Задание №14. Реальный ЕГЭ 2019 от 29 мая

2019-06-09

 Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13№15№16; №17№18; №19

14. В правильной треугольной пирамиде SABC точка K делит сторону SC в отношении 1:2, считая от вершины S, точка N делит сторону SB в отношении 1:2, считая от вершины S. Через точки N и K параллельно SA проведена плоскость \gamma.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскотью \gamma параллельно прямой BC.
б) Найдите расстояние от точки  B до плоскости \gamma, если известно, что SA=9,AB=6. 

Решение:

a) Так как SK:KC=SN:NB, то (по теореме, обратной теореме Фалеса) KN\parallel BC.

Но тогда, так как KN лежит в \gamma, BC \parallel \gamma по признаку параллельности прямой и плоскости.

Что и требовалось доказать.

Построим сечение пирамиды плоскостью \gamma.

Пусть P– середина BC. Пусть L – точка пересечения SP и NK.

Так как AS \parallel \gamma, то плоскость ASP пересечет \gamma по некоторой прямой l (проходящей через точку L), параллельной AS (по свойству прямой, параллельной плоскости). Пусть l пересекается с AP в точке T. Так как  BC \parallel \gamma, то \gamma пересечет ABC (в которой лежит BC) по прямой, параллельной BC, опять же, по свойству прямой, параллельной плоскости. Пусть точки пересечения указанной прямой со сторонами AB,ACE и F.

Трапеция ENKF – сечение пирамиды плоскостью \gamma.

б) Так как BC\parallel \gamma, P\in BC то \rho(B;\gamma)=\rho(P;\gamma).

Заметим, \gamma \perp ASP, так как \gamma содержит прямую EF, перпендикулярную ASP (признак перпендикулярности плоскостей). Действительно,  EF\perp AP, что очевидно, а также EF\perp TL по теореме о трех перпендикулярах (AP – проекция TL на ABC).

Тогда по свойству перпендикулярных плоскостей, если PH\perp TL (H\in TL), то PH \perp\gamma. Стало быть, \rho(P;\gamma)=PH.

Коэффициент подобия треугольников TLP,ASP\frac{2}{3}, следовательно PH=\frac{2PH_1}{3}, где PH_1 – высота треугольника ASP,  проведенная к AS.

S_{ASP}=\frac{PH_1\cdot AS}{2}=\frac{AP\cdot SO}{2};

PH_1=\frac{AP\cdot SO}{AS}=\frac{3\sqrt3\cdot \sqrt{69}}{9}=\sqrt{23};

PH=\frac{2\sqrt{23}}{3}.

Ответ: б) \frac{2\sqrt{23}}{3}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




три × четыре =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif