Задание №14. Досрочный ЕГЭ 2018

2018-05-08

Смотрите также задания №1-12№13№15№16; №17№18; №19

14. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA_1B_1C_1D_1. На ребре
AA_1 отмечена точка K так, что AK:KA_1=1:2. Плоскость \alpha проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD_1 в точке M.
а) Докажите, что MD:MD_1=2:1.
б) Найдите площадь сечения, если AB=4, AA_1=6.

Решение:

а) По свойству прямой, параллельной плоскости, плоскость \alpha, параллельная  AC, пересечет  плоскость AA_1C_1C, в которой лежит AC, по некоторой прямой l (K\in l), параллельной AC.

Пусть l пересекается с CC_1 в точке L. Замечаем, CL:C_1L=1:2.

Пусть O,O_1 – центры оснований призмы. Диагональные плоскости призмы пересекаются по прямой OO_1.

Пусть P – точка пересечения KL и OO_1.

PB пересекается с DD_1 в точке M.

 

Параллелограмм KMLB – сечение призмы плоскостью \alpha .

Пусть AK=x, тогда согласно условию A_1K=2x.

Треугольники BPO,BMD подобны, k=BD:BO=2, поэтому и DM:OP=2.

Учитывая, что PO=AK=x, получаем, что DM=2x. Ну а поскольку DD_1=3x, то DM:MD_1=2x:x=2:1.

б) Поскольку DB\perp AC, то по теореме о трех перпендикулярах и MB\perp AC.

AC\parallel KL, значит и MB\perp KL.

Тогда параллелограмм KMLB – ромб.

S_{KMLB}=\frac{KL\cdot MB}{2}=\frac{KL\cdot \sqrt{DM^2+DB^2}}{2}=\frac{4\sqrt2\cdot \sqrt{4^2+(4\sqrt2)^2}}{2}=8\sqrt6.

Ответ: б) 8\sqrt6.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2 × 3 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif