Задача 1. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна
км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на
км/ч больше скорости другого? Видео*
Решение: + показать

Пусть
ч – время в пути мотоциклистов до первой встречи (стартовали одновременно).
Пусть
км/ч – скорость одного из мотоциклистов, тогда скорость второго –
км/ч согласно условию.

Тогда
(км) – путь, пройденный мотоциклистом с меньшей скоростью до встречи. А второй мотоциклист до встречи должен будет преодолеть
км, что на 9,5 км, согласно условию, больше пути, пройденного первым.
Составим уравнение:



Полученное время выражается в часах. Переведем в минуты, как того требуется в задаче:
ч=
мин=
мин.
Ответ:
Задача 2. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна
км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна
км/ч, и через
минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Решение: + показать
За
минут, то есть за
часа первый автомобиль, ехавший со скоростью
км/ч, проехал
км.
Раз второй автомобиль проехал на
км меньше, то его путь составил
км.
Второй автомобиль проехал путь в
км за
часа, значит его скорость составляет
(км/ч).
Ответ:
Задача 3. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через
минут следом за ним отправился мотоциклист. Через
минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через
минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна
км. Ответ дайте в км/ч.
Решение: + показать
Пусть скорость мотоциклиста –
км/мин.
За
минут он преодолел путь
км.
Этот же путь проделал велосипедист за
минут.
Тогда его скорость –
, то есть
км/ч.
За следующие
минут велосипедист проедет
км.
А мотоциклист проедет
км,
При этом его путь на
км больше, чем путь, проделанный велосипедистом.
Поэтому


(км/мин).
Переведем найденную скорость в км/час:
км/мин
км/ч.
Ответ:
Задача 4. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать
кругов по кольцевой трассе протяжённостью
км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на
минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через
минут? Ответ дайте в км/ч.
Решение: + показать
Пусть второй гонщик прошел за первые
минут
км, тогда первый гонщик прошел
км.
Тогда скорости второго и первого гонщиков
км/мин и
км/мин.
Длина гоночной трассы –
км.
Тогда первый гонщик весь путь преодолел за
минут, второй – за
минут.
А поскольку на финиш первый пришёл раньше второго на
минут, то






Откуда 
Наконец, скорость второго гонщика есть
км/мин
км/ч.
Ответ:
Задача 5. Часы со стрелками показывают
часов
минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?
Решение: + показать
Если считать, что на циферблате насчитывается
делений (
деление –
час), то скорость часовой стрелки –
деление в час, скорость минутной –
делений в час.
За одно и тоже время минутная и часовая стрелки проходят разные расстояния.
На начало наблюдения минутную и часовую стрелки отделяет
делений.

Например, минутная стрелка в первый раз догонит часовую, когда пройдет
делений и еще то расстояние (количество делений), которое пройдет часовая стрелка до момента встречи с минутной.
Пусть
делений – путь, который проделает часовая стрелка пока ее пятый раз догоняет минутная. Тогда минутная пройдет –
делений.
Стало быть,




Тогда
делений
часа
мин
минут.
Ответ:
.

Вы можете пройти тест “Задачи на движение по окружности”
Можно и так в задаче 4.
Если на часах точное время, а нужно узнать через сколько минут минутная стрелка догонит часовую в n-ый раз, то время = n*60, т.к. оборот минутная стрелка начинает сразу, потому что стоит на 12, и один раз за час догоняет часовую, т.е. совершит n оборотов, а каждый оборот – это 60 минут, т.е n*60.
Если же на часах любое число часов, а время m минут, то время = n*60+60-m, т.к. до начала оборотов минутной стрелке надо пройти (6о-m) минут, а потом совершить n оборотов.
60-45+5*60=315.
Пожалуйста! Способ решения, конечно, не один ;)
спасибо большое вам за развернутый ответ!
Теперь я поняла как можно еще решать. Самое понятное объяснение!)))
Я рада! :D
Спасибо большое!
Великолепный сайт! Буду рекомендовать ученикам. Спасибо.
Джульетта, спасибо!
Уважаемая Елена Юрьевна!!!Прошу Вашей помощи в решении такой задачки:Часы со стрелками показывают 10 часов 20 минут.Через сколько минут минутная стрелка во второй раз поравняется с часовой?-решаю я эту задачу способом как Вы задачу №4….и получаю ответ:150минут…….
Но если рассуждать логически,то стрелки поравняются во второй раз в 12.00!!значит,ответ должен быть: 100минут……
ПОМОГИТЕ,пожалуйста,разобраться,где же правильный ответ!!!!
Елена, правильный ответ – 100 минут. Я не могу вам помочь, не видя ваших рассуждений…
Видимо, закралась ошибка в ваши рассуждения. Пишите что да как…
Елена Юрьевна,вот моё решение(извините,не умею набирать формулы…):
Уважаемая Елена Юрьевна,пока набирала своё решение,увидела досадную описку…вместо знаменателя 3 у меня в решении было почему-то 2
Невнимательность моя,снова меня подвела(((
1)s(мин)=12дел/час -скорость минутной стрелки;
s(час)=1дел/час – скорость часовой стрелки.
2)за 20 мин=1/3час стрелки прошли:
s(мин)= 4 дел; s(час)= 1/3дел.
3)расстояние между стрелками в момент времени t=10ч20мин равно:
s*=6+1/3=19/3 дел.
4)Пусть s**(час)=х – расстояние,которое пройдёт часовая стрелка до момента,когда минутная стрелка догонит её во второй раз;
тогда s**(мин)=1круг+х+s*=12+x+19/3=x+55/3.
5)t(мин)=t(час)-время минутной и часовой стрелок до момента.когда минутная стрелка во второй раз поравняется с часовой
получаем уравнение:
х/1=(x+55/3)/12
12x=x+55/3
11x=55/3
x=5/3
6)t(час)=x/1=5/3час=100 мин.
Извините за беспокойство…….
С уважением,Елена.
Ну вот и славно))
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 8 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 4 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 24 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 12 км. Ответ дайте в км/ч. Помогите решить!
Не пробовали смотреть задачу 3 статьи?
Помогите решить задачу:
Два велосипедиста одновременно выехали в разных направлениях по велотреку, который имеет форму круга. Даны скорости велосипедистов: 12 и 13 (км/час).
Какое расстояние будет между велосипедистами через 12 минут, если длина круга 2 км?