Задание №14 . Досрочная волна 2018. Резервный день

Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13; №15; №16; №17; №18; №19 

14. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны $2$. Точка $M$ — середина ребра $AA_1$.
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_1C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_1C$.

Решение:

a) Пусть точка $N$ принадлежит прямой $AA_1$ и $A_1N=MA_1.$ Тогда $B_1N\parallel BM.$

Докажем, что $NB_1\perp B_1C,$ это и будет означать, что прямые $MB$ и $B_1C$ перпендикулярны.

Из треугольника $CBB_1:$

$CB_1=\sqrt{CB^2+BB_1^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2.$

Из треугольника $MBA:$

$NB_1=MB=\sqrt{AM^2+AB^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$

Из треугольника $NCA:$

$NC=\sqrt{AN^2+AC^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}.$

Так как

$(2\sqrt2)^2+(\sqrt5)^2=(\sqrt{13})^2,$

то по теореме, обратной теореме Пифагора, угол $B_1$ в треугольнике $NCB_1$ – прямой.

Итак, прямые $MB$ и $B_1C$ перпендикулярны.

б) Так как прямая $BM$ параллельна плоскости $CNB_1,$ то расстояние между прямыми $MB$ и $B_1C$ – есть расстояние от любой точки прямой $BM$ (пусть от $M$)  до плоскости  $CNB_1.$

Расстояние $\rho $ от $M$ до $CNB_1$ – длина высоты пирамиды $MCNB_1$ с вершиной $M.$

С одной стороны,

$V_{MCNB_1}=\frac{1}{3}S_{CNB_1}\cdot \rho,$

с другой стороны,

$V_{MCNB_1}=\frac{1}{3}S_{MNB_1}\cdot h,$ где $h$ – высота пирамиды  $MCNB_1$ c вершиной $C.$

Поэтому,

$\rho=\frac{S_{MNB_1}\cdot h}{S_{CNB_1}}.$

Очевидно, расстояние от точки $C$ до плоскости $MNB_1$ равно длине высоты треугольника $ABC,$ то есть $\sqrt3.$

Итак,

$\rho=\frac{\frac{MN\cdot A_1B}{2}\cdot \sqrt3}{\frac{B_1N\cdot CB_1}{2}}=\frac{\frac{2\cdot 2}{2}\cdot \sqrt3}{\frac{\sqrt{5}\cdot 2\sqrt2}{2}}=\frac{\sqrt{30}}{5}.$

 Ответ: б) $\frac{\sqrt{30}}{5}.$