Задание №14 Т/Р №166 А. Ларина

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №166 А. Ларина

14. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $M$ лежит на ребре $DD_1$ так, что $DM:D_1M=1:2.$ Плоскость, проходящая через точки $A$ и $M$ параллельно $BD_1$, пересекает ребро $CD$ в точке $P$.

а) Докажите, что $CP=DP.$

б) Найдите расстояние от точки $D_1$ до плоскости $AMP$, если известно, что  $AB=12,BC=9,AA_1=36.$

Решение:

а) Пусть плоскость, проходящая через точки $A$ и $M$ параллельно $BD_1$ – плоскость $\alpha.$ Прямая $BD_1$ лежит в плоскости $BB_1D_1$ и параллельна $\alpha.$ Тогда по свойству прямой, параллельной плоскости, $\alpha$ пересечет  $BB_1D_1$ (а она имеет с $BB_1D_1$ общую точку $M$) по прямой, параллельной $BD_1.$ Поэтому строим в плоскости $BB_1D_1$ прямую $MN,$ параллельную $BD_1$ ($M\in BD$), а именно, точка $N$ будет делить отрезок $BD$ в отношении $2:1,$ считая от вершины $B$ в силу подобия треугольников $BD_1D,NMD.$

Далее, проводим в плоскости $ADC$ прямую $AN,$ которая пересечет $DC$ в точке $P$.

Из подобия треугольников $NPD,NAB$ по двум углам вытекает, что $BN:ND=AB:DP=2:1,$ то есть $P$ –  середина отрезка $DC$.

Что и требовалось доказать.

б) Расстояние от точки $D_1$ до плоскости $AMP$ будем искать координатным способом.

Введем прямоугольную декартовую систему координат так, как показано на рисунке.

Расстояние  $\rho$ от точки $D_1$ до плоскости $AMP$ будем вычислять по формуле

$\large\rho=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

где $(x_0;y_0;z_0)$ – координаты точки $D_1$, плоскость $AMP$ задается уравнением $Ax+By+Cz+D=0.$

Перечислим координаты необходимых для вычисления точек:

$A(9;0;0),P(0;6;0),M(0;0;12),D_1(0;0;36).$

Составим уравнение плоскости $AMP:$

$\begin{cases}a\cdot 9+d=0,\\b\cdot 6+d=0,\\c\cdot 12+d=0;&\end{cases}$

$\begin{cases}d=-9a,\\b=\frac{3a}{2},\\c=\frac{3a}{4};&\end{cases}$

Тогда уравнение плоскости $AMP$ примет вид

$ax+\frac{3ay}{2}+\frac{3az}{4}-9a=0$

или

$x+\frac{3}{2}y+\frac{3}{4}z-9=0.$

То есть $A=1,B=\frac{3}{2},C=\frac{3}{4}, D=-9.$

Итак,

$\large \rho=\frac{|1\cdot 0+\frac{3}{2}\cdot 0+\frac{3}{4}\cdot 36-9|}{\sqrt{1^2+(\frac{3}{2})^2+(\frac{3}{4})^2}}=\frac{18}{\sqrt{\frac{16+36+9}{16}}}=\frac{72}{\sqrt{61}}.$

Ответ: б) $\frac{72}{\sqrt{61}}.$