Задание №14. Реальный ЕГЭ (Дальний Восток) от 29 мая 2019

2019-06-21

 Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13№15№16; №17№18; №19

14. В правильной треугольной пирамиде SABC точка P делит сторону AB в отношении 2:3, считая от вершины A, точка K делит сторону BC в отношении 2:3, считая от вершины C. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость \gamma.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскотью \gamma является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от точки  S до плоскости \gamma, если известно, что SC=5,AC=6. 

Решение:

a) Построим сечение пирамиды плоскостью \gamma.

Так как BS параллельна \gamma, то плоскость BCS, в которой лежит BS, пересечет \gamma по некоторой прямой l, параллельной BS, проходящей через точку K, по свойству прямой, параллельной плоскости.  Пусть l пересекает SC в точке F. Аналогично, плоскость ABS пересечет \gamma по прямой PE (E\in AS), параллельной BS.

Так как KF=PE=\frac{2BS}{5} и KF\parallel PE (по признаку параллельности прямых), то  сечение пирамиды плоскостью \gamma – параллелограмм по признаку параллелограмма. Покажем, что \angle PKF=90^{\circ}, что и будет означать, что параллелограмм PKFE – прямоугольник.

Заметим, BS\perp AC, так как и проекция прямой BS на плоскость ABC, прямая BM  (M=PO\cap AC, O– проекция S на ABC), перпендикулярна AC (теорема о трех перпендикулярах).

Так как BP:PA=BK:KC, то (по теореме, обратной теореме Фалеса) PK\parallel AC. И так как, говорилось ранее, KF\parallel BS, то угол между прямыми BS,AC равен углу между прямыми PK,KF. Итак, угол PKF – прямой.

Сечение PKFE пирамиды плоскостью \gamma  – прямоугольник.

Что и требовалось доказать.

б) Пусть PK пересекается с BM в точке L, а EF с SM – в точке T.

LT – прямая пересечения плоскостей BSM,\gamma.

Заметим, BSM\perp \gamma, так как \gamma содержит перпендикуляр PK к плоскости BSM (признак перпендикулярности плоскостей). Действительно, PK\perp BM, что очевидно, и по теореме о трех перпендикулярах PK\perp LT (BM – проекция LT на ABC).

Тогда по свойству перпендикулярных плоскостей, если мы проведем перпендикуляр SH в плоскости BSM к LT, то он окажется перпендикуляром к \gamma.

То есть SH – расстояние от точки S до \gamma.

Поскольку коэффициент подобия треугольников LTM,BSM\frac{2}{5}, то SH=\frac{3MH_1}{5}, где MH_1 – высота треугольника BSM.

Далее, S_{BSM}=\frac{SO\cdot BM}{2}=\frac{MH_1\cdot BS}{2}, то

MH_1=\frac{SO\cdot BM}{BS}=\frac{\sqrt{13}\cdot 3\sqrt3}{5}.

SH=\frac{3}{5}\cdot \frac{3\sqrt{39}}{5}=\frac{9\sqrt{39}}{25}.

Ответ: б) \frac{9\sqrt{39}}{25}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

семь + 8 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif