Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №166 А. Ларина
14. В прямоугольном параллелепипеде точка
лежит на ребре
так, что
Плоскость, проходящая через точки
и
параллельно
, пересекает ребро
в точке
.
а) Докажите, что
б) Найдите расстояние от точки до плоскости
, если известно, что
Решение:
а) Пусть плоскость, проходящая через точки и
параллельно
– плоскость
Прямая
лежит в плоскости
и параллельна
Тогда по свойству прямой, параллельной плоскости,
пересечет
(а она имеет с
общую точку
) по прямой, параллельной
Поэтому строим в плоскости
прямую
параллельную
(
), а именно, точка
будет делить отрезок
в отношении
считая от вершины
в силу подобия треугольников
Далее, проводим в плоскости прямую
которая пересечет
в точке
.
Из подобия треугольников по двум углам вытекает, что
то есть
– середина отрезка
.
Что и требовалось доказать.
б) Расстояние от точки до плоскости
будем искать координатным способом.
Введем прямоугольную декартовую систему координат так, как показано на рисунке.
Расстояние от точки
до плоскости
будем вычислять по формуле
где – координаты точки
, плоскость
задается уравнением
Перечислим координаты необходимых для вычисления точек:
Составим уравнение плоскости
Тогда уравнение плоскости примет вид
или
То есть
Итак,
Ответ: б)
Простите, а почему нельзя найти расстояние от точки D1 до плоскости как расстояние между параллельными прямыми МN и BD1 через площадь трапеции MNBD1 , выраженную дважды? спасибо
Надежда, я разве сказала, что нельзя?
Вроде, не говорила…))
Дело вкуса.