Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №163 А. Ларина
14. Дана правильная шестиугольная призма . Через
точки ,
,
проведена плоскость
.
а) Докажите, что плоскость пересекает ребро
в такой точке
, что
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые данную призму делит
плоскость .
Решение:
a) Построим сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью .
Так как параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым, то пересечет плоскость
по некоторой прямой
параллельной
(
).
Как именно построить такую прямую ? Достаточно заметить, что прямая
пересекается с
в некоторой точке
так, что
(как несложно заметить, треугольник
– прямоугольный и в нем напротив угла в
лежит катет, вдвое меньший гипотенузы).
Далее, точки лежат в плоскости грани
– соединяем их прямой, которая пересекает ребро
в точке
.
Аналогичным образом пересекается с
в точке
пересекается с
в точке
.
Пятиугольник – искомое сечение.
При этом, треугольники подобны по двум углам и
(
– сторона основания призмы). Тогда и
Что и требовалось доказать.
б) Пусть пересекается с
в точке
а
с
– в точке
.
Пусть прямая плоскости
пересекается с прямой
в точке
.
Тогда объем части пирамиды под плоскостью
будем искать как разность объема пирамиды
и суммы объемов пяти пирамид
где – боковое ребро призмы.
Далее
Замечая подобие треугольников (
), можем утверждать, что
Тогда
При этом
.
Тогда
Наконец, поскольку , объем второй части призмы
будет таков:
Стало быть,
Ответ: б)
Добавить комментарий