Главная
Справочник
Видеоуроки
Тесты
Статьи
Архив
Карта сайта
Контакты
Рассмотрим задачи, при решении которых мы будем использовать подобие треугольников. Уделим внимание как базовым задачам, так и задачам посложней. В конце статье вы найдете задачи для самостоятельной работы.
Задача 1.
Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если ВС = 6, МN = 4 и АС = 9. 
Решение: + показать
и 
и 
и 
равны.
за 
. Соответственно, 
согласно условию. Тогда
Задача 2.
Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.
Решение: + показать
, тогда 
(на 
приходится 4 части, на 
– 4+5=9 таких же частей).
и 
, то коэффициент подобия треугольников – 
(см. свойство 
. Поскольку 
, то 
Задача 3.
Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников.
Решение: + показать
.
то есть 
подобны по двум углам (действительно, оба они прямоугольные и углы 
, что делает их равными между собой). Коэффициент подобия треугольников – 
то есть 
то есть 
откуда 
Задача 4.
Из одной точки проведены к кругу две касательные. Длина касательной равна 156, а расстояние между точками касания равно 120. Найдите радиус круга.
Решение: + показать
– касательные к окружности, 
– середину отрезка 
, то есть треугольник 
– высота.
и 
подобны по двум углам (угол 
, откда 
Задача 5.
В трапеции 
меньшая диагональ 
, равная 6, перпендикулярна основаниям 
и 
. Найдите сумму тупых углов 
и 
.
Решение:+ показать
и 
и 
и углы, заключенные между сторонами 
и 
равны (прямые). Поэтому треугольники подобны по второму признаку.
; 
и 
.
.
, то 
Задача 6.
Основания трапеции равны a и b. Определите длину отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части.
Решение: + показать
(она же и высота параллелограмма 
) за 
высоту трапеции 
(она же и высота параллелограмма 
) за 
(где 
).
по двум углам, откуда вытекает пропорциональность соответствующих сторон:
Задачи для самостоятельной работы
1. Через точки E и F, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая EF, параллельная стороне АС. Найдите длину BС, если EF = 10, AC = 15 и FC = 9. (Ответ: 27).
2. В прямоугольном треугольнике 
проведена высота 
к гипотенузе. 
, 
Найдите катет 
. (Ответ: 20/3).
3. Прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него треугольник, площадь которого в 8 раз меньше площади оставшейся части. Периметр большего треугольника равен 27. Найдите периметр меньшего треугольника. (Ответ: 9).
4. Основание треугольника 15 см, а боковые стороны 13 и 14 см. Высота разделена в отношении 2:3 (считая от вершины) и через точку деления проведена прямая, параллельная основанию. Найдите площадь образовавшейся при этом трапеции. (Ответ: 70,56 (возможно, вам потребуется формула Герона)).
5. В трапеции с основаниями 
и 
диагонали пересекаются в точке 
. Площадь треугольника 
равна 4, площадь треугольника 
равна 9. Найдите площадь трапеции. (Ответ: 25).
6. Трапеция разделена диагоналями на четыре части. Определить ее площадь, если известны площади ее частей, прилежащих к основаниям 
и 
. (Ответ: 
).
Ребят как решить 5 задачу ???
Я не из ребят, но отвечу…
Примите высоту треугольника BOC за h1, треугольника AOD – за h2.
4=(BC*h1):2, 9=(AD*h2):2.
Подумайте, как связаны h1 и h2. Какой коэффициент подобия указанных треугольников?
Распишите площадь ABCD…
прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС пересекает его сторону АВ в точке М, а сторону ВС в точке К. Найдите площадь треугольника АВС, если ВМ=3см, АМ=4см, а плщадь четырех угольника АМКС=80см2.
не пойму, зачем площадь четырехугольника, и что из нее можно найти?
Кто может помочь решить задачу? Пожалуйста!!!
Коэффициент подобия треугольников ABC, MBK равен 3/7. Тогда площади их отличаются в 9/49 раз. Если обозначить площадь MBK за 9х, то площадь AMKC будет 40х. В тоже время, площадь AMKC равна 80 по условию. Откуда х=2. Чему тогда равна площадь ABC нетрудно понять…
Огромное спасибо за помощь. Не мог сообразить. До этого три дня просидел в интернете на математических сайтах. Сообразить не мог, но многое узнал и даже восполнил некоторые пробелы в знаниях. Надеюсь на аттестации знания пригодятся, главное чтобы включилась “соображалка”. Еще раз Огромное СПАСИБО!!!
Знания пригодятся, не сомневайтесь))