Задание №13 Т/Р №205 А. Ларина

Смотрите также №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №205 А. Ларина.

13. Дано уравнение $sinx=cos(\frac{\pi}{3}-x).$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[4\pi;\frac{16\pi}{3}]$.

Решение: 

а)

$sinx=cos(\frac{\pi}{3}-x);$

$sinx=sin(\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{3}-x));$

$sinx=sin(\frac{\pi}{6}+x);$

$\left[\begin{array}{rcl}x=\frac{\pi}{6}+x+2\pi n, n\in Z,\\x=\pi -\frac{\pi}{6}-x+2\pi n, n\in Z;\end{array}\right.$

$x=\frac{5\pi}{12}+\pi n, n\in Z;$

б) Произведем отбор корней уравнения из отрезка $[4\pi;\frac{16\pi}{3}]$.

$4\pi \leq \frac{5\pi}{12}+\pi n\leq \frac{16\pi}{3},$  $n\in Z;$

$4 \leq \frac{5}{12}+ n\leq \frac{16}{3},$  $n\in Z;$

$48 \leq 5+12n\leq 64,$  $n\in Z;$

$43 \leq 12n\leq 59,$  $n\in Z;$

$3\frac{7}{12} \leq n\leq 4\frac{11}{12},$  $n\in Z;$

$n=4.$

Тогда подходящий нам корень – $\frac{5\pi}{12}+4\pi=\frac{53\pi}{12}.$

Ответ:

а) $\frac{5\pi}{12}+\pi n, n\in Z;$

б) $\frac{53\pi}{12}.$