09. Задачи на движение по окружности

Пусть $t$ ч – время в пути мотоциклистов до первой встречи (стартовали одновременно).

Пусть $x$ км/ч – скорость одного из мотоциклистов, тогда скорость второго – $(x+15)$ км/ч согласно условию.

Тогда  $tx$ (км) – путь, пройденный мотоциклистом с меньшей скоростью до встречи. А второй мотоциклист до встречи должен будет преодолеть $t(x+15)$ км, что на 9,5 км, согласно условию, больше пути, пройденного первым.

Составим уравнение:

$t(x+15)-tx=9,5;$

$15t=9,5;$

$t=\frac{19}{30}.$

Полученное время выражается в часах. Переведем в минуты, как того требуется в задаче:

$\frac{19}{30}$ ч=$\frac{19\cdot 60}{30}$ мин=$38$ мин.

Ответ: $38.$ 

За $25$ минут, то есть   за $\frac{5}{12}$ часа первый автомобиль, ехавший со скоростью $112$ км/ч,  проехал

$\frac{112\cdot 5}{12}=\frac{140}{3}$ км.

Раз второй автомобиль проехал на $25$ км меньше, то его путь составил

$\frac{140}{3}-25=\frac{65}{3}$ км.

Второй автомобиль проехал путь в $\frac{65}{3}$ км за $\frac{5}{12}$ часа, значит его скорость составляет

$\frac{\frac{65}{3}}{\frac{5}{12}}=52$ (км/ч).

Ответ: $52.$ 

Пусть скорость мотоциклиста – $x$ км/мин.

За $8$ минут он преодолел путь $8x$ км.

Этот же путь проделал велосипедист за $48$ минут.

Тогда его скорость – $\frac{8x}{48}$, то есть $\frac{x}{6}$ км/ч.

За следующие $36$ минут  велосипедист проедет

$\frac{x}{6}\cdot 36=6x$ км.

А мотоциклист проедет

$36x$ км,

При этом его путь на $30$ км больше, чем путь, проделанный велосипедистом.

Поэтому

$36x-30=6x;$

$30x=30;$

$x=1$ (км/мин).

Переведем найденную скорость в км/час:

$1$км/мин $=60$ км/ч.

Ответ: $60.$ 

Пусть второй гонщик прошел за первые $60$ минут $x$ км, тогда первый гонщик прошел $(x+6)$ км.

Тогда скорости второго и первого гонщиков

$\frac{x}{60}$ км/мин   и   $\frac{x+6}{60}$ км/мин.

Длина гоночной трассы – $68\cdot 6=408$ км.

Тогда первый гонщик весь путь преодолел за $\frac{408}{\frac{x+6}{60}}$ минут, второй – за $\frac{408}{\frac{x}{60}}$ минут.

А поскольку на финиш первый пришёл раньше второго на $15$ минут, то

$\frac{408}{\frac{x}{60}}-15=\frac{408}{\frac{x+6}{60}};$

$\frac{408\cdot 60}{x}}-15=\frac{408\cdot 60}{x+6};$
$\frac{408\cdot 4}{x}}-1=\frac{408\cdot 4}{x+6};$

$1632(x+6)-x(x+6)=1632x;$

$x^2+6x-9792=0;$

$x=-3\pm 99;$

Откуда $x=96.$

Наконец, скорость второго гонщика есть

$\frac{x}{60}=\frac{16}{10}$ км/мин $=96$ км/ч.

Ответ: $96.$ 

Если считать, что на циферблате насчитывается $12$ делений ($1$ деление – $1$ час), то скорость часовой стрелки – $1$ деление в час, скорость минутной – $12$ делений в час.

За одно и тоже время минутная и часовая стрелки проходят разные расстояния.

На начало наблюдения минутную и часовую стрелки отделяет

$9+\frac{3}{4}=9,75$ делений.

Например, минутная стрелка в первый раз догонит часовую, когда пройдет $9,75$ делений  и еще то расстояние (количество делений), которое пройдет часовая стрелка до момента встречи с минутной.

Пусть $x$ делений – путь, который проделает часовая стрелка пока ее пятый раз догоняет минутная.  Тогда минутная пройдет – $x+4\cdot 12+9,75$ делений.

Стало быть,

$\frac{x+48+9,75}{12}=\frac{x}{1};$

$x+57,75=12x;$

$11x=57,75;$

$x=5,25.$

Тогда

$5,25$ делений$ =5,25$ часа $=5,25\cdot 60$ мин$=315$ минут.

Ответ: $315$.