Задание №14. Реальный ЕГЭ (Дальний Восток) от 29 мая 2019

Елена Репина 2019-06-21 2019-06-21

Разбор заданий №13; №15; №16; №17; №18; №19

14. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ точка $P$ делит сторону $AB$ в отношении $2:3,$ считая от вершины $A$ , точка $K$ делит сторону $BC$ в отношении $2:3,$ считая от вершины $C$ . Через точки $P$ и $K$ параллельно $SB$ проведена плоскость $\gamma$ .
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскотью $\gamma$ является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от точки $S$ до плоскости $\gamma$ , если известно, что $SC=5,AC=6.$

Решение:

a) Построим сечение пирамиды плоскостью $\gamma$ .

Так как $BS$ параллельна $\gamma$ , то плоскость $BCS,$ в которой лежит $BS,$ пересечет $\gamma$ по некоторой прямой $l,$ параллельной $BS,$ проходящей через точку $K,$ по свойству прямой, параллельной плоскости. Пусть $l$ пересекает $SC$ в точке $F.$ Аналогично, плоскость $ABS$ пересечет $\gamma$ по прямой $PE$ ( $E\in AS$ ), параллельной $BS.$

Так как $KF=PE=\frac{2BS}{5}$ и $KF\parallel PE$ (по признаку параллельности прямых), то сечение пирамиды плоскостью $\gamma$ – параллелограмм по признаку параллелограмма. Покажем, что $\angle PKF=90^{\circ},$ что и будет означать, что параллелограмм $PKFE$ – прямоугольник.

Заметим, $BS\perp AC,$ так как и проекция прямой $BS$ на плоскость $ABC,$ прямая $BM$ ( $M=PO\cap AC,$ $O$ – проекция $S$ на $ABC$ ), перпендикулярна $AC$ (теорема о трех перпендикулярах).

Так как $BP:PA=BK:KC,$ то (по теореме, обратной теореме Фалеса) $PK\parallel AC.$ И так как, говорилось ранее, $KF\parallel BS,$ то угол между прямыми $BS,AC$ равен углу между прямыми $PK,KF.$ Итак, угол $PKF$ – прямой.

Сечение $PKFE$ пирамиды плоскостью $\gamma$ – прямоугольник.

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $PK$ пересекается с $BM$ в точке $L,$ а $EF$ с $SM$ – в точке $T.$

$LT$ – прямая пересечения плоскостей $BSM,\gamma.$

Заметим, $BSM\perp \gamma,$ так как $\gamma$ содержит перпендикуляр $PK$ к плоскости $BSM$ (признак перпендикулярности плоскостей). Действительно, $PK\perp BM$ , что очевидно, и по теореме о трех перпендикулярах $PK\perp LT$ ( $BM$ – проекция $LT$ на $ABC$ ).

Тогда по свойству перпендикулярных плоскостей, если мы проведем перпендикуляр $SH$ в плоскости $BSM$ к $LT,$ то он окажется перпендикуляром к $\gamma.$