час:

1км/мин =60 км/ч.

Ответ: 60.

Задача 4.

Часы со стрелками показывают 6 часов 45 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?

Решение:

Если считать, что на циферблате насчитывается 12 делений (1 деление – 1 час), то скорость часовой стрелки – 1 деление в час, скорость минутной – 12 делений в час.

За одно и тоже время минутная и часовая стрелки проходят разные расстояния.

На начало наблюдения минутную и часовую стрелки отделяет  9+\frac{3}{4}=9,75 делений.

Например, минутная стрелка в первый раз догонит часовую, когда пройдет 9,75 делений  и еще то расстояние (количество делений), которое пройдет часовая стрелка до момента встречи с минутной.

Пусть x делений – путь, который проделает часовая стрелка пока ее пятый раз догоняет минутная.  Тогда минутная пройдет – x+4\cdot 12+9,75 делений.

Тогда

\frac{x+48+9,75}{12}=\frac{x}{1};

x+57,75=12x;

11x=57,75;

x=5,25 делений

Тогда 5,25 делений=5,25 часа =5,25\cdot 60 мин=315 минут.

Ответ: 315.

Смотрите фрагмент видеолекции «Текстовые задачи»

Вы можете пройти тест по Задачам №11, задачи на движение по окружности.

Печать страницы
Комментариев: 13
  1. Любовь

    Можно и так в задаче 4.
    Если на часах точное время, а нужно узнать через сколько минут минутная стрелка догонит часовую в n-ый раз, то время = n*60, т.к. оборот минутная стрелка начинает сразу, потому что стоит на 12, и один раз за час догоняет часовую, т.е. совершит n оборотов, а каждый оборот – это 60 минут, т.е n*60.
    Если же на часах любое число часов, а время m минут, то время = n*60+60-m, т.к. до начала оборотов минутной стрелке надо пройти (6о-m) минут, а потом совершить n оборотов.
    60-45+5*60=315.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пожалуйста! Способ решения, конечно, не один ;)

      [ Ответить ]
    • Ева

      спасибо большое вам за развернутый ответ!
      Теперь я поняла как можно еще решать. Самое понятное объяснение!)))

      [ Ответить ]
      • egeMax

        Я рада! :D

        [ Ответить ]
        • Татьяна

          Спасибо большое!

          [ Ответить ]
  2. Джульетта

    Великолепный сайт! Буду рекомендовать ученикам. Спасибо.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Джульетта, спасибо!

      [ Ответить ]
  3. Елена

    Уважаемая Елена Юрьевна!!!Прошу Вашей помощи в решении такой задачки:Часы со стрелками показывают 10 часов 20 минут.Через сколько минут минутная стрелка во второй раз поравняется с часовой?-решаю я эту задачу способом как Вы задачу №4….и получаю ответ:150минут…….
    Но если рассуждать логически,то стрелки поравняются во второй раз в 12.00!!значит,ответ должен быть: 100минут……
    ПОМОГИТЕ,пожалуйста,разобраться,где же правильный ответ!!!!http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Елена, правильный ответ – 100 минут. Я не могу вам помочь, не видя ваших рассуждений…
      Видимо, закралась ошибка в ваши рассуждения. Пишите что да как…

      [ Ответить ]
      • Елена

        Елена Юрьевна,вот моё решение(извините,не умею набирать формулы…):
        1)s(мин)=12дел/час -скорость минутной стрелки;
        s(час)=1дел/час – скорость часовой стрелки.
        2)за 20 мин=1/3час стрелки прошли:
        s(мин)= 4 дел; s(час)= 1/3дел.
        3)расстояние между стрелками в момент времени t=10ч20мин равно:
        s*=6+1/3=19/3 дел.
        4)Пусть s**(час)=х – расстояние,которое пройдёт часовая стрелка до момента,когда минутная стрелка догонит её во второй раз;
        тогда s**(мин)=1круг+х+s*=12+x+19/3=x+55/3.
        5)t(мин)=t(час)-время минутной и часовой стрелок до момента.когда минутная стрелка во второй раз поравняется с часовой
        получаем уравнение:
        х/1=(x+55/3)/12
        12x=x+55/3
        11x=55/3
        x=5/3
        6)t(час)=x/1=5/3час=100 мин.
        http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gifУважаемая Елена Юрьевна,пока набирала своё решение,увидела досадную описку…вместо знаменателя 3 у меня в решении было почему-то 2http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gifНевнимательность моя,снова меня подвела(((
        Извините за беспокойство…….
        С уважением,Елена.http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Ну вот и славно))

          [ Ответить ]
  4. Светлана

    Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 8 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 4 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 24 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 12 км. Ответ дайте в км/ч. Помогите решить!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Не пробовали смотреть задачу 3 статьи?

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif