09. Задачи на движение по воде

Пусть скорость лодки в неподвижной воде – $x$ км/ч.

Тогда скорость лодки по течению – $(x+1)$  км/ч, против течения – $(x-1)$ км/ч.

Заполняем первые две колонки таблицы. После чего заполняем третью колонку, пользуясь формулой $t=\frac{S}{V}.$

Поскольку на обратный путь лодка затратила на $2$ часа меньше, то

$\frac{120}{x+1}+2=\frac{120}{x-1};$

$120(x-1)+2(x-1)(x+1)=120(x+1),\;x\neq \pm 1;$

$120x-120+2x^2-2=120x+120,\;x\neq \pm 1;$

$2x^2=242;$

$x^2=121.$

В силу положительности величины $x$, имеем:

$x=11.$

Ответ: $11.$

Пусть собственная скорость байдарки – $x$ км/ч.

В одну сторону байдарка плыла по течению (со скоростью – $(x+2)$ км/ч), в другую – против течения (со скоростью $(x-2)$ км/ч).

Заполним таблицу:

Байдарка затратила на весь путь “АВ–ВА”

$6$ часов$ – 1$ час $20$ минут $=4$ часа $40$  минут

или

$4\frac{2}{3}$ часа.

Поэтому

$\frac{15}{x-2}+\frac{15}{x+2}=4\frac{2}{3};$

$\frac{15}{x-2}+\frac{15}{x+2}=\frac{14}{3};$

$45(x+2)+45(x-2)=14(x-2)(x-2),\;x\neq \pm 2;$

$90x=14x^2-56;,\;x\neq \pm 2;$

$7x^2-45x-28=0;$

$x=\frac{45\pm \sqrt{45^2+28^2}}{14};$

$x=\frac{45\pm 53}{14}.$

Откуда следует, что $x=7$  км/ч.

Ответ: $7.$

Пусть $x$ км/ч – скорость первого теплохода, тогда согласно условию $(x+2)$  км/ч – скорость второго теплохода. Оба они проделали один и тот же путь – $168$ км.

Составим таблицу:

Второй теплоход был в пути на $2$ часа меньше, поэтому $\frac{168}{x+2}$ меньше $\frac{168}{x}$ на $2.$

Составим уравненине:

$\frac{168}{x+2}+2=\frac{168}{x};$

$168x+2x(x+2)=168(x+2);$

$2x^2+4x=168\cdot 2;$

$x^2+2x-168=0;$

Воспользуемся формулой сокращенного дискриминанта для нахождения корней:

$x=-1\pm 13.$

Следовательно, $x=12$ км/ч.

Ответ: $12.$

Пусть скорость баржи на пути из А в В – $x$ км/ч. Тогда скорость на пути из В  в А –  $(x+4)$ км/ч.  Путь АВ=ВА=234 км.

Составим таблицу:

На путь ВА баржа потратила на $8$ часов меньше, поэтому

$\frac{234}{x}-8=\frac{234}{x+4};$

$234(x+4)-8x(x+4)=234x;$

$234\cdot 4-8x^2-32x=0;$

$x^2+4x-117=0;$

$x=-2\pm 11.$

Откуда следует, что $x=9$ км/ч.

Ответ: $9.$

Пусть  $x$ км/ч – скорость яхты в неподвижной воде.

Заполняем таблицу:

Согласно условию яхта находилась в пути $10$ часов.

Составим уравнение:

$\frac{72}{x+3}+\frac{72}{x-3}=10;$

$72(x-3)+72(x+3)=10(x^2-9);$

$144x=10x^2-90;$

$5x^2-72x-45=0;$

$x=\frac{36\pm \sqrt{36^2+225}}{5};$

$x=\frac{36\pm 39}{5}.$

Следовательно, $x=15$ км/ч – скорость яхты в неподвижной воде.

Ответ: $15.$

За $11$ минут второй сухогруз (длиной $120$ м) пройдет $120+600+S+130+800$ метров, где $S$ м – путь первого сухогруза за эти же 11 минут.

Скорость второго сухогруза тогда  $\frac{1650+S}{11}$ м/мин, а первого – $\frac{S}{11}$ м/мин.

Тогда разность скоростей сухогрузов –

$\frac{1650+S}{11}-\frac{S}{11}=\frac{1650}{11}$ м/мин.

Переведем м/мин в км/час:

$\frac{1650}{11}$ м/мин = $\frac{1,65\cdot 60}{11}$ км/ч = $9$ км/ч.

Ответ: $9.$

Пусть $x$ – скорость течения весной, $y$ – собственна скорость катера.

Согласно условию для весны:

$y+x=\frac{5}{3}(y-x);$

$3y+3x=5(y-x);$

$y=4x$   (*)

Согласно условию для лета:

$y+(x-1)=\frac{3}{2}(y-(x-1));$

$2y+2(x-1)=3(y-(x-1));$

$2y+2x-2=3y-3x+3;$

$y=5x-5$   (**)

Тогда, из (*) и (**), имеем:

$4x=5x-5;$

$x=5.$

Ответ: $5.$