Разбор заданий №13; №15; №16; №17; №18; №19
14. В правильной треугольной пирамиде точка
делит сторону
в отношении
считая от вершины
, точка
делит сторону
в отношении
считая от вершины
. Через точки
и
параллельно
проведена плоскость
.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскотью является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от точки до плоскости
, если известно, что
Решение:
a) Построим сечение пирамиды плоскостью .
Так как параллельна
, то плоскость
в которой лежит
пересечет
по некоторой прямой
параллельной
проходящей через точку
по свойству прямой, параллельной плоскости. Пусть
пересекает
в точке
Аналогично, плоскость
пересечет
по прямой
(
), параллельной
Так как и
(по признаку параллельности прямых), то сечение пирамиды плоскостью
– параллелограмм по признаку параллелограмма. Покажем, что
что и будет означать, что параллелограмм
– прямоугольник.
Заметим, так как и проекция прямой
на плоскость
прямая
(
– проекция
на
), перпендикулярна
(теорема о трех перпендикулярах).
Так как то (по теореме, обратной теореме Фалеса)
И так как, говорилось ранее,
то угол между прямыми
равен углу между прямыми
Итак, угол
– прямой.
Сечение пирамиды плоскостью
– прямоугольник.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть пересекается с
в точке
а
с
– в точке
– прямая пересечения плоскостей
Заметим, так как
содержит перпендикуляр
к плоскости
(признак перпендикулярности плоскостей). Действительно,
, что очевидно, и по теореме о трех перпендикулярах
(
– проекция
на
).
Тогда по свойству перпендикулярных плоскостей, если мы проведем перпендикуляр в плоскости
к
то он окажется перпендикуляром к
То есть – расстояние от точки
до
Поскольку коэффициент подобия треугольников –
то
где
– высота треугольника
Далее, то
Ответ: б)
Добавить комментарий