Задание №14 Т/Р №163 А. Ларина

2016-10-13

Смотрите также №13№15№16№17№18№19 Тренировочной работы №163 А. Ларина

14. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1. Через

точки B, D_1, F_1 проведена плоскость \alpha.
а) Докажите, что плоскость \alpha пересекает ребро CC_1 в такой точке M, что MC:MC_1=1:2.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые данную призму делит

плоскость \alpha.

Решение:

a)  Построим сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью \alpha =(BD_1F_1).

Так как параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым, то \alpha пересечет плоскость (ABC) по некоторой прямой l, параллельной F_1D_1 (B\in l).

Как именно построить такую прямую l?  Достаточно заметить, что прямая CD пересекается с l в некоторой точке K так, что CK:CD=1:2 (как несложно заметить, треугольник BCK – прямоугольный и в нем напротив угла в 30^{\circ} лежит катет, вдвое меньший гипотенузы).

Далее, точки D_1,K лежат в плоскости грани CDD_1, – соединяем их прямой, которая пересекает ребро CC_1 в точке M.

Аналогичным образом l пересекается с AF в точке T, TF_1 пересекается с AA_1 в точке L.

Пятиугольник BLF_1D_1M – искомое сечение.

При этом,  треугольники KMC,D_1MC_1 подобны по двум углам и k=KC:C_1D_1=\frac{x}{2}:x=1:2 (x – сторона основания призмы). Тогда и MC:MC_1=1:2. Что и требовалось доказать.

б) Пусть FE пересекается с TK в точке W, а DE с TK – в точке P.

Пусть прямая PD_1 плоскости DEE_1 пересекается с  прямой EE_1 в точке Q.

Тогда объем V_{pod\alpha } части пирамиды под плоскостью \alpha будем искать как  разность объема пирамиды WPEQ и суммы объемов пяти пирамид BKCM,KPDD_1,ABTL,FTWF_1,F_1D_1E_1Q.

V_{BKCM}=V_{ABTL}=\frac{S_{BKC}\cdot MC}{3}=\frac{\frac{BK\cdot KC}{2}\cdot \frac{H}{3}}{3},

где H – боковое ребро призмы.

V_{BKCM}=\frac{\frac{\frac{\sqrt3x}{2}\cdot \frac{x}{2}}{2}\cdot H}{9}=\frac{\sqrt3x^2H}{72}.

Далее

V_{KPDD_1}=V_{FTWF_1}=\frac{S_{DKP}\cdot DD_1}{3}=\frac{\frac{KD\cdot KP}{2}\cdot H}{3}=\frac{\frac{\frac{3x}{2}\cdot \frac{3\sqrt3x}{2}}{2}\cdot H}{3}=\frac{3\sqrt3x^2H}{8}.

Замечая подобие треугольников PD_1D,D_1QE_1 (k=1:3), можем утверждать, что QE_1=\frac{H}{3}. Тогда

V_{F_1D_1E_1Q}=\frac{S_{F_1D_1E_1}\cdot QE_1}{3}=\frac{\frac{F_1E_1^2\cdot sin120^{\circ}}{2}\cdot \frac{H}{3}}{3}=\frac{\sqrt3x^2H}{36}.

При этом

V_{WPEQ}=\frac{S_{WPE}\cdot QE}{3}=\frac{\frac{(4x)^2\cdot sin120^{\circ}}{2}\cdot \frac{4H}{3}}{3}=\frac{16\sqrt3x^2H}{9}.

Тогда

V_{pod\alpha }=\frac{16\sqrt3x^2H}{9}-(\frac{\sqrt3x^2H}{36}+\frac{3\sqrt3x^2H}{4}+\frac{\sqrt3x^2H}{36})=\frac{35\sqrt3x^2H}{36}.

Наконец, поскольку V_{ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1}=\frac{3\sqrt 3x^2H}{2}, объем второй части призмы V_{nad\alpha} будет таков:

V_{nad\alpha}=\frac{3\sqrt 3x^2H}{2}-\frac{35\sqrt3x^2H}{36}=\frac{19\sqrt3x^2H}{36}.

Стало быть,

V_{nad\alpha}:V_{pod\alpha }=19:35.

Ответ: б) 19:35.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif