Задачи на подобие треугольников

Треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны по I признаку, так как

1) у треугольников $MBN$ и $ABC$ угол $B$ – общий и

2)  в силу параллельности прямых $MN$ и $AC$ соответственные углы $BMN$ и $BAC$ равны.

Из подобия треугольников вытекает пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{BN}{BC}=\frac{MN}{AC}=\frac{MB}{AB};$

Обозначим $NC$ за $x$. Соответственно, $BN=6-x$ согласно условию. Тогда

$\frac{6-x}{6}=\frac{4}{9};$

$9(6-x)=6\cdot 4;$

$x=\frac{10}{3};$

Ответ: $\frac{10}{3}.$

ПО условию $S_{DBE}:S_{ADEC}=4:5$, тогда $S_{DBE}:S_{ABC}=4:9$ (на $S_{DBE}$ приходится 4 части, на  $S_{ABC}$ –  4+5=9 таких же частей).

Но треугольники $DBE$ и $ABC$ подобны по двум углам. Так как площади треугольников находятся в отношении $4:9$, то коэффициент подобия треугольников  – $2:3$ (см. свойство здесь).

Как известно,  периметры подобных треугольников находятся в таком же отношении, в каком и соответствующие стороны, поэтому и $P_{DBE}:P_{ABC}=2:3$. Поскольку $P_{DBE}=20$, то $P_{ABC}=30.$

Ответ: 30.  

Проще всего найти площадь треугольника $ABC:$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{6\cdot 8}{2}=24$.

Заметим, по т. Пифагора $AB^2=6^2+8^2,$ то есть $AB=10.$

Треугольники $ABC$ и $ACH$ подобны по двум углам (действительно, оба они прямоугольные и углы $B$ и $ACH$  в них составляют в сумме с углом $A$   $90^{\circ}$, что делает их равными между собой). Коэффициент подобия треугольников – $\frac{AB}{AC}=\frac{10}{6},$ то есть  $\frac{AB}{AC}=\frac{5}{3}.$

Как известно, отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия треугольников, то есть $S_{ABC}:S_{ACH}=(\frac{5}{3})^2,$ то есть $\frac{24}{S_{ACH}}=\frac{25}{9},$ откуда $S_{ACH}=\frac{24\cdot 9}{25}=8,64.$

Становится очевидным, что $S_{BCH}=24-8,64=15,36.$

Ответ: 24; 8,64; 15,36. 

Пусть $AB,\;AC$ – касательные к окружности, $O$  – центр окружности.

Обозначим за  $E$ – середину  отрезка $BC$.

По свойству отрезков касательных $AB=AC$, то есть треугольник $ABC$ – равнобедренный и $AE$ – высота.

Найдем $AE$ по т. Пифагора:

$AE=\sqrt{156^2-60^2}=\sqrt{(156-60)(156+60)}=\sqrt{96\cdot 216}=$

$=\sqrt{4^4\cdot 3^4}=144.$

Заметим, по свойству радиуса, проведенного в точку касания, $OB\perp AB.$

Прямоугольные треугольники $ABO$ и $AEB$ подобны по двум углам (угол $A$ – общий).

Тогда $\frac{OB}{BE}=\frac{AB}{AE}$, откда $OB=\frac{60\cdot 156}{144}=65.$

Ответ: 65. 

Замечаем, что в треугольниках $ADB$ и $DBC$ $AD:DB=1:2$ и $DB:CB=1:2$ и углы, заключенные между сторонами $AD,\;DB$ и $DB,\;CB$ равны (прямые). Поэтому треугольники подобны по второму признаку.

Из подобия треугольников $ADB$ и $DBC$, в частности, вытекает равенство углов $A$ и $BDC$; $ABD$ и $C$.

Обозначим $\angle C=\alpha,\;\angle A=\beta$.

Тогда, так как сумма углов четырехугольника равна $360^{\circ}$, то $\alpha+\beta+90^{\circ}+\beta+\alpha+90^{\circ}=360^{\circ}.$

Откуда $\alpha+\beta=90^{\circ}.$

Му же ищем $\angle B+\angle D=\alpha+90^{\circ}+\beta+90^{\circ}=270^{\circ}.$

Ответ: 270.