Задание №14 . Досрочная волна 2018. Резервный день

2018-05-03
Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13№15№16; №17№18; №19 

14. В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 все рёбра равны 2. Точка M — середина ребра AA_1.
а) Докажите, что прямые MB и B_1C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми MB и B_1C.

Решение:

a) Пусть точка N принадлежит прямой AA_1 и A_1N=MA_1. Тогда B_1N\parallel BM.

Докажем, что NB_1\perp B_1C, это и будет означать, что прямые MB и B_1C перпендикулярны.

Из треугольника CBB_1:

CB_1=\sqrt{CB^2+BB_1^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2.

Из треугольника MBA:

NB_1=MB=\sqrt{AM^2+AB^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.

Из треугольника NCA:

NC=\sqrt{AN^2+AC^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}.

Так как

(2\sqrt2)^2+(\sqrt5)^2=(\sqrt{13})^2,

то по теореме, обратной теореме Пифагора, угол B_1 в треугольнике NCB_1 – прямой.

Итак, прямые MB и B_1C перпендикулярны.

б) Так как прямая BM параллельна плоскости CNB_1, то расстояние между прямыми MB и B_1C – есть расстояние от любой точки прямой BM (пусть от M)  до плоскости  CNB_1.

Расстояние \rho от M до CNB_1 – длина высоты пирамиды MCNB_1 с вершиной M.

С одной стороны,

V_{MCNB_1}=\frac{1}{3}S_{CNB_1}\cdot \rho,

с другой стороны,

V_{MCNB_1}=\frac{1}{3}S_{MNB_1}\cdot h, где h – высота пирамиды  MCNB_1 c вершиной C.

Поэтому,

\rho=\frac{S_{MNB_1}\cdot h}{S_{CNB_1}}.

Очевидно, расстояние от точки C до плоскости MNB_1 равно длине высоты треугольника ABC, то есть \sqrt3.

Итак,

\rho=\frac{\frac{MN\cdot A_1B}{2}\cdot \sqrt3}{\frac{B_1N\cdot CB_1}{2}}=\frac{\frac{2\cdot 2}{2}\cdot \sqrt3}{\frac{\sqrt{5}\cdot 2\sqrt2}{2}}=\frac{\sqrt{30}}{5}.

 Ответ: б) \frac{\sqrt{30}}{5}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

1 + 16 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif