Задание №14 Т/Р №166 А. Ларина

2016-10-22

Смотрите также №13№15№16№17№18№19 Тренировочной работы №166 А. Ларина

14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 точка M лежит на ребре DD_1 так, что DM:D_1M=1:2. Плоскость, проходящая через точки A и M параллельно BD_1, пересекает ребро CD в точке P.

а) Докажите, что CP=DP.

б) Найдите расстояние от точки D_1 до плоскости AMP, если известно, что  AB=12,BC=9,AA_1=36.

Решение:

а) Пусть плоскость, проходящая через точки A и M параллельно BD_1 – плоскость \alpha. Прямая BD_1 лежит в плоскости BB_1D_1 и параллельна \alpha. Тогда по свойству прямой, параллельной плоскости, \alpha пересечет  BB_1D_1 (а она имеет с BB_1D_1 общую точку M) по прямой, параллельной BD_1. Поэтому строим в плоскости BB_1D_1 прямую MN, параллельную BD_1 (M\in BD), а именно, точка N будет делить отрезок BD в отношении 2:1, считая от вершины B в силу подобия треугольников BD_1D,NMD.

Далее, проводим в плоскости ADC прямую AN, которая пересечет DC в точке P.

Из подобия треугольников NPD,NAB по двум углам вытекает, что BN:ND=AB:DP=2:1, то есть P –  середина отрезка DC.

Что и требовалось доказать.

б) Расстояние от точки D_1 до плоскости AMP будем искать координатным способом.

Введем прямоугольную декартовую систему координат так, как показано на рисунке.

Расстояние  \rho от точки D_1 до плоскости AMP будем вычислять по формуле

\rho=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

где (x_0;y_0;z_0) – координаты точки D_1, плоскость AMP задается уравнением Ax+By+Cz+D=0.

Перечислим координаты необходимых для вычисления точек:

A(9;0;0),P(0;6;0),M(0;0;12),D_1(0;0;36).

Составим уравнение плоскости AMP:

\begin{cases} a\cdot 9+d=0,& &b\cdot 6+d=0,& &c\cdot 12+d=0;& \end{cases}

\begin{cases} d=-9a,& &b=\frac{3a}{2},& &c=\frac{3a}{4};& \end{cases}

Тогда уравнение плоскости AMP примет вид

ax+\frac{3ay}{2}+\frac{3az}{4}-9a=0

или

x+\frac{3}{2}y+\frac{3}{4}z-9=0.

То есть A=1,B=\frac{3}{2},C=\frac{3}{4}, D=-9.

Итак,

\rho=\frac{|1\cdot 0+\frac{3}{2}\cdot 0+\frac{3}{4}\cdot 36-9|}{\sqrt{1^2+(\frac{3}{2})^2+(\frac{3}{4})^2}}=\frac{18}{\sqrt{\frac{16+36+9}{16}}}=\frac{72}{\sqrt{61}}.

Ответ: б) \frac{72}{\sqrt{61}}.

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. надежда

    Простите, а почему нельзя найти расстояние от точки D1 до плоскости как расстояние между параллельными прямыми МN и BD1 через площадь трапеции MNBD1 , выраженную дважды? спасибо

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Надежда, я разве сказала, что нельзя?
      Вроде, не говорила…))
      Дело вкуса.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif