Разбор заданий №13; №15; №16; №17; №18; №19
14. В правильной треугольной пирамиде точка
делит сторону
в отношении
, считая от вершины
, точка
делит сторону
в отношении
, считая от вершины
. Через точки
и
параллельно
проведена плоскость
.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскотью параллельно прямой
.
б) Найдите расстояние от точки до плоскости
, если известно, что
Решение:
a) Так как то (по теореме, обратной теореме Фалеса)
Но тогда, так как лежит в
по признаку параллельности прямой и плоскости.
Что и требовалось доказать.
Построим сечение пирамиды плоскостью .
Пусть – середина
Пусть
– точка пересечения
и
Так как то плоскость
пересечет
по некоторой прямой
(проходящей через точку
параллельной
(по свойству прямой, параллельной плоскости). Пусть
пересекается с
в точке
Так как
то
пересечет
(в которой лежит
) по прямой, параллельной
, опять же, по свойству прямой, параллельной плоскости. Пусть точки пересечения указанной прямой со сторонами
–
и
Трапеция – сечение пирамиды плоскостью
б) Так как то
(
)
(
Заметим, так как
содержит прямую
, перпендикулярную
(признак перпендикулярности плоскостей). Действительно,
что очевидно, а также
по теореме о трех перпендикулярах (
– проекция
на
).
Тогда по свойству перпендикулярных плоскостей, если (
), то
Стало быть,
(
Коэффициент подобия треугольников –
следовательно
где
– высота треугольника
проведенная к
Ответ: б)
Добавить комментарий