Задание №13 Т/Р №223 А. Ларина

Смотрите также  №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

13. Дано уравнение $cos(x+\frac{\pi}{3})+sin(x+\frac{\pi}{6})-cos2x=1.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$.

Решение: 

а) 

$cos(x+\frac{\pi}{3})+sin(x+\frac{\pi}{6})-cos2x=1;$

$cos(x+\frac{\pi}{3})+sin(\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{3}-x))-cos2x=1;$

$cos(x+\frac{\pi}{3})+cos(\frac{\pi}{3}-x)-cos2x=1.$

Согласно $ \color{red} cos \alpha + cos\beta = 2 cos \frac{ \alpha + \beta}{2} cos \frac{ \alpha – \beta}{2}$ имеем:

$2cos\frac{\pi}{3}\cdot cosx-cos2x=1;$

$2\cdot \frac{1}{2}\cdot cosx-cos2x=1;$

$cosx-cos2x=1;$

$2cos^2x-cosx=0;$

$cosx=0$ или $cosx=0,5;$

$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ или $x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$ $n\in Z.$

б) Корни уравнения из отрезка $[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$:

$-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}.$

Ответ:

а) $\frac{\pi}{2}+\pi n,$ $\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$ $n\in Z;$

б) $-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}.$